孫飛飛 趙琛

摘要：目前有面積矩法可以求解靜定結(jié)構(gòu)的變形和位移，本文提出的快速面積矩法不僅可以定量求解結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角，并且可以定量和定性地繪制結(jié)構(gòu)變形圖，該方法幾何關(guān)系直觀、概念清晰，降低了快速繪制結(jié)構(gòu)變形圖的難度。

關(guān)鍵詞：快速面積矩法；結(jié)構(gòu)力學(xué)；結(jié)構(gòu)變形圖

中圖分類號(hào)：TU3；G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1005-2909（2018）03-0069-05

工程結(jié)構(gòu)所用的材料是可變形的，因此結(jié)構(gòu)在荷載作用下會(huì)發(fā)生變形，而這種變形會(huì)引起結(jié)構(gòu)各位置的變化，即結(jié)構(gòu)的位移。對(duì)于初學(xué)者而言，定量地畫出結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖比較容易，但是定性或定量地繪制超靜定結(jié)構(gòu)或者復(fù)雜結(jié)構(gòu)在荷載作用下的變形圖卻難以掌握。

在國(guó)內(nèi)結(jié)構(gòu)力學(xué)教材[1-2] 中，單位荷載法是求解超靜定結(jié)構(gòu)位移的一般方法，該方法簡(jiǎn)單快速，但是利用此方法繪制結(jié)構(gòu)變形圖有一定難度。在國(guó)外教材[3-5]中，面積矩法是一種求解梁撓度的方法，它的概念清晰，但其幾何關(guān)系不直觀，在解題時(shí)經(jīng)常在各種幾何關(guān)系上花掉大量的時(shí)間。面積矩法適用廣泛，也被很多學(xué)者用于前沿問(wèn)題的研究，例如在最近的研究中用來(lái)計(jì)算高層建筑伸臂系統(tǒng)[6]或者復(fù)雜三明治板[7]的位移。本文提出了快速面積矩法，該方法不僅可以定量求解結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)單荷載下的位移和撓度，還可以定量和定性地繪制結(jié)構(gòu)變形圖，使得面積矩法的幾何關(guān)系更加清晰直觀，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于結(jié)構(gòu)變形組成的理解能力及快速繪制結(jié)構(gòu)變形圖的能力。

一、面積矩法的介紹

一簡(jiǎn)支梁在荷載作用下變形，在梁上取一微段dx，如圖1所示，變形后左右截形成的夾角為dθ，M為彎矩，EI為抗彎剛度。

我們可以在尋找撓度和角度的幾何關(guān)系時(shí)利用這一點(diǎn)從而加快求解結(jié)構(gòu)位移和撓度以及快速繪制結(jié)構(gòu)變形圖。

二、快速面積矩法的提出

面積矩法概念清晰，但是想要直接快速地繪制結(jié)構(gòu)變形圖還有一定難度，故基于面積矩法的基本原理，我們提出了快速面積矩法。主要的做法就是在區(qū)段曲率圖面積形心處加上一個(gè)彈簧鉸，將梁看作剛性，在荷載作用下變形至與變形曲線相切，即可快速畫出結(jié)構(gòu)變形圖，然后找出相應(yīng)的幾何關(guān)系用面積矩法即可求解位移和撓度。該方法的基本思想是用剛性體——彈簧體系中轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧的轉(zhuǎn)動(dòng)變形來(lái)等效代替變形體的變形，“快速”體現(xiàn)在變形幾何關(guān)系的確定簡(jiǎn)單快速。

現(xiàn)利用例題1介紹快速面積矩法繪制結(jié)構(gòu)變形圖和求解目標(biāo)點(diǎn)撓度的三個(gè)步驟。

例1：如圖3所示一截面抗彎剛度為EI的等直簡(jiǎn)支梁，求C點(diǎn)的撓度大小。

（1） 作出梁的曲率圖，以所求點(diǎn)為分界將曲率圖分為兩部分，在曲率圖上找出兩區(qū)段的形心，在形心位置處加上彈簧鉸（圖示用兩個(gè)同心圓表示彈簧鉸以區(qū)分彈簧鉸和理想鉸）如圖4。

（2） 分段的梁作為剛性體系，在荷載作用下，使彈簧鉸交點(diǎn)沿鉛垂線變形，繪制出與各個(gè)折線段相切的光滑的曲線即為結(jié)構(gòu)的變形圖，如圖5。

