徐傳勝，劉靖國(guó)

(臨沂大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 山東 臨沂 276000)

出于政治原因考慮,漢諾威家族在德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716)去世后就完整封存了其檔案。而在二戰(zhàn)期間,希特勒(Adolf Hitler, 1889—1945)曾安排了一輛虎式坦克看守漢諾威萊布尼茨文獻(xiàn)館。故有關(guān)萊布尼茨的原始資料保存完好,甚至現(xiàn)在還能找到其當(dāng)年的病假條。1985年系統(tǒng)整理萊布尼茨文檔工作納入德國(guó)科學(xué)院計(jì)劃,《萊布尼茨全集》正逐冊(cè)出版,預(yù)計(jì)出版120卷。因商榷中文版《萊布尼茨全集》相關(guān)事宜,本文第一作者有幸結(jié)識(shí)了德國(guó)柏林-勃蘭登堡科學(xué)院《萊布尼茨全集》編輯部主任李文潮先生,并應(yīng)邀參加了2017年中德萊布尼茨國(guó)際研究會(huì)(作大會(huì)報(bào)告), 獲得了一些第一手珍貴資料。本文擬在前人研究基礎(chǔ)上[1-3],在哲學(xué)視野下以“為什么微積分”為切入點(diǎn),分析萊布尼茨部分?jǐn)?shù)學(xué)手稿中的創(chuàng)新數(shù)學(xué)思想,探賾大師的“思想魅力”和“火熱思考”。

1 微分學(xué)之創(chuàng)新火花

圖1 萊布尼茨微分學(xué)手稿Fig.1 A differential calculus manuscript of Leibniz

1.1 洞察微分本質(zhì)

在萊布尼茨眾多手跡中,最令人嘆服的是其1673年11月11日(可見,1675年中的“5”后被改成“3”)所寫數(shù)學(xué)手稿。其中給出了微分學(xué)基本思想:試把曲邊梯形分割成許多小矩形,每個(gè)小矩形與曲線之間微小直角三角形兩邊分別是曲線上相鄰兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之差。當(dāng)這兩個(gè)差均無(wú)限減小時(shí),曲線上相鄰兩點(diǎn)則無(wú)限接近[4]。萊布尼茨用dx表示兩個(gè)相鄰x值之差,用dy表示相鄰y值之差,即曲線上相鄰兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差,并稱之“微差”。他認(rèn)為dy和dx可任意小,并構(gòu)造出一個(gè)包含dx,dy的“特征三角形”,體現(xiàn)了“以直代曲”的創(chuàng)新思想。他寫道:橫坐標(biāo)x的微分dx是個(gè)任意量,而縱坐標(biāo)y的微分dy則可定義為它與dx之比等于縱坐標(biāo)與次切距之比。即

ds/n=dx/y=dy/x

因y與次切距之比就是切線斜率,故該定義與導(dǎo)數(shù)定義一致。但萊布尼茨未給出嚴(yán)格切線定義,只是說(shuō)“求切線就是畫一條連接曲線上距離為無(wú)窮小的兩點(diǎn)之間的直線?！庇矛F(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為,切線是割線的極限位置。

圖2 萊布尼茨特征三角形Fig.2 Characteristic triangle of Leibniz

籍此,1684年10月萊布尼茨在萊比錫《教師學(xué)報(bào)》(Acta Eruditorum)發(fā)表了論文《一種求極值和求切線的新方法,亦能應(yīng)用于分?jǐn)?shù)和無(wú)理量情形及非尋常類型的有關(guān)計(jì)算》(Novamethoduspromaximisetminimis,itemquetangentibus,quaenecfractasnecirrationalsquantitatesmoratur,etsingularproillicalculigenus。簡(jiǎn)記《新方法》)。盡管全文只有6頁(yè),且理論尚不成熟,論證也不太嚴(yán)謹(jǐn),但卻具有里程碑似的重要?dú)v史意義,因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微分學(xué)文獻(xiàn)。此乃萊布尼茨對(duì)1673年以來(lái)其微分學(xué)研究的概括總結(jié),著重介紹了微分定義、運(yùn)算法則及曲線的極值、拐點(diǎn)等問題[5]。

史料表明:早在1666年，萊布尼茨就考察了平方數(shù)序列各階之差,他將此與微分相聯(lián)系:一階差相當(dāng)于dy,其和等于y。這種和與差間的互逆性,與依賴于坐標(biāo)之差的切線問題及依賴于坐標(biāo)之和的求積問題之互逆性是一樣的。故他在考慮無(wú)窮小量和差運(yùn)算時(shí),已將其與有限量和差可逆性關(guān)系的研究相互聯(lián)系起來(lái)。

