徐丹青，安博文，趙明

（上海海事大學信息工程學院，上海 201306）

0 引言

大氣湍流退化圖像恢復技術是在遙感、天文觀測及遠程監(jiān)視領域中的重要步驟之一。由于大氣環(huán)境中的湍流無處無在，因此光學成像系統(tǒng)的成像效果受到極大的影響。

根據(jù)成像系統(tǒng)曝光的時間長短，大氣湍流退化圖像大致可分為兩類：長曝光大氣湍流圖像和短曝光大氣湍流圖像。長曝光大氣湍流圖像的退化特征為整體模糊，退化點擴散函數(shù)近似為高斯模型。短曝光大氣湍流圖像的退化特征為畸變和光照不均勻。

在自然條件下，我們一般很難獲取清晰圖像的先驗知識和退化點擴散函數(shù)。所以估計點擴散函數(shù)是一個復雜的問題。

本文中以大視角、遠距離條件下的長曝光大氣湍流退化圖像為研究對象，提出了一種點擴散函數(shù)的估計方法。首先，根據(jù)高斯函數(shù)模型建立長曝光大氣湍流退化圖像的點擴散函數(shù)框架，然后，通過對自然圖像的頻譜特征分析，建立了近似頻譜原點對稱的模型，在該模型的基礎上，結合退化圖像的頻譜構建清晰圖像的頻譜，再通過改進擬合方式獲得了點擴散函數(shù)的參數(shù)，最后利用維納濾波獲得了復原圖像。

1 點擴散函數(shù)估計方法

圖像退化模型可表示為如下：

式中：g（x,y）為退化圖像；f（x,y）為初始圖像；h（x,y）為大氣湍流的點擴散函數(shù)，將公式（1）轉(zhuǎn)換到頻域上，即可表示為：

式中：G、H、F、N 分別為 g、h、f、n 的傅里葉變換。

當光學成像系統(tǒng)的曝光時間較長比如達到幾秒至幾十秒，則記錄的是一個時間平均像，即為長曝光大氣湍流退化圖像，其傳遞函數(shù)H（u,v）可表示為：

波前相位空間結果函數(shù)可表示為：

r0為大氣相干長度，將波前相位空間結果函數(shù)（4）代入式（3）可得：

將公式（6）代入公式（5）中，可以得到基于r0的長曝光退化函數(shù)為：

進一步簡化可得到：

由上式可以看出，長曝光大氣湍流退化系統(tǒng)可以看成是一個高斯分布，α是由大氣介質(zhì)中湍流強度等環(huán)境因素決定，β是長曝光大氣湍流退化系統(tǒng)的參數(shù)。

由公式（2）各個分量分別取模，再將公式兩邊分別除以max（ ||G(u,v)）以進行歸一化，可得到：

假設環(huán)境中的噪聲對成像系統(tǒng)的影響較小（忽略噪聲影響）且滿足下列條件：

則頻譜歸一化模型可以近似看成：

將推導的長曝光大氣湍流退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（7）代入（13），然后再將兩邊取自然對數(shù)得：

因為原圖像和大氣湍流的點擴散函數(shù)的頻譜具有對稱性，所以可讓u=0，可得到如下結果：

只要得到α的值就可以計算出點擴散函數(shù)，因此，獲取點擴散函數(shù)的關鍵就在于構建ln ||F'(0,v)。APEX算法將ln ||F'(0,v)項看作常數(shù)，研究表明其取值在（2,6）范圍內(nèi)效果最佳。本文針對于復雜背景的自然圖像采用了“近似頻譜原點對稱”的模型對ln ||F'(0,v)進行充構建，一次來估計點擴散函數(shù)。

2 復雜背景下遠距離自然圖像大氣湍流退化前后頻譜特征

研究人員在分析遠距離自然圖像頻譜特征的過程中得出一個統(tǒng)計規(guī)律，即在自然圖像的傅里葉變換空間坐標軸上，如果采用雙對數(shù)坐標顯示，自然圖像的頻譜最佳擬合曲線有著相似的斜率。

本文選取的自然圖像是成像系統(tǒng)在遠距離條件下獲取的，具有背景復雜，紋理信息豐富，幾何線條多樣化的特點，其中圖1的（a）為清晰的自然圖像，（b）為清晰圖像頻譜取用正半軸數(shù)據(jù)且在雙對數(shù)坐標系下的顯示。根據(jù)頻譜可發(fā)現(xiàn)，中低頻段幾乎是斜線下降。

圖1 清晰圖像及頻譜

根據(jù)前文的分析，由于長曝光的大氣湍流退化過程可以表示為清晰圖像和點擴散函數(shù)的卷積，因此本文對此類退化過程進行模擬。

圖2位遠距離自然圖像在長曝光大氣湍流退化前后的頻譜對比。

其中（a）為清晰圖像，（b）為退化后的圖像。經(jīng)過大量模擬實驗可知，經(jīng)過大氣湍流后的退化圖像，其頻譜要整體低于清晰圖像，且高頻部分變化更加明顯，遠距離拍攝的圖像，其頻譜在退化之前的中低頻段幾乎為一條直線，類似一個軸對稱三角形。

