劉廷銀 劉巖 趙雙江 中國(guó)人民解放軍65589部隊(duì)

1 引言

隨機(jī)共振理論已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)十年的發(fā)展，其研究深度和影響范圍都極為深遠(yuǎn)。通常認(rèn)為隨機(jī)共振系統(tǒng)需要有三個(gè)要素：隨機(jī)共振的輸入驅(qū)動(dòng)信號(hào)、非線性的隨機(jī)共振系統(tǒng)和相匹配的噪聲。隨機(jī)共振按照穩(wěn)態(tài)數(shù)量不同，可分為單穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振、雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振，以及多穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振。其中研究較為成熟的是單穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振和雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振，而雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振與通信信號(hào)中的0,1二值可以較好地適配，因此得到了更為廣泛的應(yīng)用。因?yàn)槎喾€(wěn)態(tài)系統(tǒng)的研究難度較大，所以應(yīng)用較為有限。

經(jīng)典的隨機(jī)共振理論主要討論的是雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振模型，其中包含的主要理論有：駐留時(shí)間的分布特性、隨機(jī)共振的響應(yīng)過程、特征值研究、絕熱消去理論等。

2 兩個(gè)動(dòng)力學(xué)方程

2.1 朗之萬(wàn)運(yùn)動(dòng)方程

朗之萬(wàn)運(yùn)動(dòng)方程討論的是忽略重力條件下的布朗粒子。假設(shè)該粒子的質(zhì)量為m，當(dāng)該粒子在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，主要分析兩方面的作用力：（1）若布朗粒子的運(yùn)動(dòng)速度為v，運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致其受到周圍分子的無(wú)序碰撞。該碰撞總體上作用結(jié)果為阻止布朗粒子的前進(jìn)運(yùn)動(dòng)?？梢远x這部分阻力為-av，該阻力將隨著布朗粒子的宏觀運(yùn)動(dòng)而持續(xù)；（2）從微觀角度考慮，當(dāng)布朗粒子受到無(wú)序碰撞時(shí)，碰撞力用F(t)表示，F(xiàn)(t)不隨粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變。綜合阻力-av和碰撞力F(t)兩方面，可以得到粒子的運(yùn)動(dòng)方程如下：

該方程描述了布朗粒子的運(yùn)動(dòng)情況。因?yàn)椴祭柿Ｗ邮艿降臒o(wú)序碰撞力的隨機(jī)性，粒子的運(yùn)動(dòng)方程為隨機(jī)過程。

對(duì)公式（1）進(jìn)行整理，方程兩端同時(shí)除以m后可得[112]：

式（2）通常被稱為線性朗之萬(wàn)運(yùn)動(dòng)方程，其中的r為阻尼系數(shù)，即單位質(zhì)量的加速度。n(t)為布朗粒子受到無(wú)序碰撞所產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲。

在（2）式的基礎(chǔ)上，增加外場(chǎng)力f(t)對(duì)布朗粒子的作用，并將速度變量v一般化為x，（2）式可被寫為：

當(dāng)f(t)為非線性的外場(chǎng)力時(shí)，（4）被稱為非線性朗之萬(wàn)方程。后續(xù)的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)將基于非線性朗之萬(wàn)方程建立[113]。

2.2 ?？?普朗克方程

非線性朗之萬(wàn)方程（4）中包含有隨機(jī)項(xiàng)n(t)。因此當(dāng)對(duì)（4）所描述的粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行研究時(shí)，通常討論的是運(yùn)動(dòng)軌跡的各階矩。非線性方程中相關(guān)變量的矩計(jì)算難度大，很難精確獲取其統(tǒng)計(jì)特性。為此需要討論相關(guān)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。由于非線性因素，（4）式中的變量x具有時(shí)變性，其概率分布函數(shù)也具有時(shí)變性。令變量x，在時(shí)間t的概率分布函數(shù)為ρ(x,t)?？梢詮睦手f(wàn)方程推導(dǎo)出概率分布函數(shù)ρ(x,t)的方程[114]。

當(dāng)系統(tǒng)中包含高斯白噪聲時(shí)，可推導(dǎo)出概率分布函數(shù)ρ(x,t)的?？?普朗克方程：

當(dāng)系統(tǒng)中包含的噪聲是加性高斯白噪聲時(shí)，（5）簡(jiǎn)化為：

3 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振基本原理

3.1 動(dòng)力學(xué)原理

雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振屬于非線性朗之萬(wàn)方程描述的一種特例，其對(duì)應(yīng)的外場(chǎng)力為[115]