在求量之差時(shí),萊布尼茨初用“x/d”表示對(duì)x的微分,即表示求差就會(huì)引起量的逐次降低,若同時(shí)出現(xiàn)不同階微分時(shí),則只留下最低階,去掉所有高階。后他又用“dx”來(lái)代替 “x/d”。并給出一系列微分基本公式,如微分公式:

d(xy)=xdy+ydx

在推導(dǎo)過(guò)程中,分別給變量x,y一個(gè)微小增量dx,dy,則

(x+dy)(y+dy)=xdy+ydx+dxdy+xy

于是

d(xy)= (x+dx)(y+dy)-xy=

xdy+ydx+dxdy

因dxdy是比xdy+ydx高一階的無(wú)限小量,可以舍去,故d(xy)=xdy+ydx。

萊布尼茨宣稱運(yùn)用微分基本運(yùn)算法則,可得整指數(shù)冪導(dǎo)數(shù)公式dxn=nxn-1dx。并斷定,當(dāng)n取任意實(shí)數(shù)時(shí)結(jié)論仍成立。后又推出指數(shù)、對(duì)數(shù)等超越函數(shù)的微分公式[6]。

1.2 泰勒公式還是萊布尼茨公式

圖3 萊布尼茨收斂于的無(wú)窮級(jí)數(shù)Fig.3 A Leibniz′s infinite series that converges to

o[(x-x0)n]

取x=1,x0=0,

代入計(jì)算得到結(jié)果。從展開式可見,萊布尼茨未應(yīng)用階乘符號(hào),數(shù)與數(shù)相乘以“·”來(lái)表示。用符號(hào)“×”代表乘號(hào)是由英國(guó)數(shù)學(xué)家奧特雷德(W. Oughtred,1574—1660)首創(chuàng),他于1631年出版的《數(shù)學(xué)之鑰》中引入該記法。乘號(hào)曾有過(guò)10余種表達(dá)形式,現(xiàn)在通用的只有兩種。用“·”表示乘號(hào)源于英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特(T. Harriot, 1560—1621)。萊布尼茨認(rèn)為,“×”有些像拉丁字母“X”,故反對(duì)其作為乘法符號(hào),倡議用“·”表示乘號(hào)。還提出用“∩”表示相乘,該符號(hào)現(xiàn)廣泛應(yīng)用于集合論。

萊布尼茨在展開式中應(yīng)用了等號(hào)?！?”最早出現(xiàn)于英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德(R. Recorde, 1510—1558)的《礪智石》,源自“世上沒有比兩條平行線更相似”。但當(dāng)時(shí)歐洲關(guān)于符號(hào)“=”還有其他含義,如韋達(dá)(Francois Viète,1540—1603)表示兩個(gè)數(shù)字之差,還有人表示小數(shù)點(diǎn),如316.857寫成316=857。而笛卡兒(René Descartes,1596—1650)則應(yīng)用符號(hào)∝表示等號(hào)。

另展開式中還有分號(hào)的使用,在現(xiàn)在亦可理解為乘積之意。

2 積分學(xué)之靈光閃現(xiàn)

圖4 萊布尼茨積分表示和運(yùn)算Fig.4 Leibniz′s integral representation and operation

簡(jiǎn)而不凡的數(shù)學(xué)符號(hào)具有神奇科學(xué)力量,一旦釋放能產(chǎn)生幾乎爆炸般威力。萊布尼茨所創(chuàng)建的一系列優(yōu)美微積分符號(hào)就具有這般功效。他謹(jǐn)慎引入每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào),總是選擇富有啟發(fā)性的符號(hào),以“最大限度減少人的思維勞動(dòng)”。如他曾用類似根號(hào)符號(hào)來(lái)表示積分,并帶有小尾巴“d”,在圖4中,對(duì)于3～5式,萊布尼茨擬求累次積分,其把積分號(hào)變長(zhǎng),把第一步積分函數(shù)寫在里面,并配上dx,他未區(qū)分積分變量,均以x表之,且用xx表示x2,但三次冪萊布尼茨選用了現(xiàn)代符號(hào)表示。應(yīng)用現(xiàn)代積分符號(hào)所給9個(gè)積分式為(其中第2式由作者推測(cè)而來(lái),從上下文來(lái)看,第5式積分變量應(yīng)是y):

