郭建強， 劉新榮， 黃武鋒， 羅 旭， 牛 亮

(1. 貴州大學 土木工程學院， 貴州 貴陽 550003； 2. 重慶大學 土木工程學院， 重慶 400045；3. 貴州聯(lián)建土木工程質(zhì)量檢測監(jiān)控中心有限公司， 貴州 貴陽 550003)

Mohr-Coulomb強度準則(簡記為M-C強度準則)是各種強度準則中歷史最久、被研究最多、同時也是一個被爭論最多的強度準則，是巖石力學中最常用的強度準則之一，它既適用于塑性巖石的剪切破壞，也適用于脆性巖石的剪切破壞，同時還反映了巖石抗拉強度遠小于抗壓強度這一特性[1-5].該準則最大缺點是僅考慮了最大主應力和最小主應力的影響，而未考慮中間主應力的影響.從已有的成果來看， Jeremic[3]和Hou[4]認為M-C強度準則適用于大多數(shù)硬巖(如花崗巖)，但不適用于鹽巖；You[5]與黃書嶺等[6]認為M-C強度準則對巖石難以達到滿意結果，甚至是危險的；馬洪嶺[7]采用理想彈塑性本構模型對超深地層鹽巖地下儲氣庫的穩(wěn)定性進行了計算，指出M-C強度準則的計算結果偏于安全；邱士利等[8]指出由于低估了巖石的強度水平，M-C強度準則用于工程計算時可能偏于安全，而用于深部硬巖沖擊破壞時則可能偏于不安全.在描述巖石卸荷破壞特性方面，不同的研究者的結論同樣有所差別，比如，采用線性M-C強度準則時，邱士利等[9]與Wu等[10]結論不一致；而陳衛(wèi)忠等[11]認為冪函數(shù)型M-C強度準則更好.

針對M-C強度準則在巖土工程應用中存在的問題，從能量轉化是物質(zhì)物理過程本質(zhì)屬性出發(fā)，本文從彈性應變能角度分析了M-C強度準則的不足之處，并據(jù)此建立了廣義M-C強度準則.

1 巖石彈性應變能的討論

1.1 彈性應變能

主應力空間彈性應變能Ue為

(1)

(2)

(3)

(4)

式(1)～(4)中：σ1、σ2、σ3分別為最大、中間及最小主應力；k2=σ2/σ1；k3=σ3/σ1；E為彈性模量；ν為泊松比；I2為應力張量第二不變量；J2為應力偏量第二不變量；定義J2g為廣義應力偏量第二不變量；UeJ2為與J2有關的彈性應變能；UeI2為與I2有關的彈性應變能.

圖1表示某一應力水平(10 MPa,20 MPa,200 MPa)條件下，Ue、UeJ2及UeI2隨泊松比的變化規(guī)律，其中，E=15 GPa.由圖1可以看出，應力水平確定，則UeJ2保持不變；隨泊松比增加，Ue及UeI2逐漸減小，即UeI2反映了Ue的變化趨勢.基于彈性應變能釋放是材料屈服的根本原因[12～13]可知，當UeJ2與UeI2均大于零，僅考慮UeJ2對巖石屈服的影響，將導致理論計算結果偏大；當UeI2<0時，僅考慮UeJ2對巖石屈服與破壞的影響，將導致理論計算結果偏小.

圖1 不同泊松比條件下應變能變化規(guī)律

1.2 廣義應力偏量第二不變量

由式(1)～(4)，對應力偏量第二不變量、應力張量第二不變量、泊松比及廣義應力偏量第二不變量進行簡單討論.

(1)J2g可反映某一應力狀態(tài)下巖石所儲存的彈性應變能.

(2) 由于J2、I2均是不變量，因此J2g是隨泊松比的變化而變化的應力不變量；ν=0.5時，J2=J2g，而ν≠0.5時，J2≠J2g.

(3)J2反映了巖石所儲存的彈性應變能的一部分，既可大于J2g，又可小于J2g.從本質(zhì)上講，UeJ2可看作是泊松比等于0.5時的Ue.從J2g物理意義來看，ν=0.5時,J2g≡J2，相應可得UeJ2=Ue、UeI2=0，可見UeJ2認為材料在任意應力狀態(tài)下(比如，巖石處于屈服與破壞的極限狀態(tài)時)泊松比均為0.5.因此，與J2g相比，J2用于巖石是否屈服與破壞，可能會存在一些不足之處.

