蔡宇麟，應柏青

（西安交通大學電工電子教學實驗中心，陜西西安710049）

0 引言

電磁感應是電磁場理論的重要組成部分。進行磁懸浮現(xiàn)象的實驗演示，可以直觀、生動地演示電磁感應現(xiàn)象，受到學生的普遍歡迎。但是實現(xiàn)磁懸浮效果需要繞制尺寸較大的線圈，并通以很強的電流，這一要求在普通實驗室條件下難以達到。為了達到在普通實驗室條件下也能容易地實現(xiàn)磁懸浮的目的，本文設計了一種磁懸浮實驗裝置，目的是用強度盡量低的電流和體積盡量小的線圈容易地產(chǎn)生磁懸浮效果。

1 磁懸浮實驗裝置的理論分析

文獻［1］介紹了一種磁懸浮實驗裝置。該裝置由一個工頻交流電的線圈和一塊鋁板組成，實驗裝置簡圖如圖1所示。

圖1 實驗裝置簡圖

線圈的總匝數(shù)為N，內徑、外徑分別為R1、R2，高為H。裝置參數(shù)列于表1中。將一塊鋁板放置在線圈上方，通電后，鋁板受到向上的電磁力，若能夠克服重力，鋁板就會向上飛起。下面以此裝置為模型，對磁懸浮系統(tǒng)的磁場分布和受力情況進行分析和求解。

表1 實驗裝置參數(shù)表

1．1 單匝線圈的磁感應強度

如圖2 所示，設A（r，α，h）為空間一點，B（ρ，φ，z）為線圈中一點。線圈的上表面與xOy平面重合。則由畢奧-薩伐爾定律得單匝線圈在A點產(chǎn)生的磁感應強度為

式中，μ0為真空磁導率，Idl為線圈電流元，R＝｜為 兩點距離，為 φ 向單位矢量。

圖2 模型示意

根據(jù)問題的需要，重點關注磁場的徑向分量。由直角坐標與柱坐標的關系有

由對稱性可知，Bц的值與α角無關。不妨令α＝0，得到Bц的徑向分量為

式中K（k），E（k）分別為第一類、第二類橢圓積分：

式（1）即為單匝線圈產(chǎn)生的徑向磁場表達式［2］。

1．2 直接積分法計算線圈磁場

所謂直接積分法，是將連續(xù)場源的效應用足夠多的離散場源效應的疊加予以等值替代，從而解得待求場量的離散解的一種計算方法。首先對場源進行離散化。取載流線圈的外輪廓線為場源周界，且認為場源截面S內電流分布均勻。將截面離散成nr×n2個小面積。取徑向和軸向的計算步長分別為Δr，Δz，則第（i，j）個小面積 ΔSij內的電流為

把此電流ΔIij視作集中在ΔSij中心的電流絲。這樣當截面離散為足夠數(shù)量的小面積時，計算結果就能具有滿意的精度。場源離散完成后，根據(jù)疊加原理，應用式（1），就可計算出螺線管線圈上方任一場點A（r，h）處在t時刻的磁場強度值為

1．3 電磁懸浮力的求解

如果將鋁板看作理想導體平面，且近似認為在鋁板覆蓋范圍內，線圈發(fā)出的電磁波全部被垂直反射，則氣隙中形成駐波。設鋁板半徑為r0，場點（r，h）在鋁板表面。將1．2節(jié)得到的磁場強度表達式記作

則合成駐波的磁場強度為

鋁板內部不存在磁場。根據(jù)分界面上的銜接條件，鋁板表面的面電流為

故得電磁懸浮力為

這一結果表明，鋁板所受的電磁力恒大于零，并以角頻率 2ω 交變［4～6］。其平均值為

1．4 仿真驗證

為驗證以上結果，應用Ansys Maxwell 3D軟件對渦流場進行仿真，結果如圖3、4所示。

圖3 鋁板上的渦電流分布

圖4 鋁板渦電流密度隨半徑變化曲線

鋁板所受電磁力F的平均值隨高度h變化的曲線如圖5所示。

可見，隨著鋁板上浮高度的增加，電磁力并不是單調減少的，而是先略有增加，再逐步下降。因此只要鋁板能夠起飛，就可以實現(xiàn)懸浮效果。故以下只對鋁板在h＝0處（即鋁板下表面和線圈上表面位置重合的情況）的受力情況進行討論。

圖5 電磁力與鋁板懸浮高度的關系曲線

2 磁懸浮裝置的優(yōu)化設計

由電磁懸浮力的積分表達式（2）可見，電磁力取決于磁場強度平方的大小及其分布。因此要達到最優(yōu)設計的目的，一方面應在電流強度一定的條件下盡量提高其產(chǎn)生的磁場大小；另一方面應合理設計線圈參數(shù)，使得線圈所產(chǎn)生的磁場能夠更加集中地作用在鋁板上產(chǎn)生向上的推力。基于以上兩方面的考量，筆者提出下列優(yōu)化措施。

2．1 在線圈中增加鐵芯

鐵磁材料具有極強的儲磁能力，能夠顯著提高線圈產(chǎn)生的磁場。在線圈中加入長度相同，厚為5 mm的鐵芯，仿真測算結果如表2所示。

表2 增加鐵芯前后電磁力測算結果（I＝20A）

2．2 計算分析最優(yōu)化的結構參數(shù)

