牟時宇，石 朋,2，趙蘭蘭，崔彥萍，馮 穎，董豐成，陳 琛

(1.河海大學水文水資源學院，南京 210098；2.水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 210098； 3.水利部信息中心，北京 100053；4.江蘇省水文水資源勘測局，南京 210029)

洪水地區(qū)組成是研究流域開發(fā)方案，上下游、干支流工程聯(lián)合調(diào)洪運行時需要分析的問題。傳統(tǒng)分析方法有地區(qū)組成法、頻率組合法、隨機模擬法[1]。前2者的共同缺點是難以理清各個分區(qū)洪水組成的概率問題，主觀假定可能的組成方案而削弱了洪水的空間相關性[2]。而隨機模擬法難以掌握模擬序列統(tǒng)計特征的穩(wěn)定性。近年來，Copula函數(shù)在水文上的應用[3,4]為設計洪水地區(qū)組成研究提供了突破口。Copula函數(shù)可以靈活地構(gòu)建任意多個變量之間的聯(lián)合分布函數(shù)，模擬變量間非線性關系的性質(zhì)使推求更加合理的地區(qū)組成成為可能[5-7]。

然而，目前設計地區(qū)洪水組成的研究均選取單參數(shù)的Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)(以下簡稱GH Copula)作為聯(lián)合分布函數(shù)的載體，其擬合效果受系列長短的影響較大，參數(shù)估計結(jié)果具有較大的不確定性。而多參數(shù)GH Copula函數(shù)保留了單參數(shù)GH Copula函數(shù)的上尾相關性，且因參數(shù)個數(shù)的增加，使函數(shù)結(jié)構(gòu)更加靈活，能夠更好地反映極值事件的相關性。本文基于多參數(shù)GH Copula函數(shù)分別運用條件期望組合法、條件最可能組合法、最可能組合法、同頻率組成法擬定淮河流域中渡斷面的設計洪水地區(qū)組成方案?；春又猩嫌未笮退畮?、閘壩眾多，分析該區(qū)間段設計洪水地區(qū)組成對淮河流域綜合治理有重要意義。

1 研究方法

1.1 Copula函數(shù)模型

1.1.1 GH Copula函數(shù)

水文上常用的GH Copula為單參數(shù)Copula函數(shù)，其數(shù)學表達式如下：

C(u,v;θ)=exp {-[(-logu)θ+(-logv)θ1/θ}

(1)

式中：θ為參數(shù)并且滿足θ≥1。

GH Copula的上尾相關系數(shù)為2-21/θ，是Archimedean Copula中唯一可以用于多變量極值分析的Copula函數(shù)，適合刻畫具有上尾相關性的水文變量。

通過對生成元φ0(t)=(1/t)-1增加內(nèi)外冪的方式可以構(gòu)造雙參數(shù)GH Copula函數(shù)[8]：

C(u,v;β1,β2)={[(u-β2-1)β1+(v-β2-1)β1]1/β2+1}-1/β2

(2)

式中：β1、β2為參數(shù)，并且滿足β1≥1，β2>0，其中β2是與下尾相關性有關的參數(shù)。

雙參數(shù)GH Copula函數(shù)更具靈活性和外延性，對于相關性一般的變量而言更具優(yōu)勢。

在單參數(shù)GH Copula函數(shù)的基礎上引入了Marshall-Olkin Copula函數(shù)可構(gòu)造三參數(shù)GH Copula函數(shù)[9]：

C(u,v;θ,π2,π3)=exp [-A(-logu,-logv;θ,π2,π3)]

(3)

A(x,y;θ,π2,π3)=

[(π2x)θ+(π3y)θ]1/θ+(1-π2)x+(1-π3)y

(4)

式中：θ≥1，0≤π2,π3≤1。

其尾部相關系數(shù)與單參數(shù)GH Copula函數(shù)相同。三參數(shù)GH Copula函數(shù)是非對稱Copula函數(shù)，用于擬合概率分布具有非對稱性的二維變量。

1.1.2 Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度評價

Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度評價分為3類方法：

(1)利用離差平方和(OLS)最小準則、AIC準則從整體上評價Copula函數(shù)擬合效果：

(5)