(4)I2起放大或減小J2的作用；從上述UeI2分析來看，I2的作用可看作是限制(促進)材料的側向變形，相應地將提高(降低)材料的強度.

(5) 0<ν<0.5.①若I2<0，則UeI2>0、00，則UeI2<0、0

(6)ν>0.5.①若I2<0，則UeI2<0、00時的情況相同.② 若I2>0，則UeI2>0、0

由此可見，J2、J2g及I2均與Ue有關，J2g反映了Ue，而J2及I2僅表征了部分彈性應變能UeJ2=dUe、UeI2=(1-d)Ue(d可大于1).因此，從能量轉化的角度來看，J2g比J2更適合描述巖石的力學特性.

2 巖石變形過程中泊松比的討論

由于Ue、UeI2及J2g均涉及到泊松比，因此，本文利用已有的巖石應力應變曲線對泊松比進行一個簡單討論.

泊松比多通過單軸壓縮試驗的側向變形ε3與軸向變形ε1之比確定.式(5)為切線泊松比，為簡化計算采用式(6).

ν=-dε3/dε1

(5)

(6)

εV=ε1+ε2+ε3=(1-2ν)ε1

(7)

式中：ε3(i-1)、ε1(i-1)、ε3i、ε1i分別為與軸向荷載σ1(i-1)、σ1i相對應的側向變形與軸向變形；εV為體應變.為簡化分析，假定ε2=ε3.

圖2、圖3為圖件數(shù)字化得到的單軸壓縮[14]與三軸壓縮條件下[15]巖石的應力應變曲線.單軸壓縮條件下大理巖計算的泊松比逐漸增加，最大值接近于1.0；三軸壓縮條件下鹽巖泊松比逐漸減小.卸荷條件下受裂隙擴展張開變形的影響，泊松比甚至超過了0.8[16].可見，無論是單軸壓縮還是三軸壓縮條件下，通過試驗確定巖石的泊松比都較為困難，且單軸壓縮試驗結果確定的泊松比，能否適用于復雜的應力狀態(tài)尚無明確結論[17].另外根據(jù)陳衛(wèi)忠等[18]、劉寧等[19]所作的應力應變曲線可以看出，應力水平不同巖石的泊松比也有所不同.

圖2 大理巖單軸壓縮試驗變形特性[14]

圖3 三軸壓縮條件下鹽巖應力應變關系[15]

一方面，在巖石試驗過程中觀察到巖石存在擴容現(xiàn)象(由式(7)得其泊松比大于0.5是合理的)；另一方面理想彈塑性材料極限泊松比為0.5，而巖石，特別是受載后巖石并非理想彈塑性材料，可見巖石泊松比更為復雜.因此，在本文提出的強度準則中泊松比可大于0.5.

由于巖石材料與巖石泊松比均較為復雜，處于彈性極限狀態(tài)與破壞極限狀態(tài)的巖石泊松比主要通過數(shù)值擬合的方法確定.巖石工程中泊松比確定方法如下：①通過對三軸壓縮試驗數(shù)據(jù)擬合，確定不同應力水平條件下巖石泊松比；②根據(jù)巖石工程的應力狀態(tài)，確定實際巖石工程計算的泊松比.

3 M-C強度準則的討論

通過數(shù)學處理后，對各向同性材料，強度準則可用統(tǒng)一的表達式(8)進行表示[1].

,J3,K1,K2,K3…)

(8)

式中：I1為應力張量第一不變量；J3為應力偏量第三不變量；K1、K2、K3為材料參數(shù).

,J3,K1,K2,K3…)

(9)

(10)

M-C強度準則可表達為

(11)

式中：θσ為羅德角；c、φ分別為材料的黏聚力與內(nèi)摩擦角，由M-C強度準則確定.