（3） 根據(jù)結(jié)構(gòu)變形圖找出幾何關(guān)系并利用面積矩法公式求解撓度如圖6。

從圖6中可以清楚地看出如下幾何關(guān)系：

從上例可以看出，利用快速面積矩法方法可以快速地繪制結(jié)構(gòu)變形圖，從而根據(jù)幾何關(guān)系用面積矩法快速地求解撓度，不僅對(duì)簡(jiǎn)單荷載下的懸臂梁和簡(jiǎn)支梁可以用此方法，對(duì)于復(fù)雜荷載下的外伸梁也是可以利用疊加法和逐段鋼化的方法簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單荷載的懸臂梁和簡(jiǎn)支梁來(lái)求解。但是這種方法也存在一個(gè)問(wèn)題：如果所求點(diǎn)兩邊曲率圖不是規(guī)則的圖形，那么求解它們的形心位置將帶來(lái)一定的困難。其實(shí)這也是可以利用疊加法來(lái)解決的，此處不再詳細(xì)說(shuō)明。

快速面積矩法利用剛體加彈簧體的變形等效代替變形體的變形，用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)體系代替變形體系，讓求解速度大大加快，使求解過(guò)程幾何關(guān)系直觀，以直代曲的概念清晰，不僅可以定量求解結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角，還可以定量畫出結(jié)構(gòu)變形圖，降低了同學(xué)們掌握結(jié)構(gòu)變形圖的難度。

三、快速面積矩法與單位荷載法的對(duì)比

例2：分別用快速面積矩法和單位荷載法求圖7結(jié)構(gòu)中C點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角。

解答：（1）用快速面積矩法求解：

作出梁的曲率圖，以所求點(diǎn)和鉸接點(diǎn)為分界將曲率圖分為三部分，在曲率圖上找出三區(qū)段的形心，在形心位置處加上彈簧鉸如圖8。

分段的梁作為剛性體系，在荷載作用下，使彈簧鉸交點(diǎn)沿鉛垂線變形，繪制出與各個(gè)折線段相切的光滑的曲線即為結(jié)構(gòu)的變形圖如圖9。

根據(jù)結(jié)構(gòu)變形圖找出幾何關(guān)系并利用面積矩法公式求解撓度如圖10。

分析結(jié)構(gòu)變形圖可知，若要求C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，可先利用上文面積矩法所述公式（6）求得

從此例對(duì)比快速面積矩法和單位荷載法可以看出，一方面快速面積矩法幾何關(guān)系直觀、概念清楚，求解結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)處的位移ΔCD、ΔBD、ΔDC和撓度θD、θDC的同時(shí)，就能夠快速繪制出結(jié)構(gòu)變形圖，降低了學(xué)生繪制結(jié)構(gòu)變形圖的難度，并且使學(xué)生對(duì)于結(jié)構(gòu)變形的組成部分理解得更加透徹和深入。利用一個(gè)結(jié)構(gòu)變形圖，就可以方便求得關(guān)鍵點(diǎn)的位移ΔC和轉(zhuǎn)角θC。

另一方面，單位荷載法計(jì)算簡(jiǎn)單方便，可以用來(lái)校核快速面積矩法以保證求解的正確性，但是對(duì)于比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，單位荷載法計(jì)算量大，需要多圖繪制，純粹變成數(shù)學(xué)求解問(wèn)題。用單位荷載法求結(jié)構(gòu)位移的正負(fù)號(hào)和撓度的方向往往也是學(xué)生比較容易混淆的部分，即使計(jì)算結(jié)果正確也有可能繪制出來(lái)的結(jié)構(gòu)變形圖不正確，對(duì)于初學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)生而言，單位荷載法不能提高學(xué)生快速繪制結(jié)構(gòu)變形圖的能力。

四、結(jié)語(yǔ)

本文提出的快速面積矩法不僅可以定量求解結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)在簡(jiǎn)單荷載下的位移和轉(zhuǎn)角，還可以定量和定性地繪制結(jié)構(gòu)變形圖，使得面積矩法的幾何關(guān)系更清晰直觀，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于結(jié)構(gòu)變形組成的理解能力及快速繪制結(jié)構(gòu)變形圖的能力。

單位荷載法計(jì)算簡(jiǎn)單方便，但是結(jié)構(gòu)位移的正負(fù)號(hào)和撓度的方向往往是學(xué)生比較容易混淆的部分，即使計(jì)算結(jié)果正確也有可能繪制出來(lái)的結(jié)構(gòu)變形圖不正確。另一方面，由于快速面積矩法結(jié)構(gòu)位移和變形的幾何關(guān)系緊密聯(lián)系，求解需要逐步遞推，如果其中一個(gè)未知量求解錯(cuò)誤則會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果出錯(cuò)，因此單位荷載法作為一種有效的手段用來(lái)校核快速面積矩法以保證求解的正確性。

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