趙炳旗，徐振亮，吳勝寶，何歡,3，陳國(guó)平,3

（1. 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016；2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研發(fā)中心，北京 100076；3. 南京航空航天大學(xué) 振動(dòng)工程研究所；南京 210016）

半個(gè)世紀(jì)以來，人們已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)了對(duì)火星、月球、小行星彗星等不同天體的探索。在探索的過程中，氣囊常常被用于航天器著陸時(shí)的緩沖物。氣囊作為一種彈性元件，有很好的減振吸振性能。然而，考慮到不同天體表面的復(fù)雜性，人們需要考慮較多因素，主要包括巖石尺寸、坡度大小、表面粗糙度、雷達(dá)反射率、表面承重能力等[1]。

氣囊在幾何上和材料上都是非線性的，在很小的外力作用下，可能引起很大的幾何變形。氣囊所用的薄膜材料一般為橡膠、塑膠等非線性高彈性材料[2-3]。對(duì)于氣囊的計(jì)算，采用的分析方法主要有兩種：一種是解析分析法，J.B.ESGAR等人從熱力學(xué)方程出發(fā)，建立了氣囊的解析模型，討論了一系列氣囊參數(shù)之間的關(guān)系，但并沒有分析設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)時(shí)域緩沖特性的影響[4]。另一種是有限元仿真計(jì)算，主要的應(yīng)用軟件有DYTRAN和DYNA。這種有限元仿真的優(yōu)勢(shì)在于可對(duì)氣囊的全向緩沖特性進(jìn)行分析，同時(shí)可以模擬出各種著陸表面情況，缺點(diǎn)是不利于氣囊設(shè)計(jì)參數(shù)的初始選定和設(shè)計(jì)規(guī)律的定性分析，且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)[5-6]。

完全采用詳細(xì)的有限元模型完成全部狀態(tài)的著陸緩沖動(dòng)力學(xué)仿真分析所需的計(jì)算量過于巨大。為解決該問題，文中提出了一種氣囊著陸緩沖等效分析方法，將有限元仿真和理論分析相結(jié)合，借助理論分析的優(yōu)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)氣囊回收系統(tǒng)著陸緩沖沖擊性能快速評(píng)估的目的。

1 氣囊計(jì)算簡(jiǎn)化過程

如圖 1所示，航天器以一定初速度撞擊到斜坡上，用一個(gè)封閉的氣囊對(duì)其進(jìn)行減速緩沖。現(xiàn)將航天器等效成一個(gè)質(zhì)量塊m，氣囊等效成一個(gè)彈簧，由于氣囊剛度漸硬的特性，其彈性系數(shù)不是常量，會(huì)隨著氣囊壓縮量的增大而增大?？衫糜邢拊浖⑾鄳?yīng)的氣囊模型，在無重力的條件下測(cè)出接觸載荷F與氣囊壓縮量x的關(guān)系曲線。

斜坡表面的地形形狀可通過航天器觀測(cè)得到，可用一條擬合的函數(shù)曲線y=f(x)表示。航天器的著陸點(diǎn)具有不確定性，假設(shè)著陸點(diǎn)為如圖2所示，以著陸點(diǎn)為原點(diǎn)，斜坡的切線方向?yàn)閄軸，法線方向?yàn)檩S建立局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系的夾角為θ，定義θ為撞擊點(diǎn)處的坡度。記等效質(zhì)量塊在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，在總體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x, y）。

式中：μ為斜坡表面摩擦系數(shù)。

若以氣囊的中心為旋轉(zhuǎn)中心，則有：

2 中心差分法

解動(dòng)力學(xué)方程（1）、（2）和（3）。由于接觸載荷F與氣囊的壓縮量有關(guān)，即F是關(guān)于的一個(gè)非線性函數(shù)，要得到方程的解析解十分困難，可以中心差分法來解這三個(gè)方程。中心差分法是一種有效的數(shù)值計(jì)算方法[7-10]，該方法的原理如下：

給定初始條件，將位移函數(shù)ut用Taylor級(jí)數(shù)展開：

解出：

現(xiàn)利用中心差分法計(jì)算出局部坐標(biāo)系下水平和豎直方向上的位移、速度和加速度，以豎直方向?yàn)槔Ｔ谳S方向上，已給出，記時(shí)間步長(zhǎng)為在起始步中而M=m，，代入循環(huán)公式（6）中，則有