(12)

(13)

由式(12)與式(13)可以看出：M-C強度準則僅考慮了UeJ2，而未考慮UeI2對材料屈服與破壞的影響，因此，這可能存在導致違反能量守恒定律的情況出現(xiàn)；或者說M-C強度準則認為巖石屈服與破壞時的泊松比均為0.5.從能量角度來看，M-C強度準則物理意義為：當Ue達到某一臨界值，且泊松比必須等于0.5，材料才開始屈服或破壞，這可能是該準則需改進之處.

4 廣義M-C強度準則

4.1 廣義M-C強度準則的建立

根據(jù)謝和平等[12-13]提出的能量耗散使材料強度降低，彈性應變能釋放使材料破壞的基本原理，并基于上述M-C強度準則的不足之處，提出廣義M-C強度準則的物理意義：當Ue達到某一臨界值(泊松比不需等于0.5)，材料就開始屈服或破壞，據(jù)此建立廣義M-C強度準則，即將式(13)左側UeJ2變換為Ue，可得

(14)

(15)

式(15)即為廣義M-C強度準則.根據(jù)廣義應力偏量第二不變量的討論，與M-C強度準則相比，廣義M-C強度準則的計算結果存在4種可能：

(1) 當0<ν<0.5、I2<0時，廣義M-C強度準則計算結果小于M-C強度準則計算結果.

(2) 當0<ν<0.5、I2>0時，廣義M-C強度準則計算結果大于M-C強度準則計算結果.

(3) 當ν>0.5、I2>0時，廣義M-C強度準則計算結果小于M-C強度準則計算結果.

(4) 當ν>0.5、I2<0時，則廣義M-C強度準則計算結果大于M-C強度準則計算結果.

廣義M-C強度準則具有以下特點：①廣義M-C強度準則的各參數(shù)c、φ由M-C強度準則確定.②廣義M-C強度準則是以泊松比為參數(shù)的一族統(tǒng)一屈服準則的集合，而非單一屈服準則.③泊松比等于0.5時，廣義M-C強度準則簡化為M-C強度準則，即M-C強度準則認為材料在任意應力水平條件下屈服與破壞時的泊松比均為0.5.④可直接利用M-C強度準則的優(yōu)點與已有的成果，便于廣義M-C強度準則的推廣和應用.可見，基于彈性應變能的廣義M-C強度準則的適用范圍更廣.

4.2 理論分析

圖4 π平面的屈服軌跡

由圖4可以看出(以I2<0為例進行說明)：① 泊松比越小，廣義M-C強度準則計算的結果越利于安全.②泊松比等于0.5時，廣義M-C強度準則屈服軌跡為線性；泊松比不等于0.5時，廣義M-C強度準則屈服軌跡為非線性，且泊松比越小，屈服軌跡的非線性愈明顯.③隨著羅德角的增加，不同泊松比之間應力偏量第二不變量的差值先增加，后減小(其中，θσ=-30°時最?。沪圈?30°時差值最大)，即廣義M-C強度準則與M-C強度準則計算的理論值，在θσ=-30°時差值最??；而在θσ<30°時差值最大.I2>0時結論與I2<0相反.

由廣義M-C強度準則π平面屈服軌跡可知，若深部硬巖破壞(或沖擊破壞)時的泊松比小于0.5，則M-C強度準則計算結果偏于不安全，這與邱士利等[8]指出由于忽視了中間主應力的影響，M-C強度準則對深部硬巖工程而言，可能造成潛在的不安全相一致；相反，若深部硬巖破壞時的泊松比大于0.5，M-C強度準則計算結果將偏于安全.

綜上所述，M-C強度準則是否適用于某類巖石或某一類型的工程，與泊松比是否等于0.5有關，即若處于屈服極限狀態(tài)或破壞極限狀態(tài)時巖石的泊松比等于0.5，則M-C強度準則適用性可能較好，反之，M-C強度準則不適用.這也正說明了廣義M-C強度準則適用性遠高于M-C強度準則適用性.

由圖4可以看出，泊松比小于0.5(I2<0)或大于0.5(I2>0)情況下，強度準則在π平面上屈服軌跡不能保持完全非凸性，同時考慮到廣義M-C強度準則也存在尖頂產(chǎn)生的數(shù)值計算問題，可采用其他研究者[20]已提出的利用橢圓型、雙曲線型和空間滑動面(SMP)的羅德角函數(shù)對其屈服面進行修正.

