杜明洋,畢大平,王樹亮,潘繼飛

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院,230037,合肥)

密集多目標(biāo)跟蹤是信息融合、航空航天領(lǐng)域的難點問題。尤其是對于空間位置很近、互相遮擋現(xiàn)象嚴(yán)重的目標(biāo),如低空飛行的飛機(jī)編隊、鳥群等。在跟蹤上述類型的目標(biāo)時,可能存在一個雷達(dá)波束內(nèi)有多個目標(biāo)的情況,從而導(dǎo)致無法分辨出每一個個體目標(biāo)[1-2]。針對上述問題,相關(guān)學(xué)者提出對群的整體進(jìn)行跟蹤,主要包括概率假設(shè)密度(PHD)濾波和Bayesian遞推算法。其中,洛克希德公司提出的PHD濾波算法可以有效跟蹤未知數(shù)目的空間臨近目標(biāo),不需要數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)即可從目標(biāo)狀態(tài)中同時提取目標(biāo)數(shù)量和狀態(tài)估計[3-6],但該算法存在大量的集合積分,推導(dǎo)復(fù)雜,并且無法給出目標(biāo)航跡,不利于實際應(yīng)用推廣[7-9]。Koch提出利用隨機(jī)矩陣(RM)描述群的形狀以改善跟蹤效果,將目標(biāo)形狀參數(shù)描述為逆Wishart分布,將目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)參數(shù)描述為Gaussian分布,采用Bayesian遞推的方法對上述參數(shù)進(jìn)行估計[10-15]。

以飛機(jī)編隊為例,在運(yùn)動過程中,基于特定的戰(zhàn)術(shù)要求,會出現(xiàn)分離、合并等機(jī)動模式[7],與轉(zhuǎn)彎機(jī)動不同的是,成員的合并與分離對于群目標(biāo)跟蹤來說,會引起群形狀和質(zhì)心的明顯變化,造成跟蹤誤差變大。對分離后的群目標(biāo)仍采用一個橢圓描述群外形顯然是不準(zhǔn)確的,因為此時單個橢圓將無法反映群的態(tài)勢[16-17]。文獻(xiàn)[16]通過分析橢圓(體)與正定矩陣的關(guān)系,提出了一種新的描述群外形的方法,該算法降低了群機(jī)動對跟蹤精度的影響,但該算法采用半正定規(guī)劃估計橢圓的半軸,需要大量的迭代尋優(yōu)計算,從而嚴(yán)重影響了跟蹤的實時性。本文基于文獻(xiàn)[16]的思想,結(jié)合群分離的特性,通過傳統(tǒng)隨機(jī)矩陣算法估計橢圓的尺寸變化檢測群的分離,當(dāng)檢測到群分離后,采用k-均值算法對有效量測進(jìn)行聚類,形成若干個小群,再利用最小二乘法將各分群擬合成橢圓以描述群的形狀,最后進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)。相比前述算法,本文混合算法既提高了對機(jī)動群目標(biāo)的跟蹤精度,又提高了實時性。

1 基于隨機(jī)矩陣的群目標(biāo)跟蹤

1.1 模型建立

(1)運(yùn)動模型選取當(dāng)前統(tǒng)計(CS)模型,其運(yùn)動狀態(tài)模型為

(1)

CS模型可以實現(xiàn)閉環(huán)的自適應(yīng)跟蹤,但仍存在一些不足之處:首先,CS模型難以根據(jù)不同類型的機(jī)動自適應(yīng)地選取自相關(guān)時間常數(shù);其次,該模型對于加速度較小的弱機(jī)動目標(biāo)跟蹤誤差較大。

(2)形態(tài)演化模型。該模型描述了目標(biāo)的形態(tài)隨著時間的演化過程,包括大小、形狀和朝向等方面。文獻(xiàn)[14-15]給出了可精確刻畫上述過程的演化模型

(2)

式中:p[Xk|Xk-1]為Xk-1到Xk的變化概率;δk為演化分布的自由度;Ak為形態(tài)演化矩陣;W(Y;a,C)表示威沙特(Wishart)分布。

(3)

1.2 跟蹤算法

狀態(tài)xk和形態(tài)Xk的聯(lián)合后驗概率密度可以分解為

p[xk,Xk|Zk]=p[xk|Xk,Zk]p[Xk|Zk]

(4)

式中:Zk為1～k時刻所有的量測數(shù)據(jù)。

在隨機(jī)矩陣的框架下,假設(shè)

p[xk-1,Xk-1|Zk-1]=

p[xk-1|Xk-1,Zk-1]p[Xk-1|Zk-1]=

(5)

式中:WI(·)表示逆威沙特(Inverse Wishart,IW)分布。

(1)預(yù)測。將運(yùn)動狀態(tài)與擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)一步預(yù)測的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行如下分解

p[xk,Xk|Zk-1]=p[Xk|Zk-1]p[xk|Xk,Zk-1]

(6)

式中

(7)

p[xk|Xk,Zk-1]≈

(8)

根據(jù)逆威沙特分布的性質(zhì),Xk的一步預(yù)測的均值為

(9)

