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        隨機(jī)共振基本理論介紹

        2018-10-19 09:29:46劉廷銀劉巖趙雙江中國人民解放軍65589部隊
        數(shù)碼世界 2018年9期
        關(guān)鍵詞:雙穩(wěn)態(tài)布朗共振

        劉廷銀 劉巖 趙雙江 中國人民解放軍65589部隊

        1 引言

        隨機(jī)共振理論已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)十年的發(fā)展,其研究深度和影響范圍都極為深遠(yuǎn)。通常認(rèn)為隨機(jī)共振系統(tǒng)需要有三個要素:隨機(jī)共振的輸入驅(qū)動信號、非線性的隨機(jī)共振系統(tǒng)和相匹配的噪聲。隨機(jī)共振按照穩(wěn)態(tài)數(shù)量不同,可分為單穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振、雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振,以及多穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振。其中研究較為成熟的是單穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振和雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振,而雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振與通信信號中的0,1二值可以較好地適配,因此得到了更為廣泛的應(yīng)用。因為多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的研究難度較大,所以應(yīng)用較為有限。

        經(jīng)典的隨機(jī)共振理論主要討論的是雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振模型,其中包含的主要理論有:駐留時間的分布特性、隨機(jī)共振的響應(yīng)過程、特征值研究、絕熱消去理論等。

        2 兩個動力學(xué)方程

        2.1 朗之萬運動方程

        朗之萬運動方程討論的是忽略重力條件下的布朗粒子。假設(shè)該粒子的質(zhì)量為m,當(dāng)該粒子在流體中運動時,主要分析兩方面的作用力:(1)若布朗粒子的運動速度為v,運動會導(dǎo)致其受到周圍分子的無序碰撞。該碰撞總體上作用結(jié)果為阻止布朗粒子的前進(jìn)運動??梢远x這部分阻力為-av,該阻力將隨著布朗粒子的宏觀運動而持續(xù);(2)從微觀角度考慮,當(dāng)布朗粒子受到無序碰撞時,碰撞力用F(t)表示,F(xiàn)(t)不隨粒子的運動狀態(tài)而改變。綜合阻力-av和碰撞力F(t)兩方面,可以得到粒子的運動方程如下:

        該方程描述了布朗粒子的運動情況。因為布朗粒子受到的無序碰撞力的隨機(jī)性,粒子的運動方程為隨機(jī)過程。

        對公式(1)進(jìn)行整理,方程兩端同時除以m后可得[112]:

        式(2)通常被稱為線性朗之萬運動方程,其中的r為阻尼系數(shù),即單位質(zhì)量的加速度。n(t)為布朗粒子受到無序碰撞所產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲。

        在(2)式的基礎(chǔ)上,增加外場力f(t)對布朗粒子的作用,并將速度變量v一般化為x,(2)式可被寫為:

        當(dāng)f(t)為非線性的外場力時,(4)被稱為非線性朗之萬方程。后續(xù)的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)將基于非線性朗之萬方程建立[113]。

        2.2 ???普朗克方程

        非線性朗之萬方程(4)中包含有隨機(jī)項n(t)。因此當(dāng)對(4)所描述的粒子運動狀態(tài)進(jìn)行研究時,通常討論的是運動軌跡的各階矩。非線性方程中相關(guān)變量的矩計算難度大,很難精確獲取其統(tǒng)計特性。為此需要討論相關(guān)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。由于非線性因素,(4)式中的變量x具有時變性,其概率分布函數(shù)也具有時變性。令變量x,在時間t的概率分布函數(shù)為ρ(x,t)??梢詮睦手f方程推導(dǎo)出概率分布函數(shù)ρ(x,t)的方程[114]。

        當(dāng)系統(tǒng)中包含高斯白噪聲時,可推導(dǎo)出概率分布函數(shù)ρ(x,t)的???普朗克方程:

        當(dāng)系統(tǒng)中包含的噪聲是加性高斯白噪聲時,(5)簡化為:

        3 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振基本原理

        3.1 動力學(xué)原理

        雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振屬于非線性朗之萬方程描述的一種特例,其對應(yīng)的外場力為[115]