(6)

AIC=nlnMSE+2m

(7)

式中：Femp(xi,yi)為經(jīng)驗頻率；C(ui,vi)為理論頻率；m為模型參數(shù)的個數(shù)。

(2)通過繪制圖形的方法直觀比較Copula函數(shù)擬合效果：包括Genest和Rivest[10]提出的圖形法，即繪制 Copula函數(shù)的理論估計與經(jīng)驗估計的Q～Q圖；Salvadori[11]提出的Pickland's依賴函數(shù)法，對比經(jīng)驗與參數(shù)Copula的Pickland's依賴函數(shù)曲線，該方法也被用于多參數(shù)Copula函數(shù)的參數(shù)估計。

(3)除了從整體上評價Copula函數(shù)的擬合效果外，還應考慮選取的Copula函數(shù)能否反映極值事件的相關性。上尾部相關系數(shù)是衡量極大值事件發(fā)生時變量間的相關程度，CFG[12]為其常用的估計算法：

(8)

式中：(Ui,Vi)是根據(jù)實測點據(jù)獲得的第i組隨機樣本。

1.2 設計洪水地區(qū)組成計算方法

當下游斷面發(fā)生設計洪水zp時，上游斷面洪量X與下游區(qū)間洪量Y有無窮多種組合情況，下面給出3種具有代表性[5,7]的地區(qū)組成計算方法。

1.2.1 條件期望組合

將上游斷面洪量X取xp，將下游區(qū)間洪量Y取期望值E(y|xp)，所形成的組合(xp,E(y|xp))記為條件期望組合[5]。E(y|xp)通過下式進行計算：

(9)

f(Y≤y|X=xp)=c(u,v)fY(y)

1.2.2 條件最可能組合

當上游斷面洪量X取設計洪量xp時，下游區(qū)間洪量Y取使f(Y≤y|X=xp)達到最大值時對應的yM值，將(xp,yM)記為條件最可能組合。f(Y≤y|X=xp)對y求導得：

(10)

c2=?c/?v

令df(Y≤y|X=xp)/dy=0，整理得：

(11)

一是評先評優(yōu)有傾斜。對回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)貢獻突出的能人，優(yōu)先提名為黨代表、人大代表、政協(xié)委員候選人，優(yōu)先安排參加勞動模范、優(yōu)秀企業(yè)家等各類榮譽評選。二是授予特殊榮譽。對不擔任鎮(zhèn)村職務的回鄉(xiāng)能人，可以探索設立“新鄉(xiāng)賢”“榮譽村民”“先鋒黨員”等稱號，充分尊重其社會表現(xiàn)，給于其榮譽地位，引導社會尊重他們。三是給予適當政治待遇。對表現(xiàn)較好的未擔任鎮(zhèn)村職務的回鄉(xiāng)能人，可以安排其作為特別會議代表，列席一定范圍的鎮(zhèn)村黨務政務會議，可以在重要節(jié)慶活動時由組織進行走訪慰問。

當y的邊緣分布函數(shù)為P-Ⅲ型分布時，fY(y)的表達式如下：

(12)

式中：α、β、γ分別為位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)。

將式(12)代入式(11)中，可推導邊緣分布為P-Ⅲ型分布的二維條件最可能組合法計算通式：

(13)

通過牛頓迭代法對非線性方程式(13)求解，即可得到條件最可能組合(xp,yM)。

上游斷面洪量X取值為xp時，分別令F(Y≤y|X=xp)等于α/2和1-α/2，求得對應的下游區(qū)間洪量Y的值分別為yL和yU，稱[yL,yU]為xp對應的Y的置信區(qū)間。洪量置信區(qū)間可以定量評價設計洪水地區(qū)組成估計值的不確定性，為決策人員明晰決策風險提供了依據(jù)[13]。條件最可能組合與條件期望組合并稱為條件地區(qū)組成法。