(2)更新。給定k時刻數(shù)據(jù)的個數(shù)nk,則有

p[Z(k)|nk,xk,Xk]∝

(10)

將式(8)和式(10)代入式(6),可得

(11)

2 基于聚類的群劃分與航跡關(guān)聯(lián)

通過對上節(jié)中算法的仿真研究發(fā)現(xiàn),群分離時,基于隨機(jī)矩陣算法的橢圓估計尺寸變化劇烈,基于此,可以設(shè)立門限值η,當(dāng)連續(xù)若干周期,橢圓尺寸變化率均超過η時,即可判為群分離。本文基于k-均值聚類算法,將分離后的群目標(biāo)分為若干個分群進(jìn)行跟蹤。具體步驟如下。

2.1 群劃分

(1)群分離判決。選取橢圓面積的變化率作為群分離的判別指標(biāo)。當(dāng)連續(xù)γ個周期,橢圓面積的變化率ΔS均高于門限值η,則判為群分離,即

ΔS=π(Δa)(Δb)>η

(12)

(2)選擇聚類中心。假設(shè)群內(nèi)聚類數(shù)為T,定義群內(nèi)第t個聚類中心在k時刻的狀態(tài)向量為

(13)

考慮到聚類中心將參與小群幾何中心的計算,因此最好選擇群內(nèi)的目標(biāo)點,這樣可以避免引入新的點跡,影響群內(nèi)目標(biāo)的分布。此外,想要選出極有可能不在同一簇的點,一種簡單的方法是選擇彼此距離盡量遠(yuǎn)的點跡,即最遠(yuǎn)原則?；诖?聚類中心的選取按照以下步驟進(jìn)行:

步驟3分別計算剩余點到前兩個聚類中心的距離,兩個距離中的較小值作為該點到前兩個聚類中心的“得分”,選擇“得分”最高對應(yīng)的點作為第3個聚類中心;

步驟4以此類推,完成聚類中心的初始化。

考慮到基于隨機(jī)矩陣的群目標(biāo)跟蹤旨在描述群的外形,同時對群的中心進(jìn)行估計;并且當(dāng)群內(nèi)目標(biāo)較少時,往往對單個目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,單個點目標(biāo)不存在外形估計問題。因此,分群數(shù)量不宜過多,本文中T取2。

(3)形成臨時小群。計算群內(nèi)量測與聚類中心的距離,將量測歸于最近的聚類中心,形成t個小群,此時聚類小群不分先后,為臨時狀態(tài)。計算各小群的幾何中心為

(14)

(15)

2.2 航跡關(guān)聯(lián)

(16)

選取距離k時刻最近的聚類中心j進(jìn)行關(guān)聯(lián),其航跡關(guān)聯(lián)示意圖如圖1所示。

圖1 航跡關(guān)聯(lián)示意圖

3 基于最小二乘法擬合橢圓

最小二乘法是比較常用的橢圓擬合方法,其思想是在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時利用最大似然法進(jìn)行最優(yōu)估計,使得測量誤差的平方和最小。

D=(X-X′)TWTW(X-X′)

(17)

圖2 樣本點P及橢圓上的正交近鄰點P′

(18)

(19)

通過式(19)可得

(20)

式中:J是Jacobian矩陣。

綜上,本文算法流程如圖3所示。

圖3 本文算法流程圖

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)通過蒙特卡洛仿真實驗對本文算法的有效性進(jìn)行驗證。群質(zhì)心運(yùn)動狀態(tài)及形狀估計的評價指標(biāo)采用均方根誤差(RMSE),分別定義為

(21)

(22)

4.1 運(yùn)動場景

跟蹤由8個目標(biāo)組成的群目標(biāo),各目標(biāo)初始位置在(500 m,1 000 m)附近隨機(jī)產(chǎn)生,目標(biāo)間距在150～300 m之間,目標(biāo)在xy平面內(nèi)運(yùn)動,模擬實際飛機(jī)編隊飛行,采樣間隔為1 s,仿真運(yùn)動時間為140 s。群目標(biāo)運(yùn)動分為以下6個階段:

(1)t=1～17 s,vx=200 m/s、vy=50 m/s,勻速;

(2)t=18～43 s,以轉(zhuǎn)彎速率4.77 rad/s左轉(zhuǎn)彎;

(3)t=44～53 s,勻速;

(4)t=54～80 s,以轉(zhuǎn)彎速率-4.77 rad/s右轉(zhuǎn)彎;

(5)t=81～100 s,勻速;

(6)t=101 s時群分離,分群1中包括4個目標(biāo)繼續(xù)做勻速運(yùn)動;分群2中另外4個目標(biāo)以轉(zhuǎn)彎速率-3 rad/s做右轉(zhuǎn)彎運(yùn)動。x軸和y軸量測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σx=30 m和σy=30 m。檢測概率Pd=0.98,門概率Pg=0.999 7,蒙特卡洛仿真次數(shù)為50。在濾波過程中產(chǎn)生隨機(jī)的雜波,雜波的空間位置服從高斯分布,雜波個數(shù)服從泊松分布,初始雜波密度λ=4×10-4個/m2。在群分離的判別中,γ選取5,η選取1 000 m2。運(yùn)動狀態(tài)估計模型選取“當(dāng)前”統(tǒng)計模型,其中機(jī)動頻率設(shè)置為α=1/40,amax=50 m/s2,amin=-50 m/s2。群目標(biāo)外形初始橢圓長短半軸分別取350 m和80 m。

