顧大權(quán)，姚楚舒

（江蘇省張家港市第一中學(xué)）

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體在親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中所獲得的關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的個(gè)性化經(jīng)驗(yàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將課程目標(biāo)由“雙基”改為“四基”，增加了數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從不同的角度，可以有不同的分類.按照前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托里亞爾的學(xué)習(xí)活動(dòng)階段劃分，從數(shù)學(xué)活動(dòng)角度出發(fā)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可分為數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)、邏輯聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).從目前課堂教學(xué)的流程來看，多數(shù)課堂教學(xué)都由知識(shí)引入、知識(shí)關(guān)聯(lián)、知識(shí)應(yīng)用和知識(shí)總結(jié)等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)構(gòu)成，而數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的習(xí)得更多來自課堂，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育落腳點(diǎn)在課堂.下面筆者以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊“2.5直線與圓的位置關(guān)系（3）”一課的教學(xué)為例，圍繞數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的幾個(gè)主要環(huán)節(jié)，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

一、在知識(shí)引入環(huán)節(jié)注重學(xué)生數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)的獲得

數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)就是學(xué)生在經(jīng)歷生活世界向數(shù)學(xué)世界的轉(zhuǎn)化過程中，利用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜測等方法對具體事物進(jìn)行抽象概括的過程中所獲得的經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)主要指抽象化和概括化的經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè).

師：要從如圖1所示的一塊三角形鐵皮余料中剪一個(gè)圓，如何使剪得圓的面積最大？

圖1

師生活動(dòng)：在學(xué)生充分思考后，教師通過幾何畫板軟件演示尋找最大面積的圓，使學(xué)生的思維隨著圖2到圖5的變化逐漸清晰起來.

圖3

圖4

圖5

問題1:要剪出這個(gè)圓，關(guān)鍵要找到什么？

問題2：上面4個(gè)圖中，哪個(gè)圓的面積最大？此時(shí)，⊙O與三角形三邊的位置關(guān)系是什么？

問題3：由三條邊都是切線你想到了什么？

問題4：一個(gè)三角形有幾個(gè)內(nèi)切圓？為什么？

環(huán)節(jié)2：概念介紹.

問題1：結(jié)合圖6，能否給三角形的內(nèi)切圓下個(gè)定義？

圖6

問題2：三角形的內(nèi)切圓和圓的外切三角形的“內(nèi)”和“外”兩個(gè)字如何理解？“切”字又如何理解？

在知識(shí)引入環(huán)節(jié)，從實(shí)際生活中的三角形鐵皮余料中剪出一個(gè)圓的問題，可以抽象成在一個(gè)三角形中畫一個(gè)圓，并且使圓的面積最大，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.這一過程就是讓學(xué)生從具體情境中經(jīng)歷初步抽象、獲得抽象化的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)圓的面積最大時(shí)，就是其和三角形的三邊都相切的時(shí)候，本質(zhì)就是在三角形內(nèi)部作一個(gè)圓，使它與三角形的三邊都相切.這時(shí)需要知道圓心和半徑，圓心要到三條邊的距離相等，所以圓心在三角形三個(gè)角的平分線上，畫出其中兩個(gè)角的平分線，就可以確定出圓心.半徑就是圓心到三條邊的垂線段，過圓心作一邊的垂線段就確定了半徑.這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷去情境化，聯(lián)想到切線的性質(zhì)，提煉出本質(zhì)屬性，使所研究的實(shí)際問題變成純粹的數(shù)學(xué)問題，獲得了數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn).在探究的過程中，學(xué)生理解了三角形的內(nèi)心是怎樣形成的，為什么它是三角形角平分線的交點(diǎn)，知道了知識(shí)產(chǎn)生的來龍去脈，更重要的是在探究的過程中獲得了隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)和抽象、概括的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力，積累了提煉概括化的經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、在知識(shí)關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié)注重學(xué)生邏輯聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)的提升

邏輯聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)的邏輯聯(lián)結(jié)過程中獲得的經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，借助分析、對比、分類、演繹等思維方法，對已有知識(shí)再加工得到新的知識(shí)，以及對已有知識(shí)進(jìn)行整理形成公理形式體系的過程中獲得的經(jīng)驗(yàn).邏輯聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)主要指知識(shí)擴(kuò)充的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)系統(tǒng)化的經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)3：概念辨析.

如下表所示，對比三角形的外心和內(nèi)心，你能說說它們的特征嗎？

圖形 圓心名稱確定方法A OO 三角形的外心特征B C三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等A O三角形的內(nèi)心三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等B D C

環(huán)節(jié)4：概念延伸.

師生活動(dòng)：教師出示相關(guān)圖形，學(xué)生結(jié)合圖形給出定義.與四邊形各邊都相切的圓叫做四邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)四邊形叫做圓的外切四邊形.

圖7

如圖7，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓.

