方小珍,孫愛文,束立生

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

1 引言

設(shè) L=??+V(x)是 Rn(n≥3)上(的 Sc)hr¨odinger微分算子,其中 V(x)是非負(fù)但不為零的位勢,且屬于反向 H¨older類 Bs.自 1995年文獻(xiàn) [1]給出了具有非負(fù)位勢的 Schr¨odinger算子在經(jīng)典Lebesgue空間上的有界性以來,與Schr¨odinger算子相關(guān)的研究取得了突破性進(jìn)展.文獻(xiàn) [2-3]得到了算子 Vβ2(??+V)?β1及其對偶算子的有界性估計(jì).在文獻(xiàn)[4]中,作者研究了與L相關(guān)的Riesz變換及分?jǐn)?shù)積分算子的端點(diǎn)估計(jì).更多與L相關(guān)的研究成果見文獻(xiàn)[5-6].

奇異積分交換子是調(diào)和分析研究中的重要內(nèi)容.令Tβ=(??+V)?βVβ是與L相關(guān)的算子且b∈BMOσ(ρ).在文獻(xiàn)[1]的研究基礎(chǔ)上,2016年文獻(xiàn)[7]利用極大估計(jì)先后得到了交換子[b,Tβ]在Lp空間和Herz空間上的有界性.文獻(xiàn)[8]研究了與L相關(guān)的奇異積分交換子的加權(quán)估計(jì).基于以上研究,本文主要討論 Tβ及其交換子 [b,Tβ]在 Herz-Morrey空間上的有界性.

在這篇文章中,將球B?Rn的Lebesgue{測度記為|B|,C}和C′表示為未指定的正常數(shù),在每個(gè)地方取值可能不同.?k∈Z,令Bk=x∈Rn:|x|≤2k,且 Ek=BkBk?1,記函數(shù)Ek的特征函數(shù)為χk.U～V表示存在常數(shù)C>0及C′>0,使得C′V≤U≤CV.

首先,介紹相關(guān)定義.

定義 1.1[1]設(shè)V(x)是Rn上的非負(fù)局部Ls可積函數(shù),若存在常數(shù)C>0,使得下面的反向 H¨older不等式

對 Rs上所有球B 都成立,則稱V(x)屬于反向H¨older類Bs(s>1).

定義 1.2[1]設(shè)x∈Rn,V∈Bs(s>1),輔助函數(shù)ρ(x)定義如下:

定義1.3[7]設(shè)b∈,σ∈(0,∞),ρ(x)為定義 1.2中所定義的輔助函數(shù),一個(gè)新的 BMOσ(ρ)空間定義為:

其中球

一般也將 ∥b∥BMOσ(ρ)簡記為 ∥b∥σ.

定義1.4[8]設(shè)則與 Schr¨odinger算子 L相關(guān)的算子定義為:Tβ=(??+V)?βVβ.且記 kβ(·,·)為算子 Tβ的核.

定義 1.5[9]若 α∈R,0

其中

2 引理及主要結(jié)果

引理2.1[1]設(shè)V∈Bs,s≥.則 V(y)dy為雙倍測度.即存在常數(shù) C0>0,使得 ?r>0,x∈Rn有

引理 2.2[1]存在常數(shù)C>0,l0>0,使得?x,y∈Rn,有下面的:

引理2.3[7]設(shè).?N ∈N,存在常數(shù) CN>0,使得

(a)若j≤k?2,則

(b)若j≥k+2,則

引理2.5[10]設(shè)

其中常數(shù)C僅依賴于N,s,β,與其他主要參數(shù)無關(guān).

其中常數(shù)C依賴于N,s,β,與其他主要參數(shù)無關(guān).

引理 2.6[11]令σ>0,1

有

這里l0同引理2.2所定義.

引理 2.7[11]令σ>0,k∈N,且 1

則有

這里l0同引理2.2所定義.

引理2.8[12]設(shè)(C0為引理2.1中所定義),存在一個(gè)常數(shù) CN0>0,使得 ?x∈Rn及 r>0,有

其中常數(shù)C僅依賴于ρ(0),N,l0,β,與其他主要參數(shù)無關(guān).

3 主要結(jié)果的證明

定理2.1的證明 記

于是

對于I2,由引理2.5,Tβ在Lq上有界可得

估計(jì)I1.對 x∈Ek,y∈Ej,且j≤k?2,有 |x?y|～|x|.由(1.1)式,引理2.4,引理2.8及 H¨older不等式,有

最后估計(jì)I3.對x∈Ek,y∈Ej,j≥k+2,有|x?y|～|y|,則

對于J2,由引理2.5,[b,Tβ]在Lq上的有界,可得

下面估計(jì)J1.由于

則

由于 x∈Ek,y∈Ej,且 j≤k?2,有 |x?y|～|x|.根據(jù) (1.1)式,引理 2.4,引理 2.7,引理 2.8及 H¨older不等式,有

對于J12,由引理2.4,引理2.6,引理2.8得

取N 足夠大,使得

則

最后估計(jì)J3.由于

則

由于x∈Ek,y∈Ej,且j≥k+2,則 |x?y|～|y|,故

因此取N 足夠大,使得

則有

綜上,定理2.2證畢.