（湖南省洞口縣文昌街道城關(guān)初級(jí)中學(xué) 湖南邵陽(yáng) 422300）

添置輔助線是解幾何題中常用的手段，在幾何問(wèn)題中，添加輔助線可以說(shuō)是解題的關(guān)鍵點(diǎn)。輔助線好比是一座橋梁，將已知條件與待解決的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，從而找到解決問(wèn)題的方法，起到化難為易的作用。很多平面幾何都不是直接可以證明出來(lái)的，而是要借助輔助線才能證明出來(lái)。添加輔助線時(shí)，應(yīng)從題設(shè)條件和結(jié)論之間的關(guān)系來(lái)分析，使輔助線成為有效的過(guò)渡之“橋”。

下面我舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：

一、添加輔助線，將不規(guī)則的四邊形轉(zhuǎn)化為三角形

例1：如圖1.已知在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°

圖1

求AD和BC的長(zhǎng)

分析：作輔助線、延長(zhǎng)邊AD和BC相交于點(diǎn)E，將四邊形ABCD補(bǔ)全成△ABE再利用直角三角形性質(zhì)求解。

解：延長(zhǎng)BC、AD相交于點(diǎn)E

∵∠B=∠D=90°∴△ABE和△CDE都是直角三角形

∵∠B+∠ADC=180°∴∠A+∠BCD=180°∵∠A：∠BCD=1：2

說(shuō)明：本題采用延長(zhǎng)補(bǔ)形法，將不規(guī)則的四邊形補(bǔ)形成為直角三角形，再利用勾股定理求解。

二、作輔助線，將三角形整體移動(dòng)，構(gòu)成特殊圖形進(jìn)行計(jì)算

例2：如圖2，已知△ABC中，∠ACB=90°

圖2

A C=B C，D、E是A B上的兩點(diǎn)，且AD=4，BE=6，∠DCE=45°，求DE的長(zhǎng)。

分析：已知條件中AD、BE和所求DE分布在不同的三角形中，可以在△ABC的外部做一個(gè)△CBF，使△CBF≌△CAD，從而得到BF=AD，EF=DE，將三條線段移到同一個(gè)三角形中，求解。

解：在△ABC的外部，作△BCF，使∠BCF=∠ACD CF=CD

連結(jié) EF

∵AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF ∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF ∠A=∠CBF ∵∠ACB=90°

∴∠EBF=90° ∵∠DCE=45° ∴∠ACD+∠ECB=45°

即：∠ECF=45° ∴△DCE≌△FCE ∴DE=EF

說(shuō)明：本題采用作輔助線的方法，將△ACD移到BC邊的右側(cè)，從而將不相關(guān)聯(lián)的三條線段，移至同一直角三角形中求解。

三、利用補(bǔ)形法，把圖形補(bǔ)成有利于問(wèn)題解決的基本圖形

例3：如圖3，已知△ABC中，AO=DO，AO是∠BAC的角平分線，CD⊥AO，垂足為D，求證：AC=3AB

圖3

分析：延長(zhǎng)AB、CD相交于E點(diǎn)，由AO平分∠BAC，AD⊥CD，可 知AC=AE，DE=DC，取BE的中點(diǎn)F，連接DF，利用三角形中位線性質(zhì)可得，AB=BF=EF，最后可得AC=AE=3AB。

證明：延長(zhǎng)AB、CD相交于點(diǎn)E，取BE的中點(diǎn)F，連接DF。

∵AO平分∠BAC，AD⊥CD ∴△ACD≌△AED ∴ AC=AE CD=DE

∵F為BE的中點(diǎn)∴DF∥BC 又∵AO=DO ∴AB=BF

∵F為BE的中點(diǎn) ∴AB=BF=EF

即：AE=3AB ∴AC=3AB

說(shuō)明：本題是將不規(guī)則圖形補(bǔ)形成等腰三角形，再利用三角形中位線的性質(zhì)做橋梁，得出結(jié)論。