        其中 稱為勢函數(shù),a和b是兩個重要參數(shù),滿足 , ,其直接決定了雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的過程及發(fā)生條件。當(dāng)從統(tǒng)計平均的意義上約去零均值的噪聲n(t)時,非線性的朗之萬方程改寫為

        公式(8)描述了一維雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動力學(xué)過程。從(8)可明顯看出 是粒子運動的決定性因素。(8)式描述的系統(tǒng)的穩(wěn)定點和不穩(wěn)定點均可以通過求解 的極值點獲得。極大值對應(yīng)于不穩(wěn)定點,極小值對應(yīng)于穩(wěn)定點。為求取極值點,對 求導(dǎo)可得:

        (9)的三個極值點為:

        圖 1 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的勢函數(shù)圖

        如圖1所示是雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的勢函數(shù)示意圖,當(dāng)一個粒子在這個勢函數(shù)中運動時,假設(shè)初始時刻粒子在x=0點,當(dāng)受到一個微弱的擾動時,粒子極易偏離不穩(wěn)定點x=0,落入到穩(wěn)定點。若擾動力使其偏移量Δx>0,則粒子傾向于落入到穩(wěn)定點2,即x=若擾動力使其偏移量Δx<0,則粒子傾向于落入到穩(wěn)定點1,即;若粒子處于穩(wěn)定點1,當(dāng)受到的力導(dǎo)致位移Δx<0,則隨著Δx幅度增大,其阻力呈幾何級數(shù)增大。從而最終使得粒子穩(wěn)定在穩(wěn)定點1附近。穩(wěn)定點2同理。

        3.2 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振

        在應(yīng)用于通信信號處理時,處理的對象通??梢约僭O(shè)為信號與噪聲的疊加的結(jié)果。這與隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸入相吻合,具體如下示意圖:

        圖 2 信號處理系統(tǒng)過程圖

        令通信信號為s(t),信道的加性噪聲為n(t)。傳統(tǒng)的信號處理系統(tǒng)就是如何降低噪聲n(t),從而使得輸出x(t)盡可能與信號s(t)逼近。

        圖 3 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的過程圖

        從圖3可知,隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸入輸出與信號處理系統(tǒng)相同,因此二者可以相互統(tǒng)一。令n(t)表示系統(tǒng)的隨機(jī)力,s(t)表示系統(tǒng)的驅(qū)動力,此時圖3的隨機(jī)共振系統(tǒng)可寫為[116]:

        (11)

        通信信號通常需要利用載波進(jìn)行調(diào)制,因此往往以正弦函數(shù)的形式出現(xiàn):

        其中f_0表示信號載頻,A(t)表示基帶信號。將(12)代入(11)式可得:

        3.4 隨機(jī)共振的性能度量

        當(dāng)信號經(jīng)過隨機(jī)共振系統(tǒng)后,如何評價輸出的信號是個關(guān)鍵問題。通信中對于信號質(zhì)量評價的一個重要參量是信噪比。在隨機(jī)共振過程中,噪聲的能量逐步被削弱,并轉(zhuǎn)化為信號的能量。從而最終信號的能量增強(qiáng),輸出的信噪比遠(yuǎn)高于輸入信噪比。利用信噪比評價隨機(jī)共振進(jìn)行信號處理的性能較為合適。信噪比計算公式為:

        其中S(w)表示信號的功率譜函數(shù),N(w)表示加性噪聲的平均功率譜函數(shù)。(50)式中的極限求積分的過程較為復(fù)雜。當(dāng)考慮到具體信號形式時,(50)式將進(jìn)一步簡化。假設(shè)輸入為正弦信號,即,此時定義信噪比為:

        其中 表示噪聲功率,求取方法是在頻率 附近功率的平均值;同樣地, 為信號在頻率 附近功率的平均值。令系統(tǒng)輸出信號的離散傅氏變換序列為,(k=0,1,……,L-1):

        按照隨機(jī)共振的絕熱消去理論,雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號的信噪比為:

        4 結(jié)束語

        本文介紹了隨機(jī)共振的相關(guān)基本理論。主要內(nèi)容包括隨機(jī)共振現(xiàn)象的動力學(xué)原理、隨機(jī)共振的物理概念、隨機(jī)共振過程的測度及相關(guān)參數(shù)等內(nèi)容。

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