李燦蘋，劉大召，張瑩

（1.廣東海洋大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，湛江524088；2.廣東海洋大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，湛江524088）

0 引言

《信號與系統(tǒng)》是信息技術(shù)類專業(yè)本科生的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，該課程以高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、電路分析等課程為基礎(chǔ)，是后繼的數(shù)字信號處理、通信原理、數(shù)字圖像處理等專業(yè)課程的先修課程[1,2]，在教學(xué)環(huán)節(jié)上起到承上啟下的作用。通過該課程的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生掌握信號與系統(tǒng)的基本理論和方法，提高學(xué)生運用信號和系統(tǒng)的有關(guān)知識去分析和解決問題的能力[3]。

在信號與系統(tǒng)中，連續(xù)信號是連續(xù)系統(tǒng)中輸入輸出的信號，也是離散信號的主要來源。為了對有用信號進行有效的傳輸和處理，工程上常常首先對連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的離散信號（或數(shù)字信號），進行加工和處理，然后再將處理后的離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)時間信號[4]。而取樣定理為連續(xù)信號與離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)[4]。

本文從取樣定理出發(fā)，針對非帶限信號的取樣問題，以方波為例，通過MATLAB展示了信號的取樣過程，將抽象的理論進行了可視化圖形演示，從而可以加深學(xué)生對取樣定理的理解和掌握，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。

1 取樣定理

若f（t）為帶寬有限的連續(xù)信號，其頻譜的最高頻率為fm，則以取樣間隔m的取樣信號fs（t）將包含原信號f（t）的全部信息，因而可利用fs（t）完全恢復(fù)出原信號[5]。

因此，信號f（t）取樣后不丟失信息的兩個條件[5]：一是f（t）的帶寬應(yīng)有限，即頻譜在f>fm時為零；二是取

實際上，信號的取樣過程是完成輸入信號f（t）與取樣脈沖相乘的運算。當(dāng)取樣脈沖為理想的沖激序列δT（t）時，則取樣信號可表示為：

由于：

其頻譜為：

取樣信號fs（t）的頻譜Fs（w）為：

由公式（5）可以看出，取樣信號頻譜Fs（w）是連續(xù)信號頻譜F（w）的周期延拓，每隔一個取樣頻率ωs，重復(fù)出現(xiàn)一次[4]。對于滿足取樣定理要求的取樣信號，其頻譜只是周期重現(xiàn)且不會產(chǎn)生混疊，能恢復(fù)出原信號。但對于非帶限的連續(xù)信號，取樣后其頻譜會產(chǎn)生混疊，主周期內(nèi)的頻譜形狀將發(fā)生失真，較難恢復(fù)出原信號。

2 方波的取樣

根據(jù)取樣定理，對非帶限信號的取樣，為了防止頻譜混疊，在取樣前須加前置低通濾波器，用于濾掉截止頻率以上的信號，如圖1[5]所示。

圖1 非帶限信號取樣過程

以方波信號為例，實現(xiàn)圖1的取樣過程。輸入信號如圖2（a），其中 f(t)=1，(0

圖2 取樣過程中的信號及濾波器

為了對比加前置低通濾波器前后取樣信號的頻譜，先通過MATLAB實現(xiàn)圖2（a）方波信號的頻譜和直接取樣后的頻譜，程序[5]如下：

clear all

syms t w f;

f=1.0*exp（-j*w*t）;

F=int（f,t,0,1）;

F=simplify（F）;F

subplot（2,1,1）,

low=-26*pi;high=-low;

ezplot（abs（F）,[low:0.01:high]）;grid on

axis（[low high-0.1 1.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

title（'方波的頻譜'）;

subplot（2,1,2）,

Ts=0.2;

w0=（2*pi）/Ts;

for k=-2:2

ft=f*exp（-j*w0*k*t）;

