帥曉飛 朱玉軍 詹 旭

(1.中國兵器裝備集團成都火控技術(shù)中心 成都 611731; 2.四川理工學(xué)院自動化與電子信息學(xué)院 四川自貢 643000; 3.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院 四川綿陽 621000)

0 引言

當(dāng)雷達檢測微弱目標(biāo)時，常常需要目標(biāo)積累時間遠大于常規(guī)處理，然而運動目標(biāo)在長的積累時間內(nèi)可能跨越多個雷達距離分辨單元，會大大減弱積累后目標(biāo)信噪比。通過Keystone變換[1-7]校正PD雷達的距離走動，然后進行相參積累，達到提高信噪比的目標(biāo)。

但是Keystone變換使原來的矩形信號采樣點變成了楔石(Keystone)形格式，需要對該楔石形格式的樣本點插值成為矩形格式才能采用FFT進行后續(xù)的相干積累。這個插值過程就是Keystone變換的實現(xiàn)過程，若直接用插值方法從楔石形格式的數(shù)據(jù)得到所需的矩形格式數(shù)據(jù)，雖然只是一維變換，但運算量巨大。為了工程實際應(yīng)用，必須探索運算量較少的實現(xiàn)方法。而主要常用的工程實際應(yīng)用的Keystone變換實現(xiàn)方法：DFT+IFFT算法、Chirp-Z變換法、sinc函數(shù)內(nèi)插法和三階Lagrange內(nèi)插法[1-7]。

本文在詳細分析Keystone變換校正PD雷達回波中目標(biāo)距離走動的原理基礎(chǔ)上，介紹了四種常用的具體實現(xiàn)方法：DFT+IFFT的快速算法、Chirp-Z變換、sinc內(nèi)插和三階Lagrange插值；通過詳細的理論推導(dǎo)證明了DFT+IFFT算法和Chirp-Z變換法的具體實現(xiàn)過程是相同的，并給出了上述三種不同實現(xiàn)方法具體運算量以及各算法的特點；最后，通過計算機仿真結(jié)果驗證了這四種算法的性能。

1 PD雷達回波模型與Keystone變換原理

設(shè)PD雷達載波中心頻率為fc，發(fā)射信號為：s(t)=p(t)exp(j2πfct)，其中p(t)表示基帶信號。

考慮速度為v的勻速運動目標(biāo)，其雷達回波信號下變頻后：

(1)

對式(1)沿快時間維作傅里葉變換得：

(2)

(3)

將式(3)所示的Keystone變換代入式(2)，得到：

(4)

至此，距離走動得到了有效補償。

2 Keystone變換實現(xiàn)方法

對于式(3)所表示的Keystone變換中的距離頻率及慢時間都是以連續(xù)變量表示的，而在實際數(shù)字信號處理中是需要離散化處理的。為了便于工程實現(xiàn)，國內(nèi)外許多學(xué)者給出四種實現(xiàn)算法[1-4]，本文經(jīng)過仔細地推導(dǎo)比較發(fā)現(xiàn)其中兩種實現(xiàn)算法是相同的，只是推導(dǎo)的物理過程不同而已。

2.1 DFT+IFFT算法[2]

由(2)式到(4)式變換中，主要涉及到五個變量及其離散采樣，分別是快時間t(k)、快時間(距離)頻率f(l)和慢時間τm(m)、虛擬慢時間τn(n)及虛擬慢時間頻率fτ(n′)。并設(shè)快時間和快時間頻率的采樣點數(shù)目都為L，慢時間和虛擬慢時間及其頻率的采樣點數(shù)都為N。為了完成Keystone變換，對離散化的式(2)作二次離散傅里葉變換，具體地可以表示成

(5)

式(5)中，U′(l,n)并不一定精確等于式(4)所示的U(f,τ)的采樣值，因此用另一個符號表示。在上述步驟中，第一次DFT由于是變尺度的只能采用DFT，因為需要對所有距離頻率逐個計算M點DFT，其運算量比較大。為此，通過代換可用一種快速算法代替這個DFT運算。式(5)中括號內(nèi)的式子又可以表示為：

(6)

上式后面求和部分可作如下變換：

(7)

經(jīng)過式(6)和(7)的換算，式(5)表示的Keystone變換實現(xiàn)方法就可避開DFT而以FFT和點乘代替，大大提高運算效率。

2.2 Chirp-Z變換算法[1,3]

(8)

計算時沿z平面上的一段螺線做等分角的抽樣，記為：

zk=AW-k，k=0,1,…,M-1

(9)

上式中，M為所要分析的復(fù)頻譜的點數(shù)；A=A0exp(jθ0)，A0,θ0分別表示起始抽樣點的矢量半徑長度和相角；W=W0exp(jφ0)，W0,φ0表示螺線的伸展率和兩相鄰抽樣點之間的角度差。當(dāng)M=N,A=1,W=exp(-j2π/N)時，式(9)就是DFT了。

(10)

事實上，式(10)正是式(5)中DFT部分，因此，Chirp-Z變換與DFT+IFFT變換兩種Keystone實現(xiàn)方法是完全相同的，即這兩種方法等效，本文將這兩種實現(xiàn)方法都稱為變尺度變換法。