其中 稱為勢(shì)函數(shù)，a和b是兩個(gè)重要參數(shù)，滿足 ， ，其直接決定了雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的過程及發(fā)生條件。當(dāng)從統(tǒng)計(jì)平均的意義上約去零均值的噪聲n(t)時(shí)，非線性的朗之萬(wàn)方程改寫為

公式（8）描述了一維雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過程。從（8）可明顯看出 是粒子運(yùn)動(dòng)的決定性因素。（8）式描述的系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)和不穩(wěn)定點(diǎn)均可以通過求解 的極值點(diǎn)獲得。極大值對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定點(diǎn)，極小值對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定點(diǎn)。為求取極值點(diǎn)，對(duì) 求導(dǎo)可得：

（9）的三個(gè)極值點(diǎn)為：

圖 1 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的勢(shì)函數(shù)圖

如圖1所示是雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的勢(shì)函數(shù)示意圖，當(dāng)一個(gè)粒子在這個(gè)勢(shì)函數(shù)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)初始時(shí)刻粒子在x=0點(diǎn)，當(dāng)受到一個(gè)微弱的擾動(dòng)時(shí)，粒子極易偏離不穩(wěn)定點(diǎn)x=0，落入到穩(wěn)定點(diǎn)。若擾動(dòng)力使其偏移量Δx>0，則粒子傾向于落入到穩(wěn)定點(diǎn)2，即x=若擾動(dòng)力使其偏移量Δx<0，則粒子傾向于落入到穩(wěn)定點(diǎn)1，即；若粒子處于穩(wěn)定點(diǎn)1，當(dāng)受到的力導(dǎo)致位移Δx<0，則隨著Δx幅度增大，其阻力呈幾何級(jí)數(shù)增大。從而最終使得粒子穩(wěn)定在穩(wěn)定點(diǎn)1附近。穩(wěn)定點(diǎn)2同理。

3.2 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振

在應(yīng)用于通信信號(hào)處理時(shí)，處理的對(duì)象通常可以假設(shè)為信號(hào)與噪聲的疊加的結(jié)果。這與隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸入相吻合，具體如下示意圖：

圖 2 信號(hào)處理系統(tǒng)過程圖

令通信信號(hào)為s(t)，信道的加性噪聲為n(t)。傳統(tǒng)的信號(hào)處理系統(tǒng)就是如何降低噪聲n(t)，從而使得輸出x(t)盡可能與信號(hào)s(t)逼近。

圖 3 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的過程圖

從圖3可知，隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸入輸出與信號(hào)處理系統(tǒng)相同，因此二者可以相互統(tǒng)一。令n(t)表示系統(tǒng)的隨機(jī)力，s(t)表示系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)力，此時(shí)圖3的隨機(jī)共振系統(tǒng)可寫為[116]：

（11）

通信信號(hào)通常需要利用載波進(jìn)行調(diào)制，因此往往以正弦函數(shù)的形式出現(xiàn)：

其中f_0表示信號(hào)載頻，A(t)表示基帶信號(hào)。將（12）代入（11）式可得：

3.4 隨機(jī)共振的性能度量

當(dāng)信號(hào)經(jīng)過隨機(jī)共振系統(tǒng)后，如何評(píng)價(jià)輸出的信號(hào)是個(gè)關(guān)鍵問題。通信中對(duì)于信號(hào)質(zhì)量評(píng)價(jià)的一個(gè)重要參量是信噪比。在隨機(jī)共振過程中，噪聲的能量逐步被削弱，并轉(zhuǎn)化為信號(hào)的能量。從而最終信號(hào)的能量增強(qiáng)，輸出的信噪比遠(yuǎn)高于輸入信噪比。利用信噪比評(píng)價(jià)隨機(jī)共振進(jìn)行信號(hào)處理的性能較為合適。信噪比計(jì)算公式為：

其中S(w)表示信號(hào)的功率譜函數(shù)，N(w)表示加性噪聲的平均功率譜函數(shù)。（50）式中的極限求積分的過程較為復(fù)雜。當(dāng)考慮到具體信號(hào)形式時(shí)，（50）式將進(jìn)一步簡(jiǎn)化。假設(shè)輸入為正弦信號(hào)，即，此時(shí)定義信噪比為：

其中 表示噪聲功率，求取方法是在頻率 附近功率的平均值；同樣地， 為信號(hào)在頻率 附近功率的平均值。令系統(tǒng)輸出信號(hào)的離散傅氏變換序列為,(k=0,1,……,L-1)：

按照隨機(jī)共振的絕熱消去理論，雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號(hào)的信噪比為：

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了隨機(jī)共振的相關(guān)基本理論。主要內(nèi)容包括隨機(jī)共振現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)原理、隨機(jī)共振的物理概念、隨機(jī)共振過程的測(cè)度及相關(guān)參數(shù)等內(nèi)容。