蔡宇麟，應(yīng)柏青

（西安交通大學(xué)電工電子教學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，陜西西安710049）

0 引言

電磁感應(yīng)是電磁場(chǎng)理論的重要組成部分。進(jìn)行磁懸浮現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)演示，可以直觀、生動(dòng)地演示電磁感應(yīng)現(xiàn)象，受到學(xué)生的普遍歡迎。但是實(shí)現(xiàn)磁懸浮效果需要繞制尺寸較大的線圈，并通以很強(qiáng)的電流，這一要求在普通實(shí)驗(yàn)室條件下難以達(dá)到。為了達(dá)到在普通實(shí)驗(yàn)室條件下也能容易地實(shí)現(xiàn)磁懸浮的目的，本文設(shè)計(jì)了一種磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置，目的是用強(qiáng)度盡量低的電流和體積盡量小的線圈容易地產(chǎn)生磁懸浮效果。

1 磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置的理論分析

文獻(xiàn)［1］介紹了一種磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置。該裝置由一個(gè)工頻交流電的線圈和一塊鋁板組成，實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖

線圈的總匝數(shù)為N，內(nèi)徑、外徑分別為R1、R2，高為H。裝置參數(shù)列于表1中。將一塊鋁板放置在線圈上方，通電后，鋁板受到向上的電磁力，若能夠克服重力，鋁板就會(huì)向上飛起。下面以此裝置為模型，對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的磁場(chǎng)分布和受力情況進(jìn)行分析和求解。

表1 實(shí)驗(yàn)裝置參數(shù)表

1．1 單匝線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度

如圖2 所示，設(shè)A（r，α，h）為空間一點(diǎn)，B（ρ，φ，z）為線圈中一點(diǎn)。線圈的上表面與xOy平面重合。則由畢奧-薩伐爾定律得單匝線圈在A點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率，Idl為線圈電流元，R＝｜為 兩點(diǎn)距離，為 φ 向單位矢量。

圖2 模型示意

根據(jù)問(wèn)題的需要，重點(diǎn)關(guān)注磁場(chǎng)的徑向分量。由直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系有

由對(duì)稱性可知，Bц的值與α角無(wú)關(guān)。不妨令α＝0，得到Bц的徑向分量為

式中K（k），E（k）分別為第一類、第二類橢圓積分：

式（1）即為單匝線圈產(chǎn)生的徑向磁場(chǎng)表達(dá)式［2］。

1．2 直接積分法計(jì)算線圈磁場(chǎng)

所謂直接積分法，是將連續(xù)場(chǎng)源的效應(yīng)用足夠多的離散場(chǎng)源效應(yīng)的疊加予以等值替代，從而解得待求場(chǎng)量的離散解的一種計(jì)算方法。首先對(duì)場(chǎng)源進(jìn)行離散化。取載流線圈的外輪廓線為場(chǎng)源周界，且認(rèn)為場(chǎng)源截面S內(nèi)電流分布均勻。將截面離散成nr×n2個(gè)小面積。取徑向和軸向的計(jì)算步長(zhǎng)分別為Δr，Δz，則第（i，j）個(gè)小面積 ΔSij內(nèi)的電流為

把此電流ΔIij視作集中在ΔSij中心的電流絲。這樣當(dāng)截面離散為足夠數(shù)量的小面積時(shí)，計(jì)算結(jié)果就能具有滿意的精度。場(chǎng)源離散完成后，根據(jù)疊加原理，應(yīng)用式（1），就可計(jì)算出螺線管線圈上方任一場(chǎng)點(diǎn)A（r，h）處在t時(shí)刻的磁場(chǎng)強(qiáng)度值為

1．3 電磁懸浮力的求解

如果將鋁板看作理想導(dǎo)體平面，且近似認(rèn)為在鋁板覆蓋范圍內(nèi)，線圈發(fā)出的電磁波全部被垂直反射，則氣隙中形成駐波。設(shè)鋁板半徑為r0，場(chǎng)點(diǎn)（r，h）在鋁板表面。將1．2節(jié)得到的磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式記作

則合成駐波的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

鋁板內(nèi)部不存在磁場(chǎng)。根據(jù)分界面上的銜接條件，鋁板表面的面電流為

故得電磁懸浮力為

這一結(jié)果表明，鋁板所受的電磁力恒大于零，并以角頻率 2ω 交變［4～6］。其平均值為

1．4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證以上結(jié)果，應(yīng)用Ansys Maxwell 3D軟件對(duì)渦流場(chǎng)進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3、4所示。

