徐利民， 張濤， 陶佳偉

(清華大學(xué)自動(dòng)化系， 北京 100084)

Lambert問(wèn)題是航天工程中雙脈沖軌道轉(zhuǎn)移的基本問(wèn)題[1-3]，在航天器交會(huì)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，近年來(lái)仍然屬于熱點(diǎn)研究范疇[4-7]。

Lambert飛行時(shí)間定理指出，對(duì)同一個(gè)平方反比中心引力場(chǎng)的橢圓軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題，給定轉(zhuǎn)移前后的空間位置P1和P2，則轉(zhuǎn)移時(shí)間t2-t1僅依賴于軌道半長(zhǎng)軸aT，兩點(diǎn)離引力中心F的矢徑長(zhǎng)度之和r1+r2以及連接兩點(diǎn)的弦長(zhǎng)cT。如果這3個(gè)參數(shù)aT、r1+r2、cT給定，則轉(zhuǎn)移時(shí)間t2-t1是確定的，單圈Lambert轉(zhuǎn)移情況下通常是2個(gè)解(最小能量軌道時(shí)是一個(gè)解)，與轉(zhuǎn)移橢圓的形狀(偏心率eT)無(wú)關(guān)[8]?；陲w行時(shí)間定理，基本Lambert問(wèn)題是指給定軌道上兩點(diǎn)的位置矢量及飛行時(shí)間，求連接兩點(diǎn)的軌道參數(shù)?；綥ambert問(wèn)題是一個(gè)典型的雙脈沖變軌問(wèn)題，其本質(zhì)是求解微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題[9]。

航天工程中通常需要根據(jù)優(yōu)化指標(biāo)確定轉(zhuǎn)移軌道的變軌優(yōu)化問(wèn)題。常用的優(yōu)化指標(biāo)是時(shí)間最優(yōu)或燃料最優(yōu)。基本Lambert問(wèn)題的結(jié)論可用于直接求解時(shí)間最優(yōu)雙脈沖變軌問(wèn)題[10]。很多任務(wù)中需要針對(duì)燃料消耗或者能量變化提出優(yōu)化目標(biāo)要求，并不限制轉(zhuǎn)移時(shí)間。此時(shí)最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道是滿足兩點(diǎn)約束的不同半通徑對(duì)應(yīng)的一系列轉(zhuǎn)移軌道中的一個(gè)最優(yōu)解。這個(gè)問(wèn)題稱為能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題。

文獻(xiàn)[11]對(duì)目前飛行器軌跡優(yōu)化數(shù)值方法進(jìn)行總結(jié)整理和歸納。文獻(xiàn)[12]對(duì)能量最優(yōu)Lambert進(jìn)行詳細(xì)研究并給出該問(wèn)題的解析閉式解答。文獻(xiàn)[13]用優(yōu)化方法證明了Lambert變軌的最小能量軌道問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]研究了共面橢圓軌道間轉(zhuǎn)移的燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]研究了最優(yōu)雙沖量交會(huì)問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型和數(shù)值求解方法。文獻(xiàn)[16]綜述了當(dāng)前最優(yōu)沖量交會(huì)的研究進(jìn)展。文獻(xiàn)[17]給出一種最優(yōu)Lambert轉(zhuǎn)移時(shí)間燃料多目標(biāo)混合模型并采用混合遺傳算法求解。

在對(duì)上述文獻(xiàn)深入研究的基礎(chǔ)上，本文提出一種基于矢量形式的求解能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的總體框架，把文獻(xiàn)[12,14]的求解過(guò)程統(tǒng)一在本文提出的數(shù)學(xué)框架中，并給出了能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的解析計(jì)算方法。最后分析和對(duì)比了能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題求解過(guò)程的多項(xiàng)式方程相應(yīng)的性質(zhì)和特點(diǎn)。

1 能量最優(yōu)與燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的定義

能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題具體描述如下(文中涉及的位置和速度向量都是三維列向量)。

如圖1所示，設(shè)航天器變軌前的位置為r1和速度v1,變軌后的位置r2和速度v2，求解航天器在r1、r2處的速度w1、w2，計(jì)算航天器2次點(diǎn)火的速度增量Δv1和Δv2：

圖1 位置和速度向量定義Fig.1 Definition of location and velocity vectors

(1)

當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(2)

此類問(wèn)題稱為ΔV2Lambert問(wèn)題，或能量最優(yōu)Lambert問(wèn)題。

當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

min ΔVtot=|Δv1|+|Δv2|

(3)

此類問(wèn)題稱為ΔVLambert問(wèn)題，或燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題。

(4)

式(4)意味著ΔV2最優(yōu)軌道的燃料消耗大于等于ΔV最優(yōu)軌道的燃料消耗，上限為不多于ΔVLambert問(wèn)題燃料消耗的41.5%。實(shí)際中通常二者燃料消耗差值不大于17%。圓軌道霍曼轉(zhuǎn)移情況下二者相等。

2 能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的計(jì)算

變軌起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度w1和w2滿足[13]：

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中：μ為引力常數(shù)；Δθ為r1、r2處的真近點(diǎn)角差值；p為轉(zhuǎn)移軌道半通徑。