1.2.3 最可能組合

當下游斷面發(fā)生設計洪水zp時，上游斷面洪量X與下游區(qū)間洪量Y存在一個最可能組合，即求解在X+Y=zp等式約束條件下X與Y聯(lián)合分布概率密度函數(shù)f(x,y)的最大值。利用牛頓迭代法對非線性方程式(14)求解，即可得到最可能組合(x,zp-x)。

(14)

c1=?c/?u，c2=?c/?v

式中：αx、βx、γx，αy、βy、γy分別為FX(x)、FT(y)對應的參數(shù)。

2 應用實例

選擇淮河干流中渡斷面以上流域作為研究區(qū)域(見圖1)。中渡站位于洪澤湖出口處，是淮河中游總控制站，控制流域面積15.82 萬km2?；春又杏伟春拥捞匦院偷匦纹鸱譃轸斉_子以上和以下2個區(qū)間段，魯臺子以上流域面積8.86 萬km2；魯臺子至中渡段河長335 km，區(qū)間控制面積6.96 萬km2。本文以魯臺子斷面為界，研究其上和其下2個區(qū)間段的洪水對中渡斷面的設計洪水組成的貢獻率。

圖1 中渡斷面控制水系示意圖Fig.1 Sketch map of drainage of Zhongdu site

選用1951-2010年魯臺子站和中渡站洪水的同步觀測資料及1931年實測大洪水資料，將流域內(nèi)的大型水庫、湖洼、行蓄洪區(qū)的攔蓄水量、灌溉引用水量等演算至魯臺子、中渡斷面，并與斷面實測流量過程相加得到該斷面天然流量過程，根據(jù)淮河流域的洪水特點及水利工程的調(diào)節(jié)特性，選擇設計洪量控制時段為30 d[1]。繪制歷年魯臺子、中渡站天然年最大30 d洪量W30時歷曲線及模比系數(shù)累積平均值曲線[14](見圖2)，系列中較好的包含了豐、平、枯的完整過程且在45 a以上具有較強穩(wěn)定性。魯臺子和中渡(以下簡稱魯中)區(qū)間洪水資料采用中渡控制斷面的天然洪水過程扣除魯臺子控制斷面錯開傳播時間演算的天然洪水過程，求得區(qū)間洪水過程后再統(tǒng)計各時段洪量。

圖2 魯臺子、中渡斷面W30時歷曲線及模比系數(shù)累積平均值曲線Fig.2 Time history and cumulative average modulus coefficient curve of W30 at Lutaizi and Zhongdu site

2.1 邊緣分布的確定

各區(qū)W30服從P-Ⅲ型分布，將1931年、1954年作為大洪水年，其洪量按1915年以來排位處理，采用統(tǒng)一處理法計算不連續(xù)樣本頻率，運用計算機優(yōu)化適線法估計E(X)、Cv、Cs，并將其轉(zhuǎn)化為P-Ⅲ型分布的位置參數(shù)α、尺度參數(shù)β、形狀參數(shù)γ，其轉(zhuǎn)換關系如式(15)。最終參數(shù)估計結(jié)果如表1所示。

(15)

表1 各分區(qū)P-Ⅲ分布參數(shù)估計結(jié)果Tab.1 Parameter estimation results for P-Ⅲ distribution of each region

2.2 聯(lián)合分布函數(shù)的確定

基于單參數(shù)、雙參數(shù)、三參數(shù)GH Copula函數(shù)構(gòu)建魯臺子W30與魯中區(qū)間W30的聯(lián)合分布函數(shù)。采用極大似然法估計3種GH Copula函數(shù)的參數(shù)，利用OLS、AIC準則來優(yōu)選GH Copula函數(shù)，參數(shù)估計結(jié)果及對應擬合優(yōu)度指標列于表2。分別繪制3種GH Copula函數(shù)的Q～Q關系圖(見圖3)；計算經(jīng)驗Pickland's依賴函數(shù)與運用3種GH Copula函數(shù)分別生成1 000個隨機模擬點估算的Pickland's依賴函數(shù)，并畫圖對比(見圖4)。此外，用CFG法估計實測點據(jù)的上尾相關系數(shù)為0.636。

