蘭 歆，韋宏利，陳超波

(西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，陜西 西安 710021)

0 引 言

隨著自動控制的發(fā)展，及其在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸和國防等各領(lǐng)域應(yīng)用的不斷提高，高精度的控制也逐步提升。倒立擺是一個非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，具有形象、直觀、結(jié)構(gòu)簡單、物理參數(shù)和形狀易于改變、成本低廉等優(yōu)勢。在控制理論發(fā)展過程中，將創(chuàng)新的控制算法應(yīng)用到倒立擺系統(tǒng)的控制上，可驗證該控制理論的性能，評判它在實際應(yīng)用中的可行性，并對各種方法的控制性能進(jìn)行對比，從而提出控制效果更優(yōu)的控制算法。倒立擺系統(tǒng)控制的方法有：PID控制[1]、狀態(tài)反饋控制[2]、模糊控制[3]、擬人智能控制[4]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[5]等等。

分?jǐn)?shù)階微積分(fractional-order calculus)是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的廣義形式,兩者同時產(chǎn)生。分?jǐn)?shù)階微積分，指微分、積分的階次是任意的也可以是分?jǐn)?shù)的，優(yōu)于整數(shù)階。分?jǐn)?shù)階微積分在科技、工程和工業(yè)等領(lǐng)域的研究和應(yīng)用不斷增加。分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)可以用時域、頻域、復(fù)域進(jìn)行表示，也可通過穩(wěn)定性、魯棒性、可觀性、可控性等來分析。其中對分?jǐn)?shù)階具有很大影響的是Igor Podlubny教授提出的PIλDμ[6]。分?jǐn)?shù)階PID不僅是從整數(shù)階擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)階，同時比傳統(tǒng)的PID控制多了2個可調(diào)參數(shù)：積分階次λ和微分階次μ，這相當(dāng)于增加了兩個維度，更便于調(diào)控[7-13]。

隨著PIλDμ的提出及廣泛應(yīng)用，對其參數(shù)尋優(yōu)方法的研究受到了研究者的青睞。Vinagre[14]提出了基于相角裕度和幅值裕度方法，還提出了極點(diǎn)階數(shù)搜索法(即通過估計K來搜索一對較優(yōu)的極點(diǎn)在時域上)。文獻(xiàn)[15]采用對稱優(yōu)化方法改進(jìn)了相角裕度和幅值裕度。文獻(xiàn)[16-17]采用3種方法來研究PIλDμ的參數(shù)整定。上述方法都有一個共同的特點(diǎn)，即控制器參數(shù)都通過大量的公式推導(dǎo)得出，計算量相當(dāng)大且繁瑣復(fù)雜。文獻(xiàn)[18]在PIλDμ設(shè)計中加入粒子群算法，簡化了結(jié)構(gòu)以及參數(shù)設(shè)置，同時擁有非常強(qiáng)大的全局優(yōu)化水平且便于實現(xiàn)，但是未能改善PSO算法易陷入局部最優(yōu)和收斂效率低等問題。

在上述研究基礎(chǔ)上，文中提出一種CAPSO算法，結(jié)合自適應(yīng)調(diào)節(jié)慣性權(quán)重的算法和混沌粒子群算法，以避免算法的局部收斂、提高算法的精確度。

1 倒立擺數(shù)學(xué)建模與分析

文中倒立擺系統(tǒng)描述中涉及的符號、物理意義及相關(guān)數(shù)值如表1所示。

表1 直線一級倒立擺的參數(shù)指標(biāo)

倒立擺受力分析如圖1所示。

由圖1可得：

(1)

Fh=Fg·cosα

(2)

Fs=Fg·sinα

(3)

對擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可得:

(4)

對擺桿垂直方向的受力進(jìn)行分析可得:

(5)

圖1 倒立擺受力分析

基于力矩平衡方程得：

Fglsinαcosθ+Fglcosαsinθ+

(6)

化簡得：

假設(shè)θ<<1，則可以進(jìn)行近似處理:

(7)

(8)

方程化為：

令Ff=Fg(-sinα-θcosα),則上式化為：

(9)

代入實際數(shù)據(jù)后，得到：

(10)

忽略Ff，得到如下系統(tǒng)的微分方程：

(11)

(12)

(13)

2 分?jǐn)?shù)階PID控制器

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分基本定義

(14)

Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分定義：對于任意實數(shù)m>0，整數(shù)部分為[m](即[m]為小于m的最大整數(shù))，則函數(shù)f(t)的α階微積分為：

(15)

其中

Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義:

(16)

其中，m-1<α

Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義：

其中，m-1<α

2.2 分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計

PIλDμ控制器包括積分階次λ和微分階次μ，若λ=μ=0，實現(xiàn)P控制器，若λ=1，μ=0,實現(xiàn)PI控制器，若λ=0，μ=1，實現(xiàn)PD控制器，若λ=μ=1，實現(xiàn)PID控制器。若λ、μ為任意實數(shù)或者復(fù)數(shù)，得到分?jǐn)?shù)階控制器為:

G(s)=Kp+Kis-λ+Kdsμ

(18)

PIλDμ控制器設(shè)計過程中需要先進(jìn)行數(shù)值實現(xiàn)。文中利用Oustaloup[19]逼近算法進(jìn)行離散化處理后進(jìn)行數(shù)值實現(xiàn)。對于分?jǐn)?shù)階微積分算子的數(shù)值實現(xiàn)是Oustaloup濾波器[15]在頻率域內(nèi)，對Dα進(jìn)行近似處理。Oustaloup濾波器的傳遞函數(shù)為:

(19)

濾波器零極點(diǎn)和增益如下：

(20)

(21)

3 基于改進(jìn)的粒子群算法的分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)的尋優(yōu)

3.1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)[20-23]在求解優(yōu)化問題時,每個問題的解被看作一個個的微粒。假設(shè)在一個D維搜索空間中，由N個粒子組成的種群中第i個粒子在D維搜索空間的位置Xi(k)=(Xi1(k),Xi2(k),…,Xid(k))T?；谀繕?biāo)函數(shù)中的每個粒子位置表示為pi=(pi1,pi2,…,piD)T，它所對應(yīng)的適應(yīng)度在第i個粒子的速度Vi(k)=(Vi1,Vi2,…,Vid)T，其個體最優(yōu)位置為種群的群體最優(yōu)位置pg=(pg1,pg2,…,pgD)T，且1≤d≤D,1≤i≤N。則更新粒子的速度和位移：

vid(k+1)=ω(k+1)vid(k)+a1r1[pid(k)-

xid(k)]+a2r2[pgd(k)-xid(k)]

(22)

xid(k+1)=xid(k)+vid(k+1)

(23)

其中，假定粒子的編號是i=0，1，2…;a1、a2為學(xué)習(xí)因子(通常取值為2);r1、r2為分布在[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

3.2 改進(jìn)的粒子群算法

針對PSO算法的缺陷，提出一種基于Logistic混沌搜索機(jī)制的粒子群算法，以提高粒子群的多樣性和全局搜索能力。在該算法中，初始化混沌有助于增加粒子種群的多樣性，而且混沌搜索可避免粒子陷入局部最優(yōu)。在文獻(xiàn)[20-24]中提出的各種混沌搜索算法都可以增強(qiáng)局部搜索能力。當(dāng)粒子發(fā)生早熟時，由下式來更新位置變量：

yi+1=4y1(1-yi)

(24)

(25)

其中，yi∈[0,1]是混沌狀態(tài)處于系統(tǒng)的第i個變量；δ是決定變異的一個范圍。

加入自適應(yīng)調(diào)整策略，既可以對慣性權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，又保證了局部搜索和全局搜索之間的相互協(xié)調(diào)。在相關(guān)文獻(xiàn)中提出了慣性權(quán)重關(guān)于時間的線性遞減自調(diào)整策略，但在實際搜索時ω是非線性的過程，所以不能反映實際的優(yōu)化搜索能力。對此，文中提出對ω的動態(tài)自調(diào)整策略，不僅可以控制粒子速度，而且還能平衡算法的全局搜索和局部搜索性能。具體調(diào)整方法如下:

(26)

其中，ωmax和ωmin分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值；itermax和itermin分別為最大的迭代次數(shù)和最小的迭代次數(shù)。

當(dāng)開始迭代時，迭代次數(shù)越小，慣性權(quán)重ω越大，粒子的運(yùn)動速度、收斂速度都變快，從而易于全局搜索；反之，可將其作為局部搜索。

3.3 確定改進(jìn)后算法的目標(biāo)函數(shù)

