姜瑞忠，張春光，崔永正，張偉，張福蕾，沈澤陽(yáng)

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

0 引言

在儲(chǔ)層開(kāi)采進(jìn)程中，地層壓力下降使得滲透率與孔隙度發(fā)生改變，儲(chǔ)層流動(dòng)原理也隨之改變。鑒于雙重介質(zhì)油藏的非均質(zhì)性和復(fù)雜性，國(guó)內(nèi)外許多專家用流固耦合的滲流理論對(duì)其進(jìn)行研究，但流固耦合方法復(fù)雜且求解困難?？紤]介質(zhì)隨壓力的變化建立模型并求得解析解，是另外一種研究方法，但流體在孔隙內(nèi)的非線性滲流規(guī)律被忽略。眾多的局限性導(dǎo)致雙重介質(zhì)分形油藏開(kāi)始被廣泛研究。J.Chang等［1］首先提出分形油藏中的試井方法；S.Aprilian等［2］采用干擾試井的解釋方法，擬合得到地層的儲(chǔ)存系數(shù)以及傳導(dǎo)率，從而推廣了J.Chang所提出的模型；J.Acuna等［3］將分形油藏的試井模型應(yīng)用到地?zé)岬V的2口井，即將分形油藏原理投入了實(shí)際應(yīng)用并得到了礦藏分維；葛家理等［4］用分形維數(shù)Df和分形指數(shù)來(lái)描述自然裂縫的復(fù)雜程度與連通狀況，建立了分形油藏低速非達(dá)西滲流模型，最后求得實(shí)空間的精確解；李其深等［5］以儲(chǔ)層的均質(zhì)性為基礎(chǔ)建立了分形油藏的雙滲模型；李順初等［6-8］研究了封閉邊界且考慮井筒儲(chǔ)集系數(shù)和表皮效應(yīng)影響下，存在變流率問(wèn)題的井底壓力拉氏空間解。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了考慮壓敏的雙重介質(zhì)分形油藏非線性滲流模型；基于有限元方法對(duì)模型進(jìn)行求解，并根據(jù)井底壓力解繪制滲流特征曲線；對(duì)比各模型滲流規(guī)律，對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。研究成果對(duì)試井分析、油氣藏開(kāi)發(fā)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)具有實(shí)際意義［9］。

1 分形理論適用性分析與應(yīng)用

經(jīng)典的滲流理論基于歐式空間并具有一定特征尺度，儲(chǔ)層滲透率K是與特征長(zhǎng)度有關(guān)的值，所以，達(dá)西定律在宏觀尺度上不能直接應(yīng)用于分形油藏。如果儲(chǔ)層體系在統(tǒng)計(jì)意義下具有分形特性，即不再具有特征長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)典滲流力學(xué)就不能很好地表征實(shí)際儲(chǔ)層的非均質(zhì)性。與經(jīng)典的滲流理論類(lèi)似，分形網(wǎng)絡(luò)中的滲透率一定反映分形結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)，所以，滲透率與分形維數(shù)以及異常擴(kuò)散系數(shù)θ必然有關(guān)。綜上所述，將分形參數(shù)應(yīng)用到具有分形特性的油藏體系中，可以更精確地描述實(shí)際油藏的復(fù)雜多變性。

首先對(duì)具有分形特性的裂縫孔隙度φf(shuō)和裂縫滲透率Kf進(jìn)行分析。設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)體積相同，分形體內(nèi)流體儲(chǔ)集在體積為Vs的節(jié)點(diǎn)處，節(jié)點(diǎn)與生產(chǎn)井的徑向距離為 r，節(jié)點(diǎn)密度為 N（r）。N（r）與 Df的關(guān)系［10］為

式中：α為滲流系統(tǒng)滲流節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；rw為井筒半徑，m；Kw為距離生產(chǎn)井 rw處的滲透率，10-3μm2；ds為譜維數(shù)；φw為距生產(chǎn)井rw處的孔隙度；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；μ 為流體黏度，mPa·s。

在雙孔單滲的情況下，裂縫空間壓縮系數(shù)定義為

式中：Cf為裂縫空間壓縮系數(shù)，MPa-1；p為地層壓力，MPa。

在歐式條件下，α與φf(shuō)有關(guān)，用B表示相應(yīng)對(duì)稱性，即：

式中：B為描述對(duì)稱性的幾何常量。

如果整數(shù)維d=2，即考慮平面內(nèi)嵌入分形體，則根據(jù)孔隙度定義可得到：

多孔介質(zhì)孔隙度與其有效上覆壓力呈指數(shù)關(guān)系。設(shè)在r=rw處的孔隙度為φf(shuō)w，壓力敏感性孔隙度φf(shuō)（r）可表示為