2.1 ΔV2 Lambert問(wèn)題的求解

對(duì)于ΔV2Lambert問(wèn)題，求轉(zhuǎn)移能量最小即求式(10)的最小值：

(w1-v1)T(w1-v1)+(w2-v2)T(w2-v2)

(10)

式(10)取最小值需要滿足條件：

(11)

(12)

求解式(11)和式(12)即可得到滿足條件的p值，從而確定最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道和2次沖量的值。

2.2 ΔV Lambert問(wèn)題的求解

對(duì)于ΔVLambert問(wèn)題，求性能函數(shù)最小即求解式(13)的最小值：

ΔVtot=|Δv1|+|Δv2|=|w1-v1|+|v2-w2|

(13)

(14)

(15)

式中：

(16)

(17)

2.3 速度導(dǎo)數(shù)

ΔV和ΔV2Lambert問(wèn)題的求解中都涉及到變軌起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度w1和w2相對(duì)于半通徑p的一階和二階導(dǎo)數(shù)。為計(jì)算方便，令

(18)

(19)

從而得

(20)

(21)

(22)

(23)

2.4 求解導(dǎo)數(shù)方程的相關(guān)結(jié)論

結(jié)論1ΔV2Lambert問(wèn)題(10)歸結(jié)為一個(gè)四次多項(xiàng)式方程求解問(wèn)題。

式(10)展開(kāi)為

(24)

F(h)=h4+c3h3+c1h+c0=0

(25)

結(jié)論2ΔVLambert問(wèn)題(13)歸結(jié)為一個(gè)八次多項(xiàng)式方程求解問(wèn)題。

式(14)可寫(xiě)為

(26)

將式(21)、式(22)代入式(26)會(huì)得到一個(gè)形如式(27)的多項(xiàng)式方程：

(27)

式中：xi=h-i，yi=h2-i，l1i、l2i、p1i、p2i為計(jì)算出的多項(xiàng)式系數(shù)。式(27)形式上為一個(gè)12階多項(xiàng)式方程，但實(shí)際上式(27)中hi項(xiàng)中i=2,1,-9,-10的系數(shù)為零，為一個(gè)八次多項(xiàng)式方程：

(28)

其中：zi=h-i，fi取值為

2(a2d+bc2)

4bd(a-c)

綜上所述，以min ΔVtot為目標(biāo)函數(shù)的ΔVLambert問(wèn)題涉及到八次多項(xiàng)式求根問(wèn)題，目前尚無(wú)閉式解析解，數(shù)值解往往受到迭代算法的速度影響。而求解ΔV2Lambert問(wèn)題涉及缺項(xiàng)的四次多項(xiàng)式求根問(wèn)題，存在閉式解求根公式。

3 仿真算例

仿真算例采用文獻(xiàn)[12]的ALSET 1和ARIANE 44L衛(wèi)星的軌道參數(shù)，列于表1。

設(shè)定變軌起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)位置及速度矢量如表2和表3所示。

仿真計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4～表6。

對(duì)于ΔVLambert問(wèn)題的最小速度增量值，若利用ΔV2Lambert問(wèn)題求解得到的p值(設(shè)q=11 285.930)計(jì)算，相比ΔVLambert問(wèn)題求解得到的p值(設(shè)m=11 360.100)，有ΔVtot(q)-ΔVtot(m)=0.094 669 588 639 047，ΔVtot(q)高出ΔVtot(m)4.453 9%。

ΔV和ΔV2目標(biāo)函數(shù)值隨p變化情況如圖2所示(對(duì)數(shù)坐標(biāo))，局部細(xì)節(jié)情況見(jiàn)圖3。極值點(diǎn)和表4～表6計(jì)算結(jié)果一致。

表1 ALSET 1和ARIANE 44L衛(wèi)星的軌道參數(shù)(NORAD兩行軌道根數(shù))[12]

表2 起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)位置

表3 起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)速度

表4 ΔV Lambert問(wèn)題起止點(diǎn)速度增量

表5 ΔV2 Lambert問(wèn)題起止點(diǎn)速度增量

表6 轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)

圖2 ΔVtot和目標(biāo)函數(shù)值隨p變化情況Fig.2 Variation of ΔVtot and function with p

圖3 ΔVtot和目標(biāo)函數(shù)值隨p變化情況(極點(diǎn)附近)Fig.3 Variation of ΔVtot and function with p (near peak point)

4 結(jié) 論

1) 本文提出一種基于矢量形式的求解能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的總體框架，統(tǒng)一了能量最優(yōu)和燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的分析方法和相關(guān)結(jié)論，避免了大量三角函數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)變換等較繁瑣的處理方式。

2) 對(duì)燃料最優(yōu)Lambert問(wèn)題的分析突破了相關(guān)研究中軌道共面條件的限制。本文的推導(dǎo)過(guò)程相比以往的研究具有更加簡(jiǎn)潔的表示形式。

3) 仿真算例展示了具體方法的求解結(jié)果，并驗(yàn)證了燃料最優(yōu)比能量最優(yōu)的最優(yōu)速度增量多不超過(guò)17%的事實(shí)。