徐建中

（亳州學院，安徽 亳州 236800）

積分的計算在高等數(shù)學中有著舉足輕重的地位，尤其是在許多交叉學科領域有著廣泛的應用。但是在實際的計算過程中，有許多形式的被積函數(shù)，原函數(shù)不易求出，導致結果無法積出來。而復變函數(shù)中的留數(shù)定理正好為此類問題提供了重要的理論計算方法。

對于那些難于用解析方法求解的實變函數(shù)，我們可以用留數(shù)定理加以解決，主要解決思路是將實變函數(shù)轉化復變函數(shù)，借助留數(shù)定理進行積分計算、求解。主要是先將其轉化為沿閉合回路曲線的積分，然后將問題轉化為求解閉合回路內(nèi)部各個孤立奇點處的留數(shù)值，最后，利用留數(shù)定理得到被積函數(shù)的解，本文主要運用留數(shù)定理舉例說明并加以歸納總結，以其強調(diào)留數(shù)定理在積分計算中的應用。

定理1（留數(shù)定理）:設函數(shù)f(z)在回路所圍l區(qū)域B上除有限孤立奇點b1,b2,…,bn外解析，在閉區(qū)域B上除b1,b2,…,bn外連續(xù)，則:

顯然，留數(shù)定理計算的主要思路就是將回路積分轉化為被積函數(shù)在回路所圍區(qū)域上各奇點的留數(shù)之和。

1 留數(shù)定理在實變函數(shù)積分中的應用

1.1 計算類型積分

解：按照公式（2）知：

例2：計算積分

當z繞Γ圓周一周時，u亦在其上繞二周，故

被積函數(shù)f(u)在Γ內(nèi)部僅有一個一階級點

所以由留數(shù)定理，

若R（cosθ，sinθ）為θ的偶函數(shù)，則之值亦可由上述方法求之。因此時

1.2 計算類型積分

為了計算這種反常積分，我們先證明一個引理。它主要用來估計輔助曲線上的積分。

引理1設F（z）沿圓弧充分大）上連續(xù)，且

于SR上一致成立（即與θ1≤θ≤θ2中的θ無關），則

例3：設a＞0，計算積分

它一共有四個一階級點

且符合定理

為互質多項式，且符合條件：（1）n-m≥2；（2）在實軸上Q（z）≠0，于是有：

1.3 計算類型積分

引理2（若爾當引理）設函數(shù)g(z)沿半圓周ΓR∶z＝Reiθ（0≤θ≤π，R充分大）上連續(xù)，且在ΓR上一致成立。則：

證理：對于任給的ε＞0，存在R0(ε)＞0，使當R＞R0時，有

于是，就有

于是，由（若爾當不等式）

將（5）化為

定理2：設，其中P（z）及Q（z）是互質多項式，且符合條件：

（1）Q（z）的次數(shù)比P（z）的次數(shù)高，

（2）在實軸上Q（z）≠0

（3）m＞0，

則有:

例4：計算積分

解：被積函數(shù)為偶函數(shù)，故

根據(jù)定理1，則有：

則有：

總之，留數(shù)理論是復變函數(shù)論中一個非常重要的理論，只要我們在解決問題中靈活運用該理論可以達到事半功倍的效果，也有助于為定積分的計算提供新的思路，更好的解決實際問題中積分計算。