表2 3種GH Copula函數(shù)參數(shù)估計結(jié)果及擬合優(yōu)度指標Tab.2 The estimated parameters and goodness of fit of three GH Copula Functions

圖3 魯臺子W30與魯中區(qū)間W30聯(lián)合分布的理論估計與經(jīng)驗估計關系Fig.3 The theoretical and empirical distribution for joint distribution of W30 at Lutaizi and Luzhong interval

圖4 基于魯臺子W30與魯中區(qū)間W30的 經(jīng)驗與擬合Pickland's依賴函數(shù)關系Fig.4 Plots of empirical and fitted Pickland's dependence functions of W30 at Lutaizi and Luzhong interval

從表2可以看出，雙參數(shù)GH Copula函數(shù)對應的OLS、AIC值最小，上尾相關系數(shù)估計值與樣本估計值最為接近，擬合效果最優(yōu)。圖3中3種Copula函數(shù)的點據(jù)均落在45°線附近；圖4中雙參數(shù)GH Copula擬合的Pickland's依賴函數(shù)的曲線與經(jīng)驗值最為接近，近乎重合。綜上，選取雙參數(shù)GH Copula作為構(gòu)造魯臺子W30與魯中區(qū)間W30聯(lián)合分布的連接函數(shù)。

3 結(jié)果與分析

3.1 條件地區(qū)洪水組成

條件地區(qū)洪量組成考慮的是上游斷面與區(qū)間洪量的空間相關性。其中，條件期望組成強調(diào)的是在所有可能出現(xiàn)的洪水地區(qū)組合方案中的平均水平，可作為洪水分配方案參考；條件最可能組成則強調(diào)實測組合更具備出現(xiàn)的可能性，是一種條件最優(yōu)分配方案。本實例計算了分別以魯臺子W30、魯中區(qū)間W30為條件，另一分區(qū)相應W30的條件地區(qū)洪量組成，并與工程上常用的同頻率組合法進行對比分析(見圖5)。

圖5 中渡站W(wǎng)30 3種地區(qū)組成關系Fig.5 Comparison for three regional flood composition

圖5(a)給出了以魯臺子W30為條件，魯中區(qū)間相應的W30估計值(條件期望組成I、條件最可能組成I、同頻率組成I)及其90%的置信區(qū)間。4種設計洪水地區(qū)組成方案估計值均在90%置信區(qū)間內(nèi)。以條件期望值I作為比較標準，條件最可能組成I以上游設計頻率為40%為界，當頻率高于40%時，其估計值高于條件期望值；反之，其估計值低于條件期望值。而對于同頻率組成I，當設計頻率高于10%時，其估計值隨設計標準的提高逐漸向下偏離條件期望值?；春又杏螀^(qū)5～20 a一遇的中小洪水事件發(fā)生頻繁，是防范洪災風險中更應該關注的問題。根據(jù)圖5(a)分析結(jié)果，對于該頻率段洪水，同頻率組成I方案有可能使下游斷面達不到預期的防洪標準；與之相反，條件最可能組成Ⅰ則提供了一種“對防洪不利”的偏安全的組成方案。

圖5(b)給出了以魯中區(qū)間W30為條件，魯臺子相應的W30估計值(條件期望組成Ⅱ、條件最可能組成Ⅱ、同頻率組成Ⅱ)及其90%的置信區(qū)間。4種設計洪水地區(qū)組成方案估計值均在90%置信區(qū)間內(nèi)。以條件期望值Ⅱ作為比較標準，條件最可能組成Ⅱ以區(qū)間W30設計頻率為42%為界，當頻率高于42%時，其估計值高于條件期望值；反之，其估計值低于條件期望值。同頻率組成值II與條件期望值接近。對于5～20 a一遇的中小洪水，3種方案計算的結(jié)果相近。但當發(fā)生設計頻率低于3%的極值洪水事件時，同頻率地區(qū)組成計算結(jié)果處于一個較低的保證率水平，難以保證下游中渡斷面的防洪安全。