圖5 萊布尼茨微積分運(yùn)算小結(jié)Fig.5 Leibniz′s summary of calculus

此時(shí)，萊布尼茨對(duì)微積分研究已較深入,符號(hào)也有了雛形。同時(shí)印證了其所討論積分為定積分[7]。在圖5手稿中,萊布尼茨以變量x為分界線,向右依次求對(duì)x的定積分、二重積分和三重積分,注意到積分號(hào)下沒有dx;向左依次求對(duì)x的一階、二階和三階微分,注意到微分符號(hào)采用dd和ddd。第二行為第一行的計(jì)算結(jié)果,呈現(xiàn)出經(jīng)微分和積分運(yùn)算后未知數(shù)x冪的齊次變化規(guī)律性。第三行的排列更能看出規(guī)律,對(duì)x微分次數(shù)越多,其次數(shù)越小,而對(duì)x積分次數(shù)越多,其次數(shù)越大。從指數(shù)為負(fù)整數(shù)到零,再到正整數(shù),分別對(duì)應(yīng)著微分運(yùn)算、元變量和積分運(yùn)算,進(jìn)一步印證了萊布尼茨關(guān)于微分和積分是一對(duì)互逆運(yùn)算的新發(fā)現(xiàn)。只有確立了這一基本運(yùn)算關(guān)系,才能構(gòu)建出系統(tǒng)的微積分理論。他還推廣到對(duì)各種函數(shù)的微分和求積運(yùn)算,從中總結(jié)出共同的算法程序和數(shù)學(xué)規(guī)律,使得微積分方法普遍化,進(jìn)而發(fā)展成用符號(hào)表示的微積分運(yùn)算法則。

圖6 萊布尼茨積分原理Fig.6 Leibniz′s integral principle

1686年,萊布尼茨又在《教師學(xué)報(bào)》發(fā)表論文《論一種深?yuàn)W幾何學(xué)與不可分量及其無(wú)窮分析》(Degeometriareconditaetanalysiindivisibiliumatqueinfinitorum)。該文以討論積分學(xué)為主,謂之《新方法》續(xù)篇[8]。

由于萊布尼茨從有限差值開始無(wú)窮小運(yùn)算,故他最初曾試圖將實(shí)無(wú)窮小代之以與其成比例的有限數(shù)量,即不用dx，dy本身,而用比值dy/dx。他曾以為把dx，dy看成有限量,不嚴(yán)密問題就解決了。但dy/dx同樣需要說(shuō)清dx，dy含義。故萊布尼茨提出用“充分大”和“充分小”代替無(wú)窮大和無(wú)窮小,“我們可不用無(wú)窮大、無(wú)窮小,而用充分大和充分小的量,使得誤差小于給定誤差限度,故我們和阿基米德方式的不同之處僅僅在于表述,而我們的表達(dá)更為直接,更適于發(fā)明家藝術(shù)?！盵9]

為此,萊布尼茨不得不訴諸于物理或幾何模型,應(yīng)用現(xiàn)實(shí)中量的不同層次相對(duì)性詮釋無(wú)窮大和無(wú)窮小?！爱?dāng)談到不同階的無(wú)窮大與無(wú)窮小時(shí),就像對(duì)恒星距離而言,把太陽(yáng)看作一個(gè)點(diǎn);而對(duì)地球半徑而言,則把普通球看作一個(gè)點(diǎn)。這樣,恒星距離對(duì)于普通球半徑而言是無(wú)窮的無(wú)窮大,或無(wú)窮倍的無(wú)窮大?！倍叭裟悴怀姓J(rèn)無(wú)限長(zhǎng)、無(wú)限短線段具有形而上學(xué)的嚴(yán)密性,也不承認(rèn)它們是實(shí)際東西,則你一定可把它們當(dāng)作一種能夠縮短論證思想的東西來(lái)使用,正如在普通分析中使用虛根一樣,我不十分相信除了把無(wú)限大、無(wú)限小看作理想東西,看作有根據(jù)的假設(shè),還有什么必要去考察他們。”甚至“我不相信確有無(wú)限大量和無(wú)限小量存在,它們只是虛構(gòu),但對(duì)于縮短論證和在一般敘述中則是有用的虛構(gòu)?！盵10]

可見,萊布尼茨僅是把微積分當(dāng)作一種數(shù)學(xué)運(yùn)算方法,只要按照該方法去計(jì)算,就能得出正確結(jié)果,而不必關(guān)心其基本理論概念。正是這種理論上的不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密,使人對(duì)“無(wú)窮小”認(rèn)識(shí)模糊,其既不是有限量,也不是無(wú)限小,又不是零,難道是消逝量的鬼魂?進(jìn)而導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。事實(shí)上,萊布尼茨對(duì)于微積分理論基礎(chǔ)的這種看似冒失的大膽相信態(tài)度,反倒可能促進(jìn)了微積分及其應(yīng)用的迅速發(fā)展。