4.2 仿真結(jié)果及分析

接收到的量測數(shù)據(jù)分布如圖4所示。為驗證本文算法的有效性,分別對二分群和三分群的運(yùn)動過程進(jìn)行仿真,并與文獻(xiàn)[4]算法進(jìn)行比較,跟蹤及關(guān)聯(lián)效果如圖5～圖7所示。

圖4 量測數(shù)據(jù)分布

由圖5a、5b可以看出,文獻(xiàn)[4]算法能夠準(zhǔn)確地描述群整體發(fā)生轉(zhuǎn)彎等整體機(jī)動時的外形;但當(dāng)群分離時,由圖5c、5d可以看出,隨著群內(nèi)目標(biāo)間隔逐漸增大,文獻(xiàn)[4]算法對群運(yùn)動狀態(tài)和外形的估計誤差明顯增大,其中外形估計的誤差變化更劇烈,這也證明了可以通過群外形估計的變化率判定群是否發(fā)生分離。

(a)分離前群的外形真實值

(b)分離后群的外形估計值

為驗證本文算法中航跡關(guān)聯(lián)的有效性,通過對二分群及三分群的運(yùn)動過程進(jìn)行仿真,比較航跡關(guān)聯(lián)前后的跟蹤效果,并計算分離前后的跟蹤誤差,如圖6、圖7所示。比較圖6a、圖6b,圖7a、圖7b,可以看出,本文算法通過計算前后兩時刻的各分群間距,基于最近鄰思想,較好地實現(xiàn)了航跡關(guān)聯(lián)。比較圖6c及圖7c、圖7d可以看出,本文算法對群分離后的外形估計誤差與文獻(xiàn)[4]算法對群分離前的外形估計誤差是同一量級,證明了算法的有效性。此外,隨機(jī)矩陣算法估計收斂較慢,并且精度會受到群機(jī)動的影響;最小二乘法根據(jù)量測值實時地擬合生成橢圓,估計精度不會受到群機(jī)動的影響,但依賴于k-均值的聚類結(jié)果。

為比較文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[4]與本文算法的精度和實時性,對二分群運(yùn)動過程進(jìn)行仿真,計算3種算法的運(yùn)動狀態(tài)、外形估計的均方根誤差及不同雜波密度下的單次蒙特卡洛耗時,具體結(jié)果如圖8及表1～表3所示。

(a)未航跡關(guān)聯(lián)

(b)航跡關(guān)聯(lián)

(c)估計誤差圖6 本文算法跟蹤二分群運(yùn)動場景及性能

(a)未航跡關(guān)聯(lián)

(b)航跡關(guān)聯(lián)

(c)分離前形狀估計誤差

(d)分離后分群形狀估計誤差圖7 本文算法跟蹤三分群運(yùn)動場景及性能

圖8 2種算法分離前跟蹤精度對比

由表3數(shù)據(jù)可以看出,為了實現(xiàn)對群分離的跟蹤,本文提出的混合算法相比文獻(xiàn)[4]中單一的隨機(jī)矩陣算法,單次蒙特卡洛耗時平均增加了35%左右。結(jié)合表1、表2中的均方根誤差可以看出,文獻(xiàn)[16]算法與本文算法對群外形估計的精度相當(dāng),但前者耗時較大,影響了跟蹤的實時性。這是由于前者采用半正定規(guī)劃對群外形橢圓的估計過程(包括確定橢圓半軸長上、下界,遍歷尋優(yōu)等)較復(fù)雜,大量的迭代運(yùn)算影響了運(yùn)算速度,而本文算法基于最小二乘法,在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布的假設(shè)下,只需滿足式(20)的各橢圓參數(shù)值即可。相比之下,不需要進(jìn)行迭代和遍歷運(yùn)算,因此實時性更好。

表1 3種算法的運(yùn)動狀態(tài)估計均方根誤差對比

表2 3種算法的外形估計均方根誤差對比

表3 3種算法的算法耗時對比

5 結(jié) 論

基于隨機(jī)矩陣的群目標(biāo)跟蹤算法能夠同時估計群質(zhì)心的運(yùn)動狀態(tài)和群的外形特征,逐漸成為群目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域研究的熱點。針對傳統(tǒng)算法對群分離后跟蹤誤差較大的問題,本文提出了一種基于隨機(jī)矩陣與最小二乘法相結(jié)合的群目標(biāo)外形估計算法。該混合算法根據(jù)傳統(tǒng)算法估計橢圓尺寸的變化率檢測群的分離,采用k-均值聚類形成分群,最后基于最小二乘法對各分群的外形進(jìn)行擬合。仿真表明,檢測群分離的方法有效,對機(jī)動群目標(biāo)的跟蹤精度有明顯提高,能夠較好地反映群分離后的運(yùn)動態(tài)勢及外形特征變化。