■河南省息縣第一高級(jí)中學(xué) 曹國(guó)文

集合的學(xué)習(xí),為函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)打下基礎(chǔ),同時(shí)為以后函數(shù)的定義域、值域、解集的學(xué)習(xí)等打下基礎(chǔ)?？梢赃@樣講,沒(méi)有集合,函數(shù)就很不完整?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)也是完全建立在集合基礎(chǔ)上的。

下面來(lái)談?wù)勍瑢W(xué)們?cè)诩蠈W(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問(wèn)題:

警惕1——忽視集合元素的互異性

例1 若集合A中有三個(gè)元素x,x+1,1,集合B中也有三個(gè)元素x,x2+x,x2,

錯(cuò)解:x=±1。

剖析：出現(xiàn)錯(cuò)解是因?yàn)橛煞匠探M求得x=±1后,忽視對(duì)求出的值進(jìn)行檢驗(yàn),從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。因?yàn)锳=B,所以經(jīng)檢驗(yàn),x=1不符合集合元素的互異性,而x=-1符合。所以x=-1。

易錯(cuò)防范：當(dāng)集合中的元素含字母并要求對(duì)其求值時(shí),求出的值一定要加以檢驗(yàn),看是否符合集合元素的互異性。

跟蹤訓(xùn)練1 若集合A中含有三個(gè)元素x-3,2x-1,x2-4,且-3∈A,則實(shí)數(shù)x的

正解：①若x-3=-3,則x=0,此時(shí)A={-3,-1,-4},滿足題意。

②若2x-1=-3,則x=-1,此時(shí)A={-4,-3,-3},不滿足元素的互異性。

③若x2-4=-3,則x=±1,當(dāng)x=1時(shí),A={-2,1,-3},滿足題意;當(dāng)x=-1時(shí),由②知不合題意。

綜上可知x=0或x=1。

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視檢驗(yàn)的步驟,沒(méi)有看是否符合集合元素的互異性。

警惕2——忽視描述法表示集合中的代表元素

例2 已知集合A={x|y=l n(1-2x)},B={x|ex＞1},則( )。

錯(cuò)解:A。

剖析：出現(xiàn)錯(cuò)解是因?yàn)榻獯饡r(shí)沒(méi)看清代表元素,A集合表示的是函數(shù)y=l n(1-2x)的定義域。

易錯(cuò)防范：對(duì)這樣的題要搞清楚代表元素是誰(shuí),求出代表元素表示的范圍,進(jìn)而求集合運(yùn)算。

易錯(cuò)點(diǎn)：把集合A,B中的代表元素是點(diǎn)集錯(cuò)看成是數(shù)集。

警惕3——忽略了空集的存在

例3 已知A={x|3≤x≤2 2},B={x|2a+1≤x≤3a-5},若B?A,則a的取值

剖析：錯(cuò)解中漏掉了B=?的情況,因?yàn)锽?A,所以分B=?或B≠?。當(dāng)B=?時(shí),3a-5＜2a+1,可得a＜6。

易錯(cuò)防范：(1)遇到A∩B=?時(shí)應(yīng)注意“極端”情況A=?或B=?。(2)在應(yīng)用條件A∪B=B?A∩B=A?A?B時(shí),不要忽略A=?。

跟蹤訓(xùn)練3 已知A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R。如果A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

正解：x2+4x+4=0,解得x=-2,所以A={-2}。因?yàn)锳∩B=B,所以B=?或{-2}。所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)≤0,解得a≤-1。當(dāng)a=-1時(shí),B={0},舍去。所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)。

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略B=?,從而認(rèn)為-2是集合B中方程的根而出錯(cuò)。

警惕4——忽略補(bǔ)集思想的應(yīng)用

例4 已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x＜0},若A∩B≠?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯(cuò)解:有些同學(xué)往往從正面入手,分類較多,容易漏解。

剖析：此例應(yīng)從反面入手,先求A∩B=?時(shí)m的取值范圍,分兩類:①當(dāng)A=?時(shí),方程x2-4x+2m+6=0無(wú)實(shí)根,所以Δ=(-4)2-4(2m+6)＜0,解得m＞-1。②當(dāng)A≠?,A∩B=?時(shí),方程x2-4x+2m+6=0的根為非負(fù)實(shí)根。設(shè)方程x2-4x+2m+6=0的兩根為x1,x2,則得-3≤m≤-1。綜上所述,當(dāng)A∩B=?時(shí),m的取值范圍是{m|m≥-3}。此時(shí)求補(bǔ)集要注意全集,又因?yàn)閁=R,所以當(dāng)A∩B≠?時(shí),m的取值范圍是?U{m|m≥-3}={m|m＜-3}。