以此類推，與多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形.

在概念辨析環(huán)節(jié)類比三角形外接圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，辨析三角形內(nèi)心和外心的特征，在對比中體會(huì)它們的區(qū)別與聯(lián)系，更好地掌握它們各自的特征.學(xué)生在建構(gòu)新知識(shí)的過程中必然會(huì)和已有的知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，在聯(lián)結(jié)的過程中進(jìn)行對比、辨析，加深了對內(nèi)心和外心兩個(gè)概念的理解，不但經(jīng)歷了知識(shí)與方法的對比，而且提升了知識(shí)系統(tǒng)化的經(jīng)驗(yàn).在概念延伸環(huán)節(jié)，把在研究三角形內(nèi)切圓的過程中積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步發(fā)展，得到四邊形的內(nèi)切圓和多邊形的內(nèi)切圓的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)擴(kuò)充的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

三、在知識(shí)應(yīng)用環(huán)節(jié)注重學(xué)生分析問題和解決問題經(jīng)驗(yàn)的積累

分析問題和解決問題的經(jīng)驗(yàn)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題必備的經(jīng)驗(yàn).解決數(shù)學(xué)問題不單單是要解決某個(gè)數(shù)學(xué)問題，而是由點(diǎn)及類，獲得解決同類其他數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn).分析問題和解決問題的經(jīng)驗(yàn)主要指審題、分析問題的經(jīng)驗(yàn)，以及提煉解題模式的經(jīng)驗(yàn).

圖8

環(huán)節(jié)5：概念應(yīng)用.

例1如圖8，在△ABC中，點(diǎn)O是內(nèi)心.

（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，則∠BOC=______.

（2） 若∠A=80°，求∠BOC的度數(shù).

（3）若∠A=n°，則∠BOC=______.（用含n的代數(shù)式表示.）

變式：在△ABC中，點(diǎn)O是外心，若∠A=n°，則∠BOC=______.（用含n的代數(shù)式表示.）

例2如圖9，在△ABC中，內(nèi)切圓I與邊BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∠B=60°，∠C=70°，求∠EDF的度數(shù).

圖9

圖10

例3如圖10，OA，OB是兩條射線，點(diǎn)C，D分別在射線OA，OB上.求作⊙P，使它與OA，OB，CD都相切.

例1的主要目的是強(qiáng)化學(xué)生對內(nèi)心是如何產(chǎn)生的進(jìn)行理解.學(xué)生經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)OB，OC此時(shí)都是角平分線，從而解決問題.在第（3）小題中讓學(xué)生感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.變式訓(xùn)練讓學(xué)生對容易混淆的內(nèi)心和外心兩個(gè)概念再次進(jìn)行區(qū)分，獲得解題的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提煉解決這類問題的通法.例2進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對內(nèi)心的理解，也就是研究三角形內(nèi)切圓的經(jīng)驗(yàn).根據(jù)題意分析內(nèi)切圓與三邊都相切，三條邊都是圓的切線，想到連接內(nèi)心和切點(diǎn)得到垂線段，從而使問題得以解決.例3強(qiáng)化了對知識(shí)引入中的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓學(xué)生提取剛剛積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移.這幾道例題不但讓學(xué)生積累了審題、分析問題的經(jīng)驗(yàn)，也通過總結(jié)、思考，獲得了提煉解題模式的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、在知識(shí)總結(jié)環(huán)節(jié)再生學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)

在知識(shí)總結(jié)過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，通過反思，將學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)由原有的知識(shí)性層面上升到思想方法層面，形成意識(shí)和習(xí)慣，也就將原有的較低水平的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)再生為成熟穩(wěn)定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)6：總結(jié)提升.

問題1：通過本節(jié)課，你學(xué)到了什么？

問題2：你能說說三角形的外心和內(nèi)心的特征嗎？

問題3：你掌握了哪些研究問題的方法？

問題1不但讓學(xué)生回顧了本節(jié)課所學(xué)的與內(nèi)心的相關(guān)知識(shí)，也讓學(xué)生總結(jié)了所經(jīng)歷的研究數(shù)學(xué)問題的過程，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).問題2對比內(nèi)心和外心的特征，讓學(xué)生掌握解決內(nèi)心和外心問題的方法，提煉處理這類問題的經(jīng)驗(yàn).問題3使學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步升華，經(jīng)歷“原始經(jīng)驗(yàn)—再生經(jīng)驗(yàn)—概括性經(jīng)驗(yàn)”，從而形成成熟、穩(wěn)定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的，而數(shù)學(xué)活動(dòng)更多的落實(shí)在平時(shí)的課堂上.教師在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中要積極創(chuàng)設(shè)有效的活動(dòng)情境，讓學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)、邏輯聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，從而豐富、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓課堂成為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的殿堂，只有這樣，才能真正提升學(xué)生自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).