年福耿,黃 輝

(海軍士官學(xué)校,安徽 蚌埠 233012)

1 問題1模型建立與求解

1.1 問題一模型的建立

判斷顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的相關(guān)關(guān)系.可建立基于Pearson簡單相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)的相關(guān)性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

1.1.1 Pearson簡單相關(guān)系數(shù)

計(jì)算樣本Pearson相關(guān)系數(shù)r；

樣本Pearson相關(guān)系數(shù)r的數(shù)學(xué)定義如下：

r=1n∑n=i=1)xi-Sx)(yi-Sy)

(1)

式1中，n為樣本量，xi和yi分別為兩變量的變量值。說明簡單相關(guān)系數(shù)式n個xi和yi分別標(biāo)準(zhǔn)化后的積的平均數(shù).

Pearson 相關(guān)系數(shù)r的取值介于-1～1之間，具體取值的絕對值越接近1說明相關(guān)度越高.

1.1.2 可決系數(shù)的擬合檢驗(yàn)

可決系數(shù) 是自變量 和因變量 的簡單相關(guān)系數(shù)r的平方.可反映回歸方程所能解釋的變差比列(摘自《統(tǒng)計(jì)分析與SPSS的應(yīng)用》第四版)，其計(jì)算公式如下：

(2)

由式2可知， 的取值在0～1之間， 值越接近1，說明回歸方程對樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合優(yōu)度越高。

1.2 問題一模型的求解

1.2.1 Pearson簡單相關(guān)系數(shù)證明

利用SPSS 軟件將組胺、溴酸鉀、工業(yè)堿、硫酸鋁鉀和奶中尿素在不同濃度下與各色度的取值做相關(guān)性分析，可得到Pearson相關(guān)系數(shù)的值和顯著性水平p的值.本文以組胺為例。

表1 組胺相關(guān)性分析

由表1可知，組胺濃度與藍(lán)色數(shù)值的相關(guān)系數(shù)為-0.972，由于其顯著性值0.000小于給定的顯著性水平0.01，則拒絕兩總體無顯著關(guān)系的假設(shè).從相關(guān)系數(shù)可以看出，藍(lán)色數(shù)值與組胺濃度負(fù)相關(guān)，相關(guān)程度為高度相關(guān)，即一定程度上藍(lán)色數(shù)值越小，組胺濃度越大。

同理可知，綠色數(shù)值與組胺濃度負(fù)相關(guān)且高度相關(guān)；紅色數(shù)值與組胺濃度負(fù)相關(guān)且高度相關(guān)；色調(diào)數(shù)值與組胺濃度負(fù)相關(guān)且高度相關(guān)；飽和度數(shù)值與組胺濃度正相關(guān)且高度相關(guān)。

通過計(jì)算可得組胺、溴酸鉀、工業(yè)堿、硫酸鋁鉀和奶中尿素與各顏色數(shù)值的相關(guān)系數(shù)，如表2所示。

表2 各顏色數(shù)值的相關(guān)系數(shù)

表2是各種溶液顏色數(shù)值與濃度之間的相關(guān)系數(shù)，可見溶液顏色與濃度之間相關(guān)度是比較高的。

1.2.2 可決系數(shù) 的擬合檢驗(yàn)

首先，利用SPSS 軟件繪制五種物質(zhì)濃度值與藍(lán)、綠、紅、色調(diào)、飽和度數(shù)值的散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖進(jìn)行線性擬合處理，得到各散點(diǎn)圖直線擬合的 值.本文以組胺為例，如圖1所示。

圖1 組胺各顏色數(shù)據(jù)散點(diǎn)及直線擬合圖

組胺濃度與藍(lán)色數(shù)值的R2=0.946>0.64；組胺濃度與綠色數(shù)值的R2=0.994>0.64。

組胺濃度與紅色數(shù)值的R2=0.876>0.64；組胺濃度與色調(diào)數(shù)值的R2=0.96>0.64。

組胺濃度與飽和度數(shù)值的R2=0.931>0.64。

將五個 求均值，均值為0.942 ，說明將組胺數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合和時，擬合程度為94.2%，從而論證組胺的顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間相關(guān)性較高。

同理可得溴酸鉀、工業(yè)堿、硫酸鋁鉀和奶中尿素與各顏色數(shù)值的 值和均值，如表3所示。

表3 各物質(zhì)與各顏色值的相關(guān)系數(shù)

1.3 建立評價準(zhǔn)則

通過研究Pearson相關(guān)系數(shù)和可決系數(shù)和數(shù)量可得到如下準(zhǔn)則：

準(zhǔn)則一：Pearson 相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，且能通過顯著性水平檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)越優(yōu)；