2.3 sinc函數(shù)內(nèi)插法[4]

另一種常用的Keystone變換實現(xiàn)方法為內(nèi)插法，即每一個變換后的U′(l,n)值借助鄰近幾個慢時間離散取值點U(l,m)插值得到。內(nèi)插方法很多，本文選用兩種較常用、效果也較好的：sinc內(nèi)插法和三階Lagrange插值法。

插值就是待插值的樣本與內(nèi)插核函數(shù)加權(quán)求和的一個過程。sinc內(nèi)插法的公式可以表示為：

(11)

2.4 三階Lagrange內(nèi)插法[5]

(12)

(13)

Lagrange插值方法具有整潔的結(jié)構(gòu)，在理論研究和分析中很方便。事實上，常用的線性插值、二次插值都屬于Lagrange插值。然而，高階的Lagrange插值運算量很大，也存在嚴(yán)重的Runge現(xiàn)象，不利于實際運用。所以本文考慮三階Lagrange插值即取待插值處周圍的四個點對該處的值近似。

具體到公式(4)，令

ym=U(l,m)，xm=tm=mTr，I=4則可得對應(yīng)的插值公式。對于n=0,1,…,M-1，找出滿足τm≤tn≤τm+1的序號m，并記τm-1,τm,τm+1,τm+2分別對應(yīng)公式(12)中的x0,x1,x2,x3，此時，U′(l,n)可以表示為

U′(l,n)=U(l,m-1)l0(τn)+U(l,m)l1(τn)

+U(l,m+1)l2(τn)+U(l,m+2)l3(τn)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由以上推導(dǎo)結(jié)果不難得出，當(dāng)樣本個數(shù)較少時，由于邊沿效應(yīng)，插值后再相參積累的效果不理想。因此，三階Lagrange插值不適合樣本數(shù)較少的情況。

2.5 計算量分析[5]

設(shè)距離頻率域采樣點數(shù)為L，一個CPI內(nèi)的脈沖數(shù)為M，M′為大于等于2M-1且為2的整數(shù)冪的最小正整數(shù)，通常為了后續(xù)相參積累的方便，M為2的整數(shù)冪，因此M′=2M。則對于以上三種Keystone變換實現(xiàn)方法：Chirp-Z變換、sinc內(nèi)插法、三階Lagrange插值法在每一個距離頻率點上的運算量分別如下：

1)Chirp-Z變換：(2M+M′)點復(fù)數(shù)乘+3次M′點FFT+M點FFT。

2)sinc內(nèi)插：M2點復(fù)數(shù)乘。

3)三階Lagrange插值法：20M點實數(shù)乘+4M點復(fù)數(shù)乘。

由上述分析可見，當(dāng)M較大時，Chirp-Z變換和三階Lagrange在實際工程中實現(xiàn)起來比較容易些，而sinc內(nèi)插法運算量稍大，實現(xiàn)起來相對困難些。

3 仿真結(jié)果

仿真參數(shù)：雷達發(fā)射線性調(diào)頻信號，信號帶寬為10MHz，時寬為10μs，雷達載頻為10GHz脈沖重復(fù)頻率為1kHz，目標(biāo)徑向速度為1000m/s，回波脈壓前信噪比為-10dB，目標(biāo)初始距離1.2km，CPI積累脈沖個數(shù)為256個。未進行Keystone變換時一個CPI內(nèi)回波在脈沖間跨越了17個距離分辨單元。其數(shù)據(jù)對應(yīng)的MTD積累結(jié)果如圖2所示，目標(biāo)能量就分散在了相鄰多個距離單元內(nèi)。

將圖1所示的數(shù)據(jù)分別進行第2節(jié)所述的三種Keystone變換實現(xiàn)方法得到的仿真結(jié)果分別如圖2、3、4所示：

圖2、圖3和圖4的結(jié)果表明，sinc內(nèi)插、Lagrange插值和chirp-Z變換都能有效實現(xiàn)Keystone變換，能校正目標(biāo)回波間的距離走動使MTD積累結(jié)果獲得更高的信噪比，有利于弱目標(biāo)的檢測。

特別需要說明的是，在這一小節(jié)的仿真過程中，積累脈沖個數(shù)是256，可是當(dāng)積累脈沖個數(shù)低于32，比如16時，Keystone變換后積累增益并不明顯，獲得的性能增益有限。

4 結(jié)束語

本文主要針對脈沖多普勒體制雷達中高速目標(biāo)造成目標(biāo)在回波中距離走動而使目標(biāo)的相參積累效果嚴(yán)重下降的現(xiàn)象，研究了一種有效的校正距離走動的Keystone變換，主要對Keystone變換的實現(xiàn)方法進行了詳細討論，給出了每種實現(xiàn)方法的理論推導(dǎo)、具體實現(xiàn)步驟及計算量。仿真結(jié)果進一步驗證了每種實現(xiàn)方法的有效性。

鑒于Chirp-Z變換實現(xiàn)方法可以利用FFT實現(xiàn)，而FFT在DSP開發(fā)軟件中有標(biāo)準(zhǔn)、高效的庫函數(shù)，因此，Chirp-Z變換方法實現(xiàn)Keystone變換最易于工程實現(xiàn)。