易錯(cuò)防范：(1)若從正面解決分很多類比較棘手易錯(cuò),用補(bǔ)集的思想解決問(wèn)題思路會(huì)清晰得多。(2)此題易忽視指明U=R而直接得出結(jié)論,造成解題步驟不完整而失分。

跟蹤訓(xùn)練4 已知集合A={x|2m-1＜x＜3m+2},B={x|x≤-2或x≥5},是否存在實(shí)數(shù)m,使A∩B≠??若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

正解：先求A∩B=?時(shí)m的取值范圍。

①當(dāng)A=?時(shí),2m-1≥3m+2解得m≤-3。

易錯(cuò)點(diǎn)：從正面解決分類多,易漏解。

警惕5——忽略數(shù)形結(jié)合在集合問(wèn)題中的應(yīng)用

例5 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為( )。

A.7 7 B.4 9 C.4 5 D.3 0

錯(cuò)解:有些同學(xué)無(wú)從下手。

圖1

剖析：例題中的集合是整點(diǎn)集,運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系處理很直觀,因?yàn)榧螦={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn)),即圓中的整點(diǎn),如圖1,集合B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有2 5個(gè)元素(即2 5個(gè)點(diǎn)),即圖中正方形A B C D中的整點(diǎn),集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn)),即7×7-4=4 5個(gè)。

易錯(cuò)防范：(1)本例中是整點(diǎn)集,運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系處理很直觀。(2)列舉法常借助V e n n圖解題。(3)描述法常借助數(shù)軸來(lái)運(yùn)算,求解時(shí)要特別注意端點(diǎn)值。

跟蹤訓(xùn)練5 已知全集U={x|x＜1 0,x∈N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求?U(A∪B),?U(A∩B),(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB)。

解析：因?yàn)锳∪B={1,2,3,4,5,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以?U(A∪B)={6,7,9}。

因?yàn)锳∩B={5,8}所以?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9}。因?yàn)?UA={1,3,6,7,9},?UB={2,4,6,7,9},所以 (?UA)∩(?UB)={6,7,9}。(?UA)∪(?UB)={1,2,3,4,6,7,9}。

圖2

作出V e n n圖,如圖2所示,由圖形也可以直接觀察出來(lái)結(jié)果。

易錯(cuò)點(diǎn)：求集合元素時(shí)易漏,易混。

警惕6——對(duì)集合中的新定義問(wèn)題往往理解不透而出錯(cuò)

例6 對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m,n,定義某種運(yùn)算“※”如下:當(dāng)m,n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí),m※n=m+n;當(dāng)m,n中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),m※n=m n。則在此定義下,集合M={(a,b)|a※b=1 6}中的元素個(gè)數(shù)是( )。

A.1 8 B.1 7

C.1 6 D.1 5

錯(cuò)解:有的同學(xué)對(duì)新定義理解不透,從而出現(xiàn)漏掉個(gè)別元素。

剖析：根據(jù)新定義,在M={(a,b)|a※b=1 6}中,有1+1 5=1 6,2+1 4=1 6,3+1 3=1 6,4+1 2=1 6,5+1 1=1 6,6+1 0=1 6,7+9=1 6,8+8=1 6,1×1 6=1 6,集合M中的元素是有序數(shù)對(duì)(a,b),所以集合M中的元素共有8×2+1=1 7個(gè)。故選B。

易錯(cuò)防范：(1)正確理解新定義;(2)把定義研讀清楚,不要妄加猜測(cè)。(3)看清楚新定義中的集合的代表元素具備的條件。

跟蹤訓(xùn)練6 設(shè)I={1,2,3,4},A與B是I的子集,若A∩B={1,3},則稱為一個(gè)“理想配集”,那么符合此條件的“理想配集”(規(guī)定(A,B)與(B,A)是兩個(gè)不同的“理想配集”)的個(gè)數(shù)是 ( )。

A.4 B.8 C.9 D.1 6

正解：當(dāng)A={1,3}時(shí),B={1,3},或B={1,2,3},或B={1,3,4},或B={1,2,3,4},共4個(gè)“理想配集”;當(dāng)A={1,2,3}時(shí),B={1,3},或B={1,3,4},共2個(gè)“理想配集”;當(dāng)A={1,3,4}時(shí),B={1,3},或B={1,2,3},共2個(gè)“理想配集”;當(dāng)A={1,2,3,4}時(shí),B={1,3},共1個(gè)“理想配集”。所以符合條件的“理想配集”有9個(gè)。

易錯(cuò)點(diǎn)：正確理解新定義是防范錯(cuò)誤的關(guān)鍵。