3.2 最可能地區(qū)洪量組成

最可能地區(qū)組成法是從自然規(guī)律的角度出發(fā)，按照下游防洪標準設定的一種最優(yōu)分配方案。表3列出了最可能組成法分配結(jié)果，同時對比條件洪水組成法、同頻率組成法估計結(jié)果。最可能組成結(jié)果位于條件期望組成Ⅰ、Ⅱ，條件最可能組成Ⅰ、Ⅱ，同頻率組成Ⅰ、Ⅱ之間。當中渡斷面發(fā)生5～20 a一遇的設計洪水時，若按最可能組成法進行分配，上游魯臺子斷面及魯中區(qū)間均發(fā)生低于該頻率段的設計洪水，2分區(qū)發(fā)生了洪水遭遇是造成中渡斷面高頻洪水的主要原因。

表3 中渡斷面設計洪水地區(qū)組成計算結(jié)果對比 億m3

3.3 設計洪水地區(qū)組成方法計算貢獻率對比

魯臺子站控制面積占中渡站控制面積的56%，而根據(jù)實測資料統(tǒng)計其洪水來量占中渡站洪水總量的60%以上，是淮河中上游主要的匯水區(qū)。計算綜上所有洪水分配方案在不同量級情景下上游設計洪量對中渡設計洪量的貢獻率，相應區(qū)間貢獻率也可經(jīng)簡單計算得到，見圖6。從圖6可以看出在設計頻率高于20%時，條件期望組成II、條件最可能組成II、同頻率組成II計算的貢獻率存在小于56%的情況，與實際水量分配不符，不宜選擇此3種方案。同頻率組成I計算的貢獻值隨設計頻率變化的幅度很大，且在高頻段計算的貢獻值偏離其他分配方案結(jié)果，容易低估區(qū)間洪水風險，具有明顯的不合理性。設計洪水地區(qū)組成的任務是在下游斷面發(fā)生設計洪水條件下，擬定不同種洪水組成方案，使得按其確定的水庫防洪設計指標及調(diào)洪規(guī)劃在水利工程運行中能夠使下游斷面達到預期的防洪標準。條件最可能組成I隨頻率變化幅度較小，計算結(jié)果穩(wěn)定，可作為確定水庫防洪設計指標的依據(jù)。條件期望組成I與最可能組成計算的貢獻率隨設計頻率的增大均存在上升趨勢，且變化規(guī)律一致。最可能組成計算的區(qū)間洪量的貢獻率最大，為中渡斷面W30設計洪水組成提供了對防洪最為不利的組成方案，可供水庫常規(guī)調(diào)度參考。

圖6 不同量級情景下魯臺子設計洪水的貢獻率Fig.6 Contribution rate of Lutaizi design flood under different magnitude scenarios

4 結(jié) 論

以淮河中游控制站中渡站為例，基于雙參數(shù)GH Copula函數(shù)，構(gòu)造魯臺子斷面、魯中區(qū)間最大30 d洪量的聯(lián)合分布函數(shù)并對比分析條件期望組成、條件最可能組成、最可能組成及同頻率組成4種設計洪水地區(qū)組成分配方案的適用性，得到以下結(jié)論。

(1)雙參數(shù)GH Copula函數(shù)與單參數(shù)GH Copula函數(shù)相比結(jié)構(gòu)更加靈活，能夠更好地考慮各區(qū)洪水的相依性結(jié)構(gòu)。

(2)條件期望組成代表各種組成方案的平均水平，具有統(tǒng)計基礎和參考意義。條件最可能組成是一種條件最優(yōu)分配方案；最可能組成是一種按照下游防洪標準設定的最優(yōu)分配方案，可為防洪規(guī)劃提供合理的邊界參考。同頻率組成法人為地將存在相關性的上下游洪量分隔開來，再硬性組合，計算結(jié)果處于較低保證率水平。

(3)上述4種地區(qū)組成的方法都是以單項特定的地區(qū)組成情況去概括所有可能出現(xiàn)的多種多樣的組合，計算的洪水貢獻率存在較大差別。對于中渡斷面而言，從洪澤湖的安全及設計合理性的角度出發(fā)應選擇最可能組成分配方案作為設計參考。

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