4.3 廣義強度準則的驗證

為驗證基于現(xiàn)有強度準則提出的廣義強度準則的合理性與有效性，對鹽巖(屬于軟巖)與白云巖的試驗數(shù)據(jù)進行了驗證，結果見圖5、圖6.其中，表1為強度準則計算參數(shù)與擬合的泊松比.

圖5 鹽巖理論計算結果[21]

由于M-C強度準則在巖土工程數(shù)值計算中具有重要地位，且M-C強度準則是廣義M-C強度準則的特例，因此，本文在已有的研究成果的基礎上，僅對M-C強度準則與廣義M-C強度準則的計算結果進行了對比分析.

a M-C強度準則

b 廣義M-C強度準則

巖石種類c/MPaφ/(°)ν鹽巖[21]15390.53(0.44)白云巖[22]78.1[23]34.8[23]0.70(0.59)

注：括號中的泊松比由第2組試驗數(shù)據(jù)擬合得到.

泊松比擬合方法：由于應力水平對泊松比的影響，因此，首先將試驗數(shù)據(jù)分為2組，第1組為最小主應力與中間主應力均相對較小的試驗數(shù)據(jù)；第2組為最小主應力與中間主應力均相對較大的試驗數(shù)據(jù)；然后，分別計算第1組與第2組相應于試驗最小主應力和中間主應力強度的σCTi(第i樣品的最大主應力)；最后，分別取對應于第1組與第2組平均誤差最小值的ν1、ν2為式(16)在不同應力水平條件下的擬合泊松比.采用均方根誤差[24]、平均誤差處理的各強度準則第一主應力計算誤差見表2.

(16)

(17)

(18)

(19)

表2 不同準則計算的均方根誤差與平均誤差

由表1～2及圖5～6可以看出：①廣義M-C強度準則計算的理論強度與試驗值更接近，精度更高.②廣義M-C強度準則對鹽巖與白云巖的破壞強度進行計算，圍壓較小時泊松比分別為0.53、0.70，而圍壓較大時泊松比分別為0.44、0.59，這說明受裂隙擴展的影響，考慮巖石破壞時的泊松比不等于0.5可能更合理.③當M-C強度準則(ν=0.5)計算結果大于試驗值情況下，則ν<0.5時廣義M-C強度準則計算結果精度更高(I2<0)；反之，若M-C強度準則計算結果小于試驗值，則相應的ν>0.5時廣義M-C強度準則計算結果精度更高，這與理論分析相一致.

廣義M-C強度準則計算精度較高的原因是從本質(zhì)上反映了彈性應變能釋放是巖石屈服與破壞的根本原因，既考慮了應力張量第二不變量，又考慮了泊松比對巖石屈服與破壞的影響，更符合巖石屈服與破壞時的泊松比不一定為0.5這一情況.

本文根據(jù)最小主應力將試驗數(shù)據(jù)分為兩組進行擬合，分別計算巖石的破壞強度.若對不同的應力水平采用不同的擬合泊松比，則廣義M-C強度準則的計算精度將更高，甚至于試驗值及理論值可能完全相同.因此，廣義M-C強度準則的關鍵，就是如何更好確定巖石處于屈服狀態(tài)或破壞狀態(tài)時的泊松比.

5 結論

(1) 為了建立彈性應變能Ue與應力不變量之間的關系，將Ue看作是與J2有關的彈性應變能UeJ2和與I2有關的彈性應變能UeI2之和，并分析了UeJ2與UeJ2對巖石破壞的影響.

(2) 提出了包含J2、I2及ν的廣義應力偏量第二不變量J2g，該物理量能夠反映巖石所儲存的彈性應變能.

(3) M-C強度準則認為材料屈服與破壞時泊松比均為0.5，這是M-C強度準則計算精度不高的重要原因之一，且違反了能量守恒定律.

(4) 廣義M-C強度準則是一族強度準則的集合，泊松比等于0.5時蛻化為M-C強度準則；該準則認為巖石屈服與破壞時泊松比不一定為0.5.

(5) 基于鹽巖與白云巖的試驗結果，對比分析了M-C強度準則、廣義M-C強度準則的計算效果.結果表明，廣義M-C強度準則可較好地描述巖石材料的破壞強度，計算結果較為精確.