線圈的幾何結構對其產(chǎn)生的磁場有顯著的影響。以內徑參數(shù)為例：如果線圈的內徑過大，那么磁場強度會過??；而如果線圈的內徑過小，磁場又會過于分散。因此應合理選擇線圈結構參數(shù)，從而更加充分地利用磁場。這里利用Ansys Maxwell 3D軟件的Optimetrics功能，將線圈的內徑R1、外徑R2和高度H設為待優(yōu)化變量，對作用在鋁板上的力F進行建模分析。

（1）線圈高度H的取值。仿真結果如圖6所示，電磁力隨線圈高度H增加呈現(xiàn)單調增大趨勢，這主要是因為線圈的安匝數(shù)NI與H成正比。當H＞R2時，由于磁場受到線圈形狀的制約，其增速明顯放緩。因此，線圈的最佳長度可選為H＝R2。

圖6 F-H仿真曲線

（2）線圈外徑R2的取值。仿真結果如圖7所示，電磁力隨R2增大而迅速增加，直至R2約為鋁板半徑r0的1．15倍時上升停止。亦即此時用于產(chǎn)生懸浮的磁場利用率達到最高。因此可取略大于r0的值作為R2的最佳值。

圖7 F-R2仿真曲線

（3）線圈內徑R1的取值。將R2一定時，使得F最大的R1值記作R1max。我們試圖分析R1max與R2是否存在一定的經(jīng)驗關系，從而為通過R2值確定最優(yōu)的R1提供依據(jù)。由于F與R1，R2的函數(shù)關系應該是連續(xù)的，故理論上R1max＝φ（R2）也應該是一條連續(xù)的曲線。然而Optimetrics分析的結果表明，R1max與R2的關系呈現(xiàn)較大的不規(guī)律性。部分結果如圖8所示。

出現(xiàn)這種波動現(xiàn)象的原因一方面是Ansys Maxwell軟件本身的計算精度所限，另一方面是取點不夠細密所致。由于高精度計算所需要的時間過長，使用以下的“次優(yōu)補償算法”來計算R1max與R2的經(jīng)驗關系：

（1）選定一個較小的初始區(qū)間［R20，R21］，在該區(qū)間內R1max與R2有著局部連續(xù)且單調的函數(shù)關系；

圖8 R1max-R2曲線

（3）延拓完成后，用數(shù)據(jù)擬合方法計算所滿足的函數(shù)關系，并加以驗證。

這一算法的本質是用偏差程度更小的次優(yōu)值替代最優(yōu)值，從而有效減小取樣值之間的波動。用Matlab實現(xiàn)后，得到R1max與R2的函數(shù)曲線近似呈對數(shù)函數(shù)關系，可記作R1max＝α+βInR2，如圖9中粗線所示。

圖9 補償算法處理后的R1max-R2曲線（圖中粗線）

式中系數(shù)α，β的值依R2的取值不同而不同。實際應用可取R1max＝ （0．4：0．6）R2為最佳的內徑取值。

2．3 利用交-直-交變頻器提高勵磁電流頻率

在前面推導式（2）的過程中，將鋁板視作理想導體平面，且認為電磁波全部為正入射。這是一種近似的處理。如果考慮實際中鋁板與線圈之間的互感M，設R為鋁板電阻，則鋁板所受電磁力可以表示為［7～8］

可見考慮鋁板與線圈之間的互感時，鋁板所受電磁力的大小隨電流頻率的增大而增大。因此，可以采用交-直-交變頻器來提高勵磁電流的頻率，從而增大懸浮力的大?。?～11］。接入交-直-交變頻裝置升頻后，實驗結果顯示鋁板所需懸浮電流明顯減小。如表3所示。

表3 提高供電電源頻率前后起飛電流測量

3 實驗裝置改進與實測結果

根據(jù)上節(jié)的分析結果對現(xiàn)有實驗裝置進行改進。改進后的實驗裝置包括一塊鋁板、一個含鐵芯的線圈和一個交-直-交變頻器。線圈的參數(shù)由上節(jié)的優(yōu)化結果選定，高為100 mm，內徑40 mm，外徑100 mm，匝數(shù)為305。設置變頻器輸出電壓為220 V，100 Hz，進行鋁板的磁懸浮實驗，測得鋁板所需起飛電流將近減小了一半。繼續(xù)增大電流，可以使懸浮高度進一步增加，實驗效果更加明顯?？梢娫O計達到了預期的效果。

此外，由表3和表4的結果可以看出，在三種優(yōu)化途徑中，電流頻率的提高對磁懸浮的優(yōu)化效果最為顯著。可以進一步提高電流頻率來減小所用電流。但過高的電流頻率會加劇鋁板的振蕩，使其發(fā)出很大的噪聲。

表4 起飛電流測量結果

4 結語

基于在實驗室條件下進行磁懸浮演示實驗的現(xiàn)實需要，本文首先對磁懸浮實驗裝置進行了理論分析和計算。在理論結果的基礎上，以充分地利用電流產(chǎn)生的磁場為原則，給出了在不顯著增大電流強度和線圈體積的條件下，能夠產(chǎn)生更佳磁懸浮效果的實驗裝置設計方案，包括增加鐵芯、優(yōu)化參數(shù)設計和采用變頻器提高頻率等。在完成設計方案的過程中，在仿真分析的基礎上應用了數(shù)學建模思想和電力電子技術。根據(jù)優(yōu)化分析結果設計的線圈體積沒有明顯增大，不僅實現(xiàn)了磁懸浮效果，而且所用電流顯著降低。這為電磁感應現(xiàn)象的實驗演示提供了一種新的解決方案。