圖3 鋁板上的渦電流分布

圖4 鋁板渦電流密度隨半徑變化曲線

鋁板所受電磁力F的平均值隨高度h變化的曲線如圖5所示。

可見(jiàn)，隨著鋁板上浮高度的增加，電磁力并不是單調(diào)減少的，而是先略有增加，再逐步下降。因此只要鋁板能夠起飛，就可以實(shí)現(xiàn)懸浮效果。故以下只對(duì)鋁板在h＝0處（即鋁板下表面和線圈上表面位置重合的情況）的受力情況進(jìn)行討論。

圖5 電磁力與鋁板懸浮高度的關(guān)系曲線

2 磁懸浮裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)

由電磁懸浮力的積分表達(dá)式（2）可見(jiàn)，電磁力取決于磁場(chǎng)強(qiáng)度平方的大小及其分布。因此要達(dá)到最優(yōu)設(shè)計(jì)的目的，一方面應(yīng)在電流強(qiáng)度一定的條件下盡量提高其產(chǎn)生的磁場(chǎng)大??；另一方面應(yīng)合理設(shè)計(jì)線圈參數(shù)，使得線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)能夠更加集中地作用在鋁板上產(chǎn)生向上的推力?；谝陨蟽煞矫娴目剂浚P者提出下列優(yōu)化措施。

2．1 在線圈中增加鐵芯

鐵磁材料具有極強(qiáng)的儲(chǔ)磁能力，能夠顯著提高線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)。在線圈中加入長(zhǎng)度相同，厚為5 mm的鐵芯，仿真測(cè)算結(jié)果如表2所示。

表2 增加鐵芯前后電磁力測(cè)算結(jié)果（I＝20A）

2．2 計(jì)算分析最優(yōu)化的結(jié)構(gòu)參數(shù)

線圈的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)其產(chǎn)生的磁場(chǎng)有顯著的影響。以內(nèi)徑參數(shù)為例：如果線圈的內(nèi)徑過(guò)大，那么磁場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)過(guò)?。欢绻€圈的內(nèi)徑過(guò)小，磁場(chǎng)又會(huì)過(guò)于分散。因此應(yīng)合理選擇線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而更加充分地利用磁場(chǎng)。這里利用Ansys Maxwell 3D軟件的Optimetrics功能，將線圈的內(nèi)徑R1、外徑R2和高度H設(shè)為待優(yōu)化變量，對(duì)作用在鋁板上的力F進(jìn)行建模分析。

（1）線圈高度H的取值。仿真結(jié)果如圖6所示，電磁力隨線圈高度H增加呈現(xiàn)單調(diào)增大趨勢(shì)，這主要是因?yàn)榫€圈的安匝數(shù)NI與H成正比。當(dāng)H＞R2時(shí)，由于磁場(chǎng)受到線圈形狀的制約，其增速明顯放緩。因此，線圈的最佳長(zhǎng)度可選為H＝R2。

圖6 F-H仿真曲線

（2）線圈外徑R2的取值。仿真結(jié)果如圖7所示，電磁力隨R2增大而迅速增加，直至R2約為鋁板半徑r0的1．15倍時(shí)上升停止。亦即此時(shí)用于產(chǎn)生懸浮的磁場(chǎng)利用率達(dá)到最高。因此可取略大于r0的值作為R2的最佳值。

圖7 F-R2仿真曲線

（3）線圈內(nèi)徑R1的取值。將R2一定時(shí)，使得F最大的R1值記作R1max。我們?cè)噲D分析R1max與R2是否存在一定的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，從而為通過(guò)R2值確定最優(yōu)的R1提供依據(jù)。由于F與R1，R2的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是連續(xù)的，故理論上R1max＝φ（R2）也應(yīng)該是一條連續(xù)的曲線。然而Optimetrics分析的結(jié)果表明，R1max與R2的關(guān)系呈現(xiàn)較大的不規(guī)律性。部分結(jié)果如圖8所示。