式中：pi，pf分別為原始地層壓力、 裂縫壓力，MPa；Kfw為巖心分析得到的地層滲透率，10-3μm2；CK為滲透率模數(shù)，MPa-1。

分形滲透率與分形孔隙度的定義類(lèi)似，與擴(kuò)散半徑也呈冪律關(guān)系。在生產(chǎn)進(jìn)程中，儲(chǔ)層流體壓力的變化會(huì)導(dǎo)致微裂縫的張合，儲(chǔ)層的絕對(duì)滲透率會(huì)發(fā)生改變?？紫抖葧?huì)隨基巖上覆壓力的變化而改變，孔隙度的改變會(huì)使基巖通過(guò)流體的能力產(chǎn)生變化，這就是變形介質(zhì)中滲透率與壓力有關(guān)的原因。參考分形孔隙度定義，加上異常擴(kuò)散系數(shù)就可得到分形滲透率Kf（r）：

2 新模型建立

2.1 模型條件

建立雙重介質(zhì)分形油藏物理模型。建模時(shí)對(duì)雙重介質(zhì)油藏滲流系統(tǒng)進(jìn)行假設(shè)［11-12］：1）裂縫網(wǎng)絡(luò)為分形維數(shù)的分形儲(chǔ)層，該網(wǎng)絡(luò)被嵌入到二維歐式空間巖塊中；2）流體微可壓縮，定產(chǎn)量生產(chǎn)；3）不考慮重力、毛細(xì)管力以及儲(chǔ)層溫度變化；4）流體被驅(qū)替是指基質(zhì)滲流到分形裂縫網(wǎng)絡(luò)，沒(méi)有孔隙系統(tǒng)的對(duì)流，只有裂縫系統(tǒng)中流體直接流向井筒；5）裂縫網(wǎng)絡(luò)在壓力作用下產(chǎn)生微小形變，不影響分形特征，不考慮分形維數(shù)變化；6）考慮表皮效應(yīng)、井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和壓力敏感性。

目前，研究低滲透儲(chǔ)層滲流時(shí)，常用擬啟動(dòng)壓力梯度模型、分段模型、連續(xù)模型以及低速非線性滲流新模型（C模型）進(jìn)行表征。研究表明，C模型處理低滲非線性流更加靈活，擬合程度更高［13］，所以，本文將C模型中的低滲非線性流運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)用到雙重介質(zhì)分形油藏中，可得到：

式中：v為滲流速度，cm/s；c1為流體屈服應(yīng)力與邊界層對(duì)滲流共同影響下的參數(shù)；c2為邊界層對(duì)滲流影響下的參數(shù)；▽p為啟動(dòng)壓力梯度，105Pa/cm。

c1，c2可以通過(guò)函數(shù)非線性擬合得到。當(dāng)c1=0時(shí)，該模型可簡(jiǎn)化為達(dá)西模型，當(dāng)c2=0時(shí)，該模型簡(jiǎn)化為擬啟動(dòng)壓力梯度模型。最小啟動(dòng)壓力梯度▽pmin=c1+c2，大于0。

本文模型是在考慮表皮效應(yīng)、井筒儲(chǔ)集效應(yīng)以及壓敏的基礎(chǔ)上建立的。在考慮表皮效應(yīng)的條件下，引入等效半徑rwe=rwe-S（S為表皮系數(shù)），將井筒外可能受污染或激勵(lì)的儲(chǔ)層考慮為井筒的一部分，則有：

式中：φwe為等效半徑處裂縫孔隙度；Kwe為等效半徑處裂縫滲透率，10-3μm2。

2.2 建立模型

對(duì)基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程、狀態(tài)方程、連續(xù)性方程以及恒定產(chǎn)量和無(wú)限大外邊界條件進(jìn)行組合變換，雙重介質(zhì)分形油藏非線性滲流模型［14-15］為

內(nèi)邊界條件：

外邊界條件：

初始條件：

式中：λ為竄流系數(shù)；δLVD為無(wú)因次中間變量；pm為基質(zhì)壓力，MPa；ω為彈性儲(chǔ)能比；C為井筒儲(chǔ)集系數(shù)，m3/MPa；t為時(shí)間，s；lc為特征長(zhǎng)度，m；h 為油層厚度，m；下標(biāo)D表示無(wú)因次。

2.3 模型求解

將裂縫和基質(zhì)系統(tǒng)分別用有限元表示。運(yùn)用Galerkin法得到裂縫有限元方程：

運(yùn)用格林公式，分步積分可以得到內(nèi)部單元和封閉條件邊界單元有限元方程：

式中：Ni為形函數(shù)的分量（i=1，2，3，…，n）。

則有限元方程矩陣形式可簡(jiǎn)化為

進(jìn)一步簡(jiǎn)化單元平衡方程，得：

其中：

同理，對(duì)于基質(zhì)系統(tǒng)可得到有限元單元平衡方程：

式中：A 為單元域面積，m2；Ke為單元?jiǎng)偠染仃?；Fe為單元載荷向量；上標(biāo)m表示時(shí)刻變量。

以上為雙重介質(zhì)分形油藏非線性滲流試井模型的有限元單元平衡方程。求解時(shí)需要由基質(zhì)場(chǎng)的上一時(shí)刻值求解裂縫場(chǎng)的壓力解，再將該時(shí)刻裂縫場(chǎng)壓力解引入基質(zhì)場(chǎng)求基質(zhì)壓力解。