準(zhǔn)則二：可決系數(shù) 數(shù)值越大，數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合度越高，數(shù)據(jù)越優(yōu)；

準(zhǔn)則三：數(shù)據(jù)量越大，即檢驗(yàn)次數(shù)越多，擬合度越準(zhǔn)確，數(shù)據(jù)越優(yōu)。

根據(jù)建立的數(shù)據(jù)評價原則，本文對五種數(shù)據(jù)分別進(jìn)行相關(guān)系數(shù)比較、可決系數(shù)比較、數(shù)據(jù)量比較，可得到三種排名.為了避開三種標(biāo)準(zhǔn)下的排名沖突，本文通過三類排名之和比較五組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣.排名合計(jì)值越小，數(shù)據(jù)越優(yōu).具體情況如表4所示。

表4 評價原則排名合計(jì)

通過該表的排名名次求和，名次求和越小越好，所以可得組胺的數(shù)據(jù)最好，而五組數(shù)據(jù)從優(yōu)到劣的排序?yàn)榻M胺、溴酸鉀、硫酸鋁鉀、奶中尿素、工業(yè)堿。

2 問題二模型的建立與求解

2.1 問題二模型的建立與求解

2.1.1 多元線性回歸模型建立與求解

以紅色、綠色、藍(lán)色、飽和度、色調(diào)為自變量，物質(zhì)濃度為因變量，用SPSS軟件對其進(jìn)行回歸分析.首先，進(jìn)行五種顏色數(shù)值與濃度的線性回歸分析，依據(jù)多元線性回歸模型，建立本文線性線性回歸模型：

y=β0+β2r+β2g+β3b+β4s+β5h

經(jīng)過SPSS軟件分析，得出問題二的線性相關(guān)回歸模型為：

y=5063516-5.96r-26.2g+8.36b-9.905s-15.159h

利用線性回歸模型可以求解出檢查數(shù)據(jù)的濃度對應(yīng)的回歸計(jì)算濃度,如表5所示。

表5 多元線性回歸解得濃度值

回歸結(jié)果分析：

五種顏色數(shù)值共同作為自變量時R2為0.900，說明二氧化硫濃度有90%受這幾個顏色數(shù)值影響。

驗(yàn)證回歸式顯著性的F值是3.590，Sig.=0.38>0.05，顯著符號是“*”，則說明模型受誤差因素干擾太大，沒有通過檢驗(yàn)，所以回歸效果不好。

2.1.2 多元非線性回歸模型建立與求解

由于多元線性回歸模型效果不好，所以建立多元非線性回歸模型：

y=w0+∑ni=1qixi+∑ni=1pix2i

注：w0為常數(shù)項(xiàng)，q為一次變量系數(shù)，pI為二次變量系數(shù)，n為自變量數(shù)量。

本文二氧化硫的顏色數(shù)據(jù)為五維，結(jié)合多元非線性回歸模型建立五維的二氧化硫回歸分析模型：

y=β+β1r+β2r2+β3g+β4g2+β5b+β6b2+β7s+β8s2+β9h+β10h2

經(jīng)過SPSS軟件分析，得出二氧化硫多元非線性回歸方程為：

y=52494.39656+5.06846r-0.04568r2-33.51444g+0.18322g2+96.35998b-0.28502b2-864.77807s+3.14512s2+6.36228h-0.00901h2

利用二氧化硫非線性回歸方程可以求解出，檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的濃度對應(yīng)的回歸計(jì)算濃度值,如表6所示。

表6 多元非線性回歸解得濃度值

從表6可以看出，多元非線性回歸模型求解的結(jié)果 ，比多元線性回歸模型的結(jié)果 大.因此，所建立的非線性回歸模型要優(yōu)于多元線性回歸模型，可以利用多元非線性回歸模型表示顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的關(guān)系.

2.2 誤差分析

2.2.1 平均相對誤差模型的建立

一般來說，相對誤差更能反映理論值的可信程度.為了檢驗(yàn)上文中模型的可行性與可靠性，本文建立相對誤差分析模型：

αi=│Si-Li│Si×100% 由于題中所給出的數(shù)據(jù)中有多種濃度，所以本文取所有相對誤差的平均值作為模型的最終誤差，建立平均相對誤差模型如下：

2.2.2 平均相對誤差模型的求解

將多元線性和非線性回歸的計(jì)算數(shù)據(jù)帶入評價相對誤差模型，由于計(jì)算相對誤差時需要除實(shí)際數(shù)據(jù)，而實(shí)際數(shù)中有濃度為0的數(shù)據(jù)，所以對于濃度為0的數(shù)據(jù)只求平均誤差，進(jìn)行對比評價.結(jié)果如表7所示。