FT=int（ft,t,0,1）;

ezplot（（1/Ts）*abs（FT）,[（-16*pi-k*w0）:0.01:（16*pik*w0）]）;

hold on

end

axis（[low high-0.1 5.1]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

grid on

title（'信號直接取樣后的頻譜'）;

程序運行結(jié)果如圖3所示。

圖3 方波信號的頻譜及直接取樣后的頻譜

從圖3可以看出，方波信號的頻譜（圖3a）為Sa信號形狀，頻帶范圍較寬，以取樣周期Ts=2s進行取樣后信號的頻譜（圖3b）是對原信號頻譜（圖3a）進行了周期延拓，并發(fā)生了混疊，這將影響原信號的恢復(fù)。

為了防止取樣信號頻譜發(fā)生混疊，在取樣前加前置低通濾波器（圖2b），濾掉截止頻率（wc=4π）以外的頻率成分。通過MATLAB實現(xiàn)圖2（a）方波信號的頻譜、濾波后的頻譜及濾波后取樣信號的頻譜，程序[5]如下：

clear all

syms t w f;

f=1.0*exp（-j*w*t）;

F=int（f,t,0,1）;

F=simplify（F）;F

subplot（3,1,1）,

low=-26*pi;high=-low;

ezplot（abs（F）,[low:0.01:high]）;grid on

axis（[low high-0.1 1.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

title（'方波的頻譜'）;

subplot（3,1,2）,

ezplot（abs（F）,[-4*pi:0.01:4*pi]）;grid on

axis（[low high-0.1 1.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

title（'信號經(jīng)過低通濾波后的頻譜'）;

subplot（3,1,3）,

Ts=0.2;

w0=（2*pi）/Ts;

for k=-2:2

ft=f*exp（-j*w0*k*t）;

FT=int（ft,t,0,1）;

ezplot（（1/Ts）*abs（FT）,[（-4*pi-k*w0）:0.01:（4*pik*w0）]）;

hold on

end

axis（[low high-0.1 5.0]）;xlabel（'omega'）;ylabel（'振幅'）;

grid on

title（'濾波后取樣信號的頻譜'）;

程序運行結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出，方波信號頻譜（圖4a）經(jīng)過截止頻率為4π的低通濾波器濾波后的頻譜（圖4b）帶寬變窄，對濾波后的信號以取樣周期Ts=2s進行取樣，其頻譜（圖4c）同樣也發(fā)生了周期延拓，但并不混疊，所以可以恢復(fù)出原信號。

3 課堂教學(xué)效果

將以上內(nèi)容應(yīng)用到課堂教學(xué)中，第1次課首先講述取樣定理內(nèi)容，理想取樣公式；然后引入圖1所示非帶限信號的取樣過程，給出圖2所示已知條件；最后要求學(xué)生通過MATLAB程序完成此取樣過程。

圖4 方波信號的頻譜及其低通濾波后和取樣后的頻譜

第2次課查看學(xué)生完成情況，再講解以上兩段程序，并演示程序運行結(jié)果。通過圖3和圖4講解非帶限信號的取樣過程，對比分析加前置低通濾波器前后取樣信號頻譜的變化，由此強調(diào)取樣定理的重要性。圖形化演示教學(xué)進一步加深了學(xué)生對取樣定理的理解和掌握，同時，也加強了學(xué)生MATLAB編程能力的鍛煉。

4 結(jié)語

本文首先論述了信號與系統(tǒng)課程的重要性，然后以取樣定理和理想取樣理論為依據(jù)，針對非帶限信號的取樣問題，以方波為例，利用MATLAB實現(xiàn)了方波信號的頻譜、直接取樣后的頻譜、加前置低通濾波器后信號的頻譜。將抽象的理論進行了可視化圖形演示，更加直觀地對比了加前置低通濾波器前后取樣信號的頻譜特點，從而加深了學(xué)生對取樣定理的理解和掌握，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到了良好的教學(xué)效果。