3 滲流規(guī)律

圖1為不同模型的雙重介質(zhì)油藏壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線的對(duì)比圖（CD=100，S=0，ω=0.02，λ=10-9）。達(dá)西模型中，CKD=0，c1D=c2D=0，θ=0，Df=2.0；非線性流模型中，c1D=c2D=0.5，其他條件與達(dá)西模型一樣；分形非線性流模型中，CKD=0，c1D=c2D=0.5，θ=0.3，Df=1.9。在考慮壓敏的條件下，可以根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整CKD的大小。

圖1 不同模型試井曲線對(duì)比

由圖1可以看出，任何模型的試井曲線均存在4個(gè)特征流動(dòng)階段，即井筒儲(chǔ)集段I、裂縫系統(tǒng)徑向流段Ⅱ、基質(zhì)向裂縫的竄流段Ⅲ以及系統(tǒng)總徑向流段Ⅳ?；|(zhì)向裂縫的非線性流影響，表現(xiàn)為壓力導(dǎo)數(shù)曲線下凹段右移，且下凹程度變淺，該現(xiàn)象為非線性流典型特征。分形非線性流表現(xiàn)為壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線均整體上移，曲線末端發(fā)生上翹。在裂縫性低滲透儲(chǔ)層中，壓力敏感性與分形對(duì)試井曲線產(chǎn)生類(lèi)似的影響，但分形對(duì)多個(gè)流動(dòng)階段均有影響，而壓力敏感性通常只對(duì)曲線末端產(chǎn)生影響。

4 敏感性分析

圖2為不同c1D，c2D時(shí)試井曲線的變化情況。

圖2 非線性參數(shù)對(duì)試井曲線的影響

由圖2可以看出，從基質(zhì)向裂縫系統(tǒng)的非線性滲流主要影響竄流段壓力導(dǎo)數(shù)曲線波動(dòng)段下凹深度及位置。竄流的非線性越強(qiáng)，竄流強(qiáng)度就越弱，壓力導(dǎo)數(shù)曲線波動(dòng)段右移且下凹程度減弱。

CKD對(duì)壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線的影響如圖3所示。隨著CKD的增加，壓力敏感性逐漸增強(qiáng)，曲線整體上移幅度變大，但CKD不影響竄流出現(xiàn)的時(shí)間與強(qiáng)度。當(dāng)CKD＞0.05時(shí)，中后期壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹加劇。

圖3 滲透率模數(shù)對(duì)試井曲線的影響

Df對(duì)試井曲線的影響如圖4所示。Df為描述整個(gè)分形油藏內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的幾何標(biāo)量。其對(duì)壓力曲線的影響表現(xiàn)為：Df越小，無(wú)因次壓力變化越快，且無(wú)因次壓力曲線發(fā)生上翹的幅度越大，上翹出現(xiàn)的時(shí)間提前。

圖4 分形維數(shù)對(duì)試井曲線的影響

θ對(duì)試井曲線的影響如圖5所示。θ越大，裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性與孔隙結(jié)構(gòu)越差，滲流阻力越大。初期θ影響較小，但隨著時(shí)間增加，θ的影響越來(lái)越大，導(dǎo)致壓力導(dǎo)數(shù)曲線上移幅度增大。分形特征使壓力波在儲(chǔ)層中逐漸傳播并形成動(dòng)態(tài)邊界，導(dǎo)致總徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹幅度增大，體現(xiàn)了分形油藏的典型特征。

圖5 異常擴(kuò)散系數(shù)對(duì)試井曲線的影響

5 結(jié)論

1）達(dá)西模型、非線性模型以及本文分形非線性模型的試井曲線均存在4個(gè)流動(dòng)特征階段，即井筒儲(chǔ)集段、裂縫系統(tǒng)徑向流段、基巖向裂縫的竄流段以及總系統(tǒng)徑向流段。

2）非線性參數(shù)越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線下凹段右移，且下凹程度變小，即竄流強(qiáng)度減弱。θ越大，裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性越差，且滲流阻力越大，初期階段影響較小，但壓力導(dǎo)數(shù)曲線上移幅度隨著時(shí)間的增大而增大；Df越小，壓力變化越快且曲線上翹幅度越大，同時(shí)上翹出現(xiàn)的時(shí)間也提前。