當(dāng)t=2Δt時(shí)，

當(dāng)t=nΔt時(shí)，

經(jīng)過n+1次迭代之后，可求得局部坐標(biāo)系中豎直方向質(zhì)量塊的位移隨時(shí)間t變化的曲線，再根據(jù)式（5），可以得到速度以及加速度曲線。

3 局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系

由于中心差分法計(jì)算所得的位移、速度、加速度在局部坐標(biāo)系中，因此需要將它們轉(zhuǎn)化到總體坐標(biāo)系中。如圖3所示，坐標(biāo)系XOY為總體坐標(biāo)系，為局部坐標(biāo)系。其中局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)在總體系下的坐標(biāo)為（x0,y0） ，兩個(gè)坐標(biāo)系的夾角為θ，對(duì)于任意上的點(diǎn)，其在總體坐標(biāo)系上的坐標(biāo)為：

則位移轉(zhuǎn)換關(guān)系式可用矩陣表示為：

同理得到速度轉(zhuǎn)換關(guān)系式：

以及加速度轉(zhuǎn)換關(guān)系式：

4 算例

利用 Patran軟件，建立一個(gè)均壓球形氣囊模型，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質(zhì)量塊，質(zhì)量為256 kg，氣囊頂部點(diǎn)和上方板的中心點(diǎn)為同一個(gè)節(jié)點(diǎn)，記為點(diǎn)P。氣囊的下方是地面，地面的節(jié)點(diǎn)為固定節(jié)點(diǎn)。氣囊和質(zhì)量塊以初始速度20 m/s，在無重力的條件下撞擊到地面上，輸出節(jié)點(diǎn) P的位移、速度以及加速度。以氣囊的壓縮量為橫坐標(biāo)，所受的力（質(zhì)量×加速度）為縱坐標(biāo)，作接觸載荷-壓縮量曲線關(guān)系圖。根據(jù)曲線趨勢(shì)，得到曲線的關(guān)系式為F=111886x2。

航天器和氣囊以初始速度v0=10 m/s豎直下落，撞擊到斜坡上，重力加速度為9.8 m/s2。記氣囊撞擊到斜坡上的時(shí)間為t0=0，建立三個(gè)方向的微分方程，編寫 Matlab程序，利用中心差分法，解出微分方程（1），（2）和（3）。利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化矩陣（9），（10）和（11），得到總體坐標(biāo)系下的位移、速度、加速度曲線。

輸出結(jié)果以落點(diǎn)(0.400, 0.923)為例，此時(shí)撞擊點(diǎn)處的斜坡坡度20.27°，如圖6所示。氣囊與斜坡撞擊后約0.2 s離開地面，在撞擊的過程中，等效質(zhì)量在豎直方向的最大過載為195.4 m/s2，在撞擊后，豎直方向速度的值減小，方向變?yōu)榉聪颍坏刃з|(zhì)量在水平方向的最大過載為 66 m/s2，在撞擊后，水平方向速度約為66.6 m/s。撞擊過后，由于坡面的角度較大，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為0.5 rad/s。

5 仿真驗(yàn)證

5.1 撞擊點(diǎn)坡度為0°

利用Patran軟件，建立氣囊模型，如圖7所示，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質(zhì)量塊，質(zhì)量為256 kg，氣囊和質(zhì)量塊初始速度為10 m/s，方向豎直向下，重力加速度為9.8 m/s2。輸出水平方向和豎直方向的過載曲線，與理論解進(jìn)行對(duì)照，如圖8所示。在理論解中，等效質(zhì)量塊水平方向的過載始終為0，豎直方向的最大過載為224.5 m/s2。在仿真解中，水平方向的過載存在一定波動(dòng)，在濾波之后，過載近似為0，與理論解相當(dāng)。豎直方向的過載也存在一定擾動(dòng)，濾波后其最大過載約為224.5 m/s2，等于理論解。因此，當(dāng)撞擊點(diǎn)坡度為0°時(shí)，理論計(jì)算與仿真結(jié)果相一致。

5.2 撞擊點(diǎn)坡度為20.27°

利用Patran軟件，建立氣囊模型，如圖9所示，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質(zhì)量塊，質(zhì)量為256 kg，撞擊點(diǎn)坡度為20.27°，氣囊和質(zhì)量塊初始速度為10號(hào)m/s，方向豎直向下，重力加速度為9.8 m/s2。輸出水平方向和豎直方向的過載曲線，與理論解進(jìn)行對(duì)照，如圖10所示。在理論解中，等效質(zhì)量塊水平方向的最大過載為66.6 m/s2，豎直方向的最大過載為195.4 m/s2。在仿真解中，水平方向的過載存在一定波動(dòng)，在濾波之后，最大值為 70 m/s2，與理論解的相對(duì)誤差為4.8%。豎直方向的過載也存在一定擾動(dòng)，濾波后其最大過載約為183 m/s2，與理論解的相對(duì)誤差為 6.8%。因此，在誤差允許的范圍內(nèi)，理論計(jì)算與仿真結(jié)果相一致。