由表7可見當(dāng)濃度為0時，非線性回歸的誤差要小于線性回歸的誤差。

對于其他非0濃度數(shù)據(jù)，可以利用評價相對誤差模型計(jì)算平均相對誤差，來評價模型優(yōu)劣，計(jì)算得出結(jié)果.多元線性和非線性回歸模型的平均相對誤差分別為34.6%和11%，可見多元非線性回歸模型效果較好。

表7 0濃度數(shù)據(jù)絕對誤差分析

3 問題3模型的建立與求解

3.1 數(shù)據(jù)量對模型的影響

本文對同種物質(zhì)的不同組濃度數(shù)值與顏色數(shù)值，用非線性回歸模型求解，通過對不同組物質(zhì)濃度的非線性回歸方程的可決系數(shù) 及所求得的平均相對誤差相比較，探索數(shù)據(jù)量對模型的影響。

本文將二氧化硫濃度分為三組，分別為六種二氧化硫濃度、五種二氧化硫濃度、四種二氧化硫濃度，具體分組見表8。

表8 數(shù)據(jù)量的選擇方案

利用問題二模型，用SPSS軟件分別求出六種濃度、五種濃度、四種濃度的非線性回歸方程及R2值，不同數(shù)據(jù)量和的SPSS輸出結(jié)果，各方程如下：

六種濃度的非線性回歸方程：

y=-26530.85338-301.1942r+1.04870r2-15.11929g+0.10741g2+11.49582b-0.04834b2+704.78935s-2.61041s2+4.16098h+0.1317h2

五種濃度的非線性回歸方程：

y=-57787.31738-144.88254r+0.50553r2-163.94082g+0.78356g2+8.99396b-0.02992b2+1103.95843s-4.05614s2+16.68831h-0.06937h2

四種的濃度非線性回歸方程：

y=-26530.85338-301.61942r+1.04870r2-15.11929g+0.10741g+11.49582b-0.04834b2+704.78935s-2.61041s2+4.16098h+0.01317h2

再用非線性回歸方程計(jì)算三組不同種濃度的數(shù)值對應(yīng)的理論濃度，并用Excel計(jì)算平均相對誤差.三種不同數(shù)據(jù)量情況下的誤差系數(shù)及R2值如表9所示。

表9 數(shù)據(jù)量對模型的影響

對結(jié)果進(jìn)行分析可得，隨著濃度種類的減少，即數(shù)據(jù)量減少， 值增大，模型的準(zhǔn)確性增高。但由于數(shù)據(jù)變少，沒有數(shù)據(jù)的濃度回歸模型計(jì)算所得結(jié)果與實(shí)際相差較大所以造成最后的平均相對誤差增大。

3.2 顏色維度對模型的影響

對同種物質(zhì)的不同顏色維度與物質(zhì)濃度，用非線性回歸模型求解，通過對不同顏色維度得出的非線性回歸方程的可決系數(shù) 及所求得的平均相對誤差相比較，探索顏色維度對模型的影響。

本文將顏色維度分為六維顏色維度、五維顏色維度、四維顏色維度、三維顏色維度，具體內(nèi)容見表10。

表10 維度的選擇方案

最后，用SPSS軟件得出四種維度下的非線性回歸方程及 值，不同維度的SPSS輸出結(jié)果，各方程如下：

三維顏色維度非線性回歸方程：

y=10770.64172-209.28194r+0.709332r2-38.11511g+0.17376g2+72.36017b-0.20102b2+5.60757g-0.02878h2

四維顏色維度非線性回歸方程：

y=52494.39656+5.06846r-0.04568r2-33.51444g+0.18322g2+96.35998b-0.28502b2-864.77807s+3.14512s2+6.36228h-0.00901h2

五維顏色維度非線性回歸方程：

y=54.286.55996-1880.64040r-0.92992r2-411.52973g-0.29355g2-685.60944b-0.09269b2-887.96192s+3.22375s2+5.08980h+0.00157h2+6848.44956l+1.14721l2

六維顏色維度非線性回歸方程：

用非線性回歸方程計(jì)算四種維度的各顏色數(shù)值對應(yīng)的理論濃度，再用Excel計(jì)算四種顏色維度的濃度的平均誤差系數(shù).最后分析四種不同維度下的誤差系數(shù)，及判定系數(shù)R2，具體結(jié)果如表11所示。

對結(jié)果進(jìn)行分析可得，隨著顏色維度的增加模型的誤差系數(shù)減小， 值越大，模型的準(zhǔn)確性越高，但精度提高較少。

表11 不同維度對模型的影響