3 其他數(shù)學(xué)手跡

圖7 萊布尼茨計(jì)算連分?jǐn)?shù)Fig.7 Leibniz computed continued fraction

萊布尼茨治學(xué)風(fēng)格從其文稿可窺一二,從中所表現(xiàn)出來(lái)的富有創(chuàng)造性、跳躍化的思維使人驚嘆不已,而其符號(hào)化思維常常又帶有某種神秘性,使得讀者小心翼翼。他好像不過(guò)分追求結(jié)果的準(zhǔn)確性,例如連分?jǐn)?shù)的計(jì)算(見圖7),而更執(zhí)著于數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程,他會(huì)把他的思考或作題過(guò)程一步一步地展現(xiàn)出來(lái),他富有想象、粗線條式的思維讓他在微積分的世界里天馬行空、自由翱翔,而文稿內(nèi)容在現(xiàn)在看來(lái)還不夠嚴(yán)謹(jǐn)、不合理、難以理解的地方,在這位偉大的數(shù)學(xué)家的眼里根本就是腳下的一粒沙子,一腳就踏過(guò)去了,而后來(lái)的讀者卻要在這個(gè)地方糾纏困惑不止,如其堅(jiān)定支持者約翰·伯努利(John Bernoulli,1667—1748)所說(shuō),“如其說(shuō)是解釋,不如說(shuō)是謎?！盵11]

萊布尼茨曾與數(shù)百人有著書信交流,其中既有名流也有凡夫。今仍能從中找到雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654—1705)等人寄來(lái)的“隨筆短箋”。萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)問題的探討,絕大部分都體現(xiàn)在通信中。如萊布尼茨與約翰·伯努利從1694年開始通信,一直保持到1716年。在長(zhǎng)達(dá)20余年的通信中,他們主要討論了數(shù)學(xué)和物理學(xué)問題及其與形而上學(xué)之聯(lián)系[12]。

圖8 雅各布·伯努利給萊布尼茨寄來(lái)的“隨筆短箋”Fig.8 "Essay notes" of Jacob Bernoulli to Leibniz

4 余 論

萊布尼茨的博學(xué)多才罕有所比，其研究領(lǐng)域涉及諸多學(xué)科。他不僅從哲學(xué)視角對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行了詮釋，還醉心于微積分研究，溝通了微分學(xué)和積分學(xué)的相互聯(lián)系，并創(chuàng)建了一系列優(yōu)美的數(shù)學(xué)符號(hào)。

對(duì)于數(shù)學(xué)性質(zhì)，萊布尼茨認(rèn)為，數(shù)學(xué)(主要指算術(shù)和幾何學(xué))是一種真理，它是以一種潛在方式存在于我們心中，是具有天賦性之學(xué)科。可通過(guò)考慮其來(lái)源而進(jìn)行學(xué)習(xí)，或采用經(jīng)驗(yàn)證實(shí)的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。萊布尼茨否認(rèn)“凡是人所學(xué)到東西都不是天賦的”。數(shù)學(xué)命題的觀念是天賦的，這樣天賦不是就其現(xiàn)實(shí)知識(shí)而言，而是指潛在知識(shí)是天賦的，數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得并非依靠感覺材料，在數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程中，感覺經(jīng)驗(yàn)只起到“暗示、證實(shí)和確認(rèn)”的作用。他認(rèn)為，以數(shù)為研究對(duì)象的算術(shù)就蘊(yùn)含諸事物的各種動(dòng)力，成為宇宙的靜力學(xué)。數(shù)學(xué)天賦性及數(shù)學(xué)研究對(duì)象的形而上學(xué)性使得數(shù)學(xué)具有一種崇高且重要地位[13]。

萊布尼茨指出，數(shù)學(xué)是人類推理杰作，不僅可改變普通人生活方式，也能使得政治制度更加完善，且可提升人類理解度甚至消除我們與世俱來(lái)的惡。故萊布尼茨數(shù)學(xué)化思想是以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)并超越了數(shù)學(xué)方法，是一種形式化、模式化、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S方式。萊布尼茨科學(xué)奮斗目標(biāo)是尋求一種可獲得知識(shí)和創(chuàng)造發(fā)明的普遍方法，正是這種努力導(dǎo)致其諸多科學(xué)發(fā)現(xiàn)。他倡議社會(huì)科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)行類比，并將數(shù)學(xué)原理應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)研究之中[14]。其一系列重要數(shù)學(xué)理論為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。他曾討論負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)性質(zhì)，探討線性方程組消元法，并首次引入行列式概念,創(chuàng)立符號(hào)邏輯學(xué)基本概念，發(fā)明二進(jìn)制和能進(jìn)行四則運(yùn)算及開方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)等，當(dāng)然翹楚還是創(chuàng)立微積分。正是微積分的創(chuàng)建使得數(shù)學(xué)變得更加美妙、奇妙，且極大拓展了數(shù)學(xué)疆域[15]。