適應(yīng)度函數(shù)可作為PSO算法優(yōu)化搜索的基本依據(jù)。文中采用的參數(shù)選擇的目標(biāo)函數(shù)是常規(guī)的ITAE性能指標(biāo)。為了得到它的最小值，ITAE優(yōu)化法是由系統(tǒng)絕對值誤差與時間的乘積的積分進(jìn)行表示，即適應(yīng)度函數(shù)如下:

(27)

其中，假設(shè)每個粒子的位置都由一個5維向量表示，那么分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)向量表示為x=(kp,ki,kd,λ,μ)。根據(jù)改進(jìn)的粒子群算法進(jìn)行尋優(yōu)而得到的全局最優(yōu)解，也是控制器參數(shù)整定的最優(yōu)解。

3.4 基于CAPSO算法的PIλDμ的參數(shù)優(yōu)化

利用CAPSO算法整定PIλDμ參數(shù)的步驟如下:

Step1:將參數(shù)進(jìn)行初始化。即隨機(jī)生成粒子的參數(shù)，如N、itermax、ω。

Step2:采用混沌的方法初始化xi、vi，將PIλDμ參數(shù)設(shè)為變量xi，在遍歷范圍內(nèi)對xi、vi進(jìn)行隨機(jī)初始化。由式27計算fi(x)，并與pi進(jìn)行對比。若fi(x)

Step3:由式26調(diào)整ω，再由式24和式25更新xi、vi。

Step4:由式27計算更新后的適應(yīng)度值，新粒子的個體和所處全局的最優(yōu)位置，可得vt和xt。

Step5:判斷是否到達(dá)itermax。當(dāng)iter≥itermax時，轉(zhuǎn)至Step7，否則轉(zhuǎn)至Step6。

Step6:判斷算法是否陷入局部最優(yōu)。當(dāng)?shù)趇個粒子連續(xù)N次滿足條件f(xi)-f(pi)<η時(η為設(shè)定的常數(shù)閾值)，則認(rèn)為算法陷入局部最優(yōu)，用式24和式25進(jìn)行混沌搜索;否則轉(zhuǎn)至Step4。

Step7:返回x=(kp,ki,kd,λ,μ)，同時尋優(yōu)完成。

3.5 Matlab仿真與分析

利用MATLAB軟件對PIλDμ的參數(shù)x=(kp,ki,kd,λ,μ)進(jìn)行尋優(yōu)，基于Oustaloup近似算法完成逼近近似的過程。假設(shè)擬合頻率范圍為[10-3,103]，階次為4，N為500，itermax為1 000，采樣時間為0.001 s，ωmin取0.4，ωmax取0.8。因為算法中的參數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的，所以仿真結(jié)果取500次的平均值。

由表2、3和圖2所示，對PIλDμ控制器參數(shù)優(yōu)化過程中的幾種算法進(jìn)行了對比，可見主導(dǎo)極點(diǎn)法會產(chǎn)生大的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間漫長等問題。然而，PSO算法與它相比，超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等都有所下降，但不令人滿意。文中提出的CAPSO算法，仿真結(jié)果顯示上升時間短、超調(diào)量小，目標(biāo)函數(shù)ITAE值也最小，適應(yīng)度值為1.912 1，優(yōu)于上述兩種優(yōu)化算法。

表2 不同算法整定最優(yōu)參數(shù)

表3 不同算法時域性能參數(shù)

圖2 3種算法下的PIλDμ階躍響應(yīng)

將CAPSO算法應(yīng)用于整數(shù)階PID控制器和PIλDμ進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，階躍響應(yīng)曲線如圖3所示?？梢?，CAPSO-FOPID的控制效果要優(yōu)于CAPSO-PID，而且其調(diào)節(jié)時間更少。從仿真結(jié)果看出，超調(diào)量從25.86%降至6.50%，減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3 在階躍信號下的兩種控制器的響應(yīng)

4 結(jié)束語

將一種改進(jìn)的PSO算法用于傳統(tǒng)的PID控制與分?jǐn)?shù)階PID控制中，并進(jìn)行了對比仿真。結(jié)果表明，在控制性能上，分?jǐn)?shù)階控制器要優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器，而且CAPSO-FOPID控制器在收斂速度與精度上也得到大幅改善。該方法既達(dá)到了系統(tǒng)的性能要求，也滿足了PIλDμ控制器參數(shù)尋優(yōu)，同時也為分?jǐn)?shù)階PID控制器在倒立擺系統(tǒng)中的控制方法提供了參考。