勵鐘丹

(浙江省慈溪市宗漢錦綸中學(xué)，浙江 慈溪 315301)

人們常說：數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)中一題多解的訓(xùn)練不僅可以讓學(xué)生體驗成功的喜悅，而且能提高學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力，開拓思維的靈活性。

下面我們來看這么一道題目：

原題：2018年山東省濱州市中考題

如圖，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD上,若AE=,∠EAF=45°,則AF的長為.

現(xiàn)以2019年寧波中考考綱評估卷一中的一道壓軸題為例,從不同的角度給出多種解法,一同體驗數(shù)學(xué)解題的樂趣.

題目如下：如圖,矩形ABCD的邊長AB=2,AD=4,點E,F分別在線段BC和線段DC延長線上.若,∠EAF=45°,則AF的長為()

解法1：構(gòu)造等腰直角三角形,即“K”字型,得到全等三角形,利用全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)求解。

如圖,連接EG,過G作GM⊥AD于M,作GN⊥BC于N,

由∠EAF=45°,易證△AGE為等腰直角三角形,則AG=EG,

由“K”字型,易證△AMG≌△GNE,設(shè)MG=NE=x,

解法2：構(gòu)造等腰直角三角,即“K”字型,方法和解法1類似.

如圖,過E作EG⊥AE交AF于G,過G作GQ⊥AD于Q,作GH⊥BC于H,由∠EAF=45°,易證△AGE為等腰直角三角形,則AE=GE,由“K”字型,易證△ABE≌△EHG,則EH=AB=2,

解法3：構(gòu)造等腰直角三角形,即“K”字型,和上述兩種方法類似.

如圖,過F作FG⊥AF交AE的延長線于G,過G作GM⊥AB于M,作GH⊥DC于H,由∠EAF=45,易證△AGF為等腰直角三角形,則AF=GF,由“K”字型,易證△ADF≌△FHG,設(shè)DF=HG=x,HF=DA=4,

則MG=4-x,AM=DH=2+x,再由△ABE∽△AMG,可得,故,求得,故AF==.

總結(jié)：以上三種解法都是利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形,通過“K”字型,結(jié)合全等和相似的性質(zhì)解得。

解法4：構(gòu)造一線三等角,利用相似三角形的性質(zhì)求解。

如圖,延長AB至G,連接GE,使∠G=45°,延長BA至H,連接FH,

又∠EAF=45°,由“一線三等角”,可證△AGE∽△FHA,

通過這道題目的多種解法,可以提高學(xué)生的發(fā)散性思維,提高學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力,也可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的不窮魅力,體驗成功的喜悅。