圖2 退化前后對比

經(jīng)過前文的分析可知，在遠距離條件下獲取的自然圖像，其頻譜特征具有很大的相似性。通過對比退化前后的圖像頻譜特征，就可以通過退化圖像頻譜來恢復出清晰圖像頻譜。

3 頻譜模型重建和點擴散函數(shù)估計

3.1 頻譜模型重建

在取 β=5 6，的情況下，可以通過公式（15）估計出α的值，但要想獲得點擴散函數(shù)的參數(shù)α，還必須要知道退化之前的清晰圖像頻譜ln ||F'(0,v)。由于自然圖像在退化前后的頻譜在高頻部分變化不明顯，在中低頻的部分被壓低，且在遠距離獲取的自然圖像頻譜在中低頻段幾乎為直線，所以我們可以利用這些特點重建清晰圖像頻譜ln ||F'(0,v)，以此來估計α的值。

圖3所示為長曝光大氣湍流退化的自然圖像頻譜，我們假設圖像的尺寸為2M×2N，我們用圖中所示的直線來表示ln ||F'(0,v)中低頻段部分，由于圖像頻譜關于坐標軸原點對稱，所以我們只需要關心0＜v＜N部分。

假設直線定點和右端點分別為A和B，根據(jù)退化圖像獲取直線AB的數(shù)據(jù)，假設A，B兩點的分別為直線AB方程為y=ax+b,兩點坐標可表示為：

圖3 頻譜重建

在上式中：參數(shù)n1，n2主要用于確定點A和點B，在本文的研究背景下，我們?nèi)1≥0，n2≤10。為了保證重建過后的清晰圖像頻譜要整體高于退化圖像的頻譜，我們設置參數(shù)σ1≥-1和σ2≤1。得出的點A和點B的坐標確定直線AB的方程,這樣就可以確定AB上的每一個點的值。按照公式（19）就可以確定清晰圖像頻譜

圖4 選取有效區(qū)間

3.2 點擴散函數(shù)估計

（1）傳統(tǒng)最小二乘法

最小二乘方擬合要求各個誤差的平方和最小即：

其中Δmin代表誤差值δi平方之和的最小值。

上式求出α的值可以比較好地擬合實驗數(shù)據(jù)，此種方法即為傳統(tǒng)最小二乘法原理。

（2）曲線擬合方法改進

對于公式（21）,重新定義其最佳擬合應為：

對上式求導得：

由公式（24）求出α，從而y=-α ||x2β為改進的曲線擬合結果。

4 圖像復原步驟及結果分析

4.1 實驗步驟

（1）獲取長曝光大氣湍流退化圖像；（2）分析退化函數(shù)，并根據(jù)分析，取 β=5 6；（3）根據(jù)頻譜特征重建模型ln ||F'(0,v)并估計出參數(shù)α；（4）使用維納濾波復原。

4.2 圖像復原結果

本實驗選取了三組圖像，圖5為輸入的三組退化圖像，圖6分別為APEX算法復原的圖像，其估計的參數(shù)α=0.000587，圖7分別為本文提出的改進算法結合改進擬合算法估計點擴散函數(shù)的復原圖，其估計的參數(shù)α=0.000723。

圖5 退化圖像

圖6 APEX算法

圖7 本文改進算法

4.3 結果評價

在對實驗結果進行分析的過程當中我們使用灰度平均梯度值（GMG）和拉普拉斯梯度值（LS）最為客觀的評價標準。GMG是求圖像中各個像素點在x和y方向上的灰度差值的均值平方和，GMG值越大表明圖像的紋理越清晰，圖像的質(zhì)量越好。LS是圖像中每個像素在3×3的領域內(nèi)在拉普拉斯算子作用下歸一化均值。LS值越大表明圖像的輪廓越清晰，圖像的質(zhì)量就越好。GMG和LS的計算公式如下：

式中：g為待評價圖片，尺寸為M×N。

實驗結果顯示：本文的算法可以較為準確地估計出點擴散函數(shù)，在主觀評價上有較好的視覺效果。表1和表2進一步表明在結合改進的擬合算法的情況下，本文的算法可更進一步復原出遠距離長曝光大氣湍流圖像。

表1 退化圖像和復原圖像的GMG值

表2 退化圖像和復原圖像LS值

5 結語

本文針對遠距離長曝光大氣湍流退化的自然圖像進行，分析了其退化點了擴散函數(shù)的一般形式，并通過分析其退化前后的頻譜特征，估計出了其點擴散函數(shù)參數(shù)，通過對擬合算法的改進，在主觀上獲得了較好的視覺效果，在客觀評價上也證實了其有效性。