出現(xiàn)這種波動(dòng)現(xiàn)象的原因一方面是Ansys Maxwell軟件本身的計(jì)算精度所限，另一方面是取點(diǎn)不夠細(xì)密所致。由于高精度計(jì)算所需要的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，使用以下的“次優(yōu)補(bǔ)償算法”來(lái)計(jì)算R1max與R2的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系：

（1）選定一個(gè)較小的初始區(qū)間［R20，R21］，在該區(qū)間內(nèi)R1max與R2有著局部連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)關(guān)系；

圖8 R1max-R2曲線

（3）延拓完成后，用數(shù)據(jù)擬合方法計(jì)算所滿足的函數(shù)關(guān)系，并加以驗(yàn)證。

這一算法的本質(zhì)是用偏差程度更小的次優(yōu)值替代最優(yōu)值，從而有效減小取樣值之間的波動(dòng)。用Matlab實(shí)現(xiàn)后，得到R1max與R2的函數(shù)曲線近似呈對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系，可記作R1max＝α+βInR2，如圖9中粗線所示。

圖9 補(bǔ)償算法處理后的R1max-R2曲線（圖中粗線）

式中系數(shù)α，β的值依R2的取值不同而不同。實(shí)際應(yīng)用可取R1max＝ （0．4：0．6）R2為最佳的內(nèi)徑取值。

2．3 利用交-直-交變頻器提高勵(lì)磁電流頻率

在前面推導(dǎo)式（2）的過(guò)程中，將鋁板視作理想導(dǎo)體平面，且認(rèn)為電磁波全部為正入射。這是一種近似的處理。如果考慮實(shí)際中鋁板與線圈之間的互感M，設(shè)R為鋁板電阻，則鋁板所受電磁力可以表示為［7～8］

可見(jiàn)考慮鋁板與線圈之間的互感時(shí)，鋁板所受電磁力的大小隨電流頻率的增大而增大。因此，可以采用交-直-交變頻器來(lái)提高勵(lì)磁電流的頻率，從而增大懸浮力的大?。?～11］。接入交-直-交變頻裝置升頻后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示鋁板所需懸浮電流明顯減小。如表3所示。

表3 提高供電電源頻率前后起飛電流測(cè)量

3 實(shí)驗(yàn)裝置改進(jìn)與實(shí)測(cè)結(jié)果

根據(jù)上節(jié)的分析結(jié)果對(duì)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置包括一塊鋁板、一個(gè)含鐵芯的線圈和一個(gè)交-直-交變頻器。線圈的參數(shù)由上節(jié)的優(yōu)化結(jié)果選定，高為100 mm，內(nèi)徑40 mm，外徑100 mm，匝數(shù)為305。設(shè)置變頻器輸出電壓為220 V，100 Hz，進(jìn)行鋁板的磁懸浮實(shí)驗(yàn)，測(cè)得鋁板所需起飛電流將近減小了一半。繼續(xù)增大電流，可以使懸浮高度進(jìn)一步增加，實(shí)驗(yàn)效果更加明顯?？梢?jiàn)設(shè)計(jì)達(dá)到了預(yù)期的效果。

此外，由表3和表4的結(jié)果可以看出，在三種優(yōu)化途徑中，電流頻率的提高對(duì)磁懸浮的優(yōu)化效果最為顯著。可以進(jìn)一步提高電流頻率來(lái)減小所用電流。但過(guò)高的電流頻率會(huì)加劇鋁板的振蕩，使其發(fā)出很大的噪聲。

表4 起飛電流測(cè)量結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

基于在實(shí)驗(yàn)室條件下進(jìn)行磁懸浮演示實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)需要，本文首先對(duì)磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行了理論分析和計(jì)算。在理論結(jié)果的基礎(chǔ)上，以充分地利用電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為原則，給出了在不顯著增大電流強(qiáng)度和線圈體積的條件下，能夠產(chǎn)生更佳磁懸浮效果的實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)方案，包括增加鐵芯、優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)和采用變頻器提高頻率等。在完成設(shè)計(jì)方案的過(guò)程中，在仿真分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用了數(shù)學(xué)建模思想和電力電子技術(shù)。根據(jù)優(yōu)化分析結(jié)果設(shè)計(jì)的線圈體積沒(méi)有明顯增大，不僅實(shí)現(xiàn)了磁懸浮效果，而且所用電流顯著降低。這為電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)演示提供了一種新的解決方案。