6.3 撞擊點(diǎn)坡度為31.24°

利用Patran軟件，建立氣囊模型，如圖11所示，氣囊半徑為1 m。氣囊的上方為等效質(zhì)量塊，質(zhì)量為256 kg，撞擊點(diǎn)坡度為31.24°，氣囊和質(zhì)量塊初始速度為10m/s，方向豎直向下，重力加速度為9.8 m/s2。輸出水平方向和豎直方向的過載曲線，與理論解進(jìn)行對(duì)照，如圖12所示。在理論解中，等效質(zhì)量塊水平方向的最大過載為92.5 m/s2，豎直方向的最大過載為157.5 m/s2。在仿真解中，水平方向的過載存在一定波動(dòng)，在濾波之后，最大值為 96 m/s2，與理論解的相對(duì)誤差為3.6%。豎直方向的過載也存在一定擾動(dòng)，濾波后其最大過載約為148 m/s2，與理論解的相對(duì)誤差為 6.4%。因此，在誤差允許的范圍內(nèi)，理論計(jì)算與仿真結(jié)果相一致。

6 不同撞擊角度情況比較

氣囊和等效質(zhì)量塊以同一速度撞擊到斜坡的不同落點(diǎn)時(shí)，撞擊速度與坡面的夾角不同，水平方向和豎直方向的最大過載也不同。最大過載隨撞擊點(diǎn)坡度變化的曲線如圖13所示。根據(jù)曲線可知，當(dāng)撞擊點(diǎn)坡度為0°時(shí)，水平方向最大過載為0，隨著撞擊點(diǎn)坡度的增大，水平方向的最大過載逐漸增大。在撞擊點(diǎn)坡度為0°時(shí)，豎直方向最大過載的值最大，為224.5 m/s2，隨著撞擊點(diǎn)坡度增大，豎直方向的最大過載逐漸減小。此外，在不同撞擊點(diǎn)上，比較氣囊彈離地面時(shí)的角速度，如圖 14所示。當(dāng)撞擊點(diǎn)的坡度在 0°到 20°之間時(shí)，氣囊離地時(shí)的角速度隨坡度的增加而增大；當(dāng)撞擊點(diǎn)的坡度在 20°到 30°之間時(shí)，氣囊離地時(shí)的角速度隨坡度的增加而增大，但增大的程度變緩。

7 結(jié)論

文中提出了一種計(jì)算氣囊的理論方法。首先建立了氣囊有限元模型，在無重力條件下對(duì)給定氣囊施加載荷，得到接觸載荷-壓縮量曲線，根據(jù)曲線擬合出接觸載荷與氣囊壓縮量的關(guān)系式。同時(shí)利用高斯函數(shù)模擬斜坡的坡面，考慮一質(zhì)量塊（模擬航天器）和氣囊以一定初速度豎直向下撞擊到該坡面上，只考慮坡度大小和表面粗糙度對(duì)氣囊載荷的影響，利用中心差分法計(jì)算出質(zhì)量塊的位移、速度以及加速度。

將理論計(jì)算所得的結(jié)果與仿真輸出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，在撞擊點(diǎn)的坡度為0°，20.27°和31.24°時(shí)，得到理論的水平方向和豎直方向上的最大過載。與仿真結(jié)果對(duì)照，在誤差允許的范圍內(nèi)，理論與仿真結(jié)果一致，從而驗(yàn)證了該理論計(jì)算方法的有效性。

利用該方法，分析比較不同的撞擊角度下，等效質(zhì)量塊水平、豎直方向上最大過載以及氣囊離開地面時(shí)的角速度。當(dāng)撞擊點(diǎn)坡度為 0°時(shí)，水平方向最大過載為0，隨著撞擊點(diǎn)坡度增大，水平方向的最大過載逐漸增大；豎直方向最大過載的值最大，為224.5 m/s2，隨著撞擊點(diǎn)坡度增大，豎直方向的最大過載逐漸減??；當(dāng)撞擊點(diǎn)坡度為0°時(shí)，角速度為0，氣囊離開地面時(shí)的角速度逐漸增大，其增幅在 0°到20°之間較大。