黃星壽, 王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 宜州 546300)

Hilger[1]在1988年首先提出了時標(biāo)上動力系統(tǒng)理論，把連續(xù)型和離散型動力系統(tǒng)統(tǒng)一起來研究。之后,許多研究人員研究了不同類型的時標(biāo)上的動力系統(tǒng)[2-5]。時標(biāo)上的動力系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用,它可以用來研究生物模型、熱傳導(dǎo)模型和傳染病模型等參見文獻(xiàn)[6-8]。

1 預(yù)備知識

ξh(z):=Ln(1+zh),

(1)

其中Ln是自然對數(shù)。當(dāng)h=0時，對任意z∈C有ξ0(z)=z。

注對于任意復(fù)數(shù)z∈C自然對數(shù)Lnz=Ln|z|+iarg(z),arg(z)是復(fù)數(shù)z的主幅角-π≤arg(z)≤π。對于任意正實(shí)數(shù)a,有Lnz=lna,Ln(-a)=lna+iπ。

定義6如果p∈R,我們定義指數(shù)函數(shù)為

(2)

注由柱變換定義(1)式和指數(shù)函數(shù)定義(2)式，我們可以推出：當(dāng)μ(τ)>0時，(2)式改寫成

(3)

(4)

引理1如果p,q∈R,指數(shù)函數(shù)有下列性質(zhì)

(i)e0(t，s)≡1andep(t，t)≡1；

(5)

(ii)ep(σ(t)，s)=(1+μ(t)p(t))ep(t，s)；

(6)

(iii)ep(t，s)ep(s，r)=ep(t，r)；

(7)

(8)

ep(t，t0)=α(t，t0)(-1)nt，

(9)

其中

(10)

(11)

2 指數(shù)函數(shù)的符號變化規(guī)律

在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，利用前面給出的定義與引理研究了下面的定理。

證明(i)因?yàn)?+μ(t)p(t)>0，Ln(1+μ(t)p(t))=Ln(1+μ(t)p(t))∈。由指數(shù)函數(shù)的定義和柱變換定義看出ep(t，t0)>0。

(ii)由引理1中的(ii)可以推出ep(t，t0)ep(σ(t)，t0)=(1+μ(t)p(t))ep(t，t0)ep(t，t0)，故當(dāng)1+μ(t)p(t)<0時，ep(t，t0)ep(σ(t)，t0)<0。

…

(ii)如果|T|=N∈,則對所有1≤i≤N-1在[σ(ti),ti+1]∩上有(-1)iep(·，t0)>0成立,在[σ(tN)，∞]∩上(-1)Nep(·,t0)>0成立。

ep(t1,t0) =ep(t1,ρ(t1))ep(ρ(t1),t0)

=[1+μ(ρ(t1))p(ρ(t1))]ep(ρ(t1),ρ(t1))ep(ρ(t1),t0)

=[1+μ(t1)p(ρ(t1)]ep(ρ(t1),t0)>0。

(12)

(-1)i+1ep(t,t0) =(-1)i+1ep(t,σ(ti+1))ep(σ(ti+1),t0)

(13)

(ii)如果|T|=N∈,由上面的證明可知對所有1≤i≤N-1，在[σ(ti),ti+1]∩上有(-1)iep(·，t0)>0成立。從而有(-1)N-1ep(tN,t0)>0,進(jìn)而有(-1)N-1ep(σ(tN),t0)<0。在[σ(tN)，∞)∩上由引理1和指數(shù)函數(shù)ep(t,t0)的定義6知

(-1)Nep(t,t0) =(-1)Nep(t,σ(tN))ep(σ(tN),t0)

(14)

(iv)如果|S|=M∈，則對所有1≤i≤M-1在[σ(si+1)，si]∩上有(-1)iep(·，t0)>0，在(-∞,sM]∩上有(-1)Mep(·，t0)>0。

(15)

ep(t,t0) =ep(t,ρ(s1))ep(ρ(s1),t0)

(16)

(-1)i+1ep(t，t0) =(-1)i+1ep(t,ρ(si+1))ep(ρ(si+1),t0)

(17)

(iv)如果|S|=M∈,由上面的證明可知對所有1≤i≤M-1在[σ(si+1,si)]∩上有(-1)iep(·，t0)>0。從而有(-1)M-1ep(σ(sM),t0)>0，進(jìn)而有(-1)Mep(sM,t0)>0。因?qū)τ谌我鈚∈(-∞,sM)∩有由引理1和指數(shù)函數(shù)ep(t,t0)的定義6知

(-1)Mep(t,t0) =(-1)Mep(t,ρ(sM))ep(ρ(sM),t0)

(18)

綜上證明了：如果|S|=M∈，則對所有1≤i≤M-1在[σ(si+1,si)]∩上有(-1)iep(·，t0)>0，在(-∞,sM)∩上有(-1)Mep(·，t0)>0。

ep(t,t0) =ep(t,ρ(t1))ep(ρ(t1),t0)

(19)

3 指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

研究生物問題、熱傳導(dǎo)問題和電路問題時可以建立時標(biāo)上的動力系統(tǒng)模型,有時時標(biāo)上的動力系統(tǒng)模型又可以簡化為時標(biāo)上的一階線性動力系統(tǒng)方程初值問題。

yΔ(t)=p(t)y,y(t0)=1,

(20)

(21)

Δy(t)=p(t)y(t),y(t0)=1,t∈N,

(22)

因?yàn)橹懒酥笖?shù)函數(shù)ep(t1,t0)的變化規(guī)律就可以知道生物、熱傳導(dǎo)和電路的變化規(guī)律，因此我們研究指數(shù)函數(shù)ep(t1,t0)的變化規(guī)律是有意義的。