董冠文，李自勇*

（甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

強(qiáng)迫振動(dòng)是在外界周期性干擾力持續(xù)作用下，振動(dòng)系統(tǒng)被迫產(chǎn)生的振動(dòng)。它是靠外界振動(dòng)源補(bǔ)充能量來(lái)維持振動(dòng)的。金屬切削加工中產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng)不會(huì)迅速衰減，而是一種危害較大的振動(dòng)。不論是金屬的精密加工還是一般切削加工，強(qiáng)迫振動(dòng)往往是影響加工質(zhì)量及生產(chǎn)效率的關(guān)鍵問(wèn)題。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，在金屬切削加工過(guò)程中，強(qiáng)迫振動(dòng)要占到30%[1],是不可避免的。因此，工程技術(shù)人員很有必要學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)研究金屬在切削加工過(guò)程中產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)機(jī)理，掌握強(qiáng)迫振動(dòng)的發(fā)生和變化規(guī)律，探討如何提高工藝系統(tǒng)的抗振性和積累消除振動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)措施，使金屬工件的切削加工過(guò)程，既能保證較高的生產(chǎn)率，又可以保證金屬工件的加工精度和表面質(zhì)量，這對(duì)金屬切削加工的相關(guān)研究和實(shí)踐具有現(xiàn)實(shí)意義。

1 強(qiáng)迫振動(dòng)數(shù)學(xué)模型的建立[1]

圖1 強(qiáng)迫振動(dòng)的模型圖

如圖1（a）所示，一臺(tái)電動(dòng)機(jī)安裝在一簡(jiǎn)支梁的中部，以ω的角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于電動(dòng)轉(zhuǎn)子不平衡而產(chǎn)生離心力P0，則P0沿著X方向的分力，為該系統(tǒng)外界周期性的干擾力。在這一干擾力的作用下，簡(jiǎn)支梁將做不衰減的強(qiáng)迫振動(dòng)。為了便于研究，我們將上述實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為圖1.（b）所示的單自由度欠阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)模型。在此系統(tǒng)上除了彈性恢復(fù)力kx及阻尼力作用外，還始終活躍著一個(gè)簡(jiǎn)諧激振力。

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，建立該系統(tǒng)的微分方程為：

則（1）可以改寫(xiě)為以下形式

這是一個(gè)非齊次二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程式，（1-2）對(duì)應(yīng)的齊次方程為

（3）是一個(gè)二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程，其特征方程為

將上式改寫(xiě)成如下形式：

記為

把上述第二個(gè)方程的兩端除以第一個(gè)方程的兩端，得

因?yàn)?/p>

根據(jù)非齊次二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程式（2）右端，它有形如

為了求出E,F,將x1代入（2）比較系數(shù)即可，為此先來(lái)計(jì)算

將上式各式代入（2），比較系數(shù)可得方程組

因?yàn)?/p>

故有

因而，所求特解為

上述表達(dá)式可以寫(xiě)成如下形式

記

表達(dá)式

稱(chēng)為相位差。（2）的通解為

從（7）可以看到，金屬切削產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)由兩部分組成，第一部分是欠阻尼的自由振動(dòng)，它是系統(tǒng)本身的固有振動(dòng)，它隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，振動(dòng)消失，第二部分是外力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，它的振幅不隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減。

2 強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的研究

金屬切削產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，由于經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，衰減振動(dòng)很快就衰減掉了，而強(qiáng)迫振動(dòng)一直持續(xù)下去，形成振動(dòng)的穩(wěn)定過(guò)程。以此我們來(lái)分析這一項(xiàng)。

記

為靜變位

為頻率比

為阻尼比

有

引入放大系數(shù)R則

圖2 響應(yīng)曲線(xiàn)圖

圖3 響應(yīng)曲線(xiàn)圖右側(cè)局部放大圖

圖4 響應(yīng)曲線(xiàn)圖左側(cè)局部放大圖

3 共振的研究

金屬切削產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，最值得研究的問(wèn)題是什么情況下，放大系數(shù)達(dá)到最大值，此時(shí)振幅最大。為此，對(duì)（8）求導(dǎo)令：

圖5 共振下的響應(yīng)曲線(xiàn)圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)詳細(xì)分析研究了金屬切削加工中產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象，工程技術(shù)人員在切削加工金屬工件時(shí)，應(yīng)避開(kāi)共振區(qū)，避免造成安全事故。