姜瑞忠,張春光,崔永正,張偉,張福蕾,沈澤陽
(中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院,山東 青島 266580)
在儲層開采進(jìn)程中,地層壓力下降使得滲透率與孔隙度發(fā)生改變,儲層流動原理也隨之改變。鑒于雙重介質(zhì)油藏的非均質(zhì)性和復(fù)雜性,國內(nèi)外許多專家用流固耦合的滲流理論對其進(jìn)行研究,但流固耦合方法復(fù)雜且求解困難??紤]介質(zhì)隨壓力的變化建立模型并求得解析解,是另外一種研究方法,但流體在孔隙內(nèi)的非線性滲流規(guī)律被忽略。眾多的局限性導(dǎo)致雙重介質(zhì)分形油藏開始被廣泛研究。J.Chang等[1]首先提出分形油藏中的試井方法;S.Aprilian等[2]采用干擾試井的解釋方法,擬合得到地層的儲存系數(shù)以及傳導(dǎo)率,從而推廣了J.Chang所提出的模型;J.Acuna等[3]將分形油藏的試井模型應(yīng)用到地?zé)岬V的2口井,即將分形油藏原理投入了實(shí)際應(yīng)用并得到了礦藏分維;葛家理等[4]用分形維數(shù)Df和分形指數(shù)來描述自然裂縫的復(fù)雜程度與連通狀況,建立了分形油藏低速非達(dá)西滲流模型,最后求得實(shí)空間的精確解;李其深等[5]以儲層的均質(zhì)性為基礎(chǔ)建立了分形油藏的雙滲模型;李順初等[6-8]研究了封閉邊界且考慮井筒儲集系數(shù)和表皮效應(yīng)影響下,存在變流率問題的井底壓力拉氏空間解。
本文在前人研究的基礎(chǔ)上,建立了考慮壓敏的雙重介質(zhì)分形油藏非線性滲流模型;基于有限元方法對模型進(jìn)行求解,并根據(jù)井底壓力解繪制滲流特征曲線;對比各模型滲流規(guī)律,對參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。研究成果對試井分析、油氣藏開發(fā)動態(tài)預(yù)測具有實(shí)際意義[9]。
經(jīng)典的滲流理論基于歐式空間并具有一定特征尺度,儲層滲透率K是與特征長度有關(guān)的值,所以,達(dá)西定律在宏觀尺度上不能直接應(yīng)用于分形油藏。如果儲層體系在統(tǒng)計意義下具有分形特性,即不再具有特征長度時,經(jīng)典滲流力學(xué)就不能很好地表征實(shí)際儲層的非均質(zhì)性。與經(jīng)典的滲流理論類似,分形網(wǎng)絡(luò)中的滲透率一定反映分形結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì),所以,滲透率與分形維數(shù)以及異常擴(kuò)散系數(shù)θ必然有關(guān)。綜上所述,將分形參數(shù)應(yīng)用到具有分形特性的油藏體系中,可以更精確地描述實(shí)際油藏的復(fù)雜多變性。
首先對具有分形特性的裂縫孔隙度φf和裂縫滲透率Kf進(jìn)行分析。設(shè)每個節(jié)點(diǎn)體積相同,分形體內(nèi)流體儲集在體積為Vs的節(jié)點(diǎn)處,節(jié)點(diǎn)與生產(chǎn)井的徑向距離為 r,節(jié)點(diǎn)密度為 N(r)。N(r)與 Df的關(guān)系[10]為
式中:α為滲流系統(tǒng)滲流節(jié)點(diǎn)的數(shù)量;rw為井筒半徑,m;Kw為距離生產(chǎn)井 rw處的滲透率,10-3μm2;ds為譜維數(shù);φw為距生產(chǎn)井rw處的孔隙度;Ct為綜合壓縮系數(shù),MPa-1;μ 為流體黏度,mPa·s。
在雙孔單滲的情況下,裂縫空間壓縮系數(shù)定義為
式中:Cf為裂縫空間壓縮系數(shù),MPa-1;p為地層壓力,MPa。
在歐式條件下,α與φf有關(guān),用B表示相應(yīng)對稱性,即:
式中:B為描述對稱性的幾何常量。
如果整數(shù)維d=2,即考慮平面內(nèi)嵌入分形體,則根據(jù)孔隙度定義可得到:
多孔介質(zhì)孔隙度與其有效上覆壓力呈指數(shù)關(guān)系。設(shè)在r=rw處的孔隙度為φfw,壓力敏感性孔隙度φf(r)可表示為
式中:pi,pf分別為原始地層壓力、 裂縫壓力,MPa;Kfw為巖心分析得到的地層滲透率,10-3μm2;CK為滲透率模數(shù),MPa-1。
分形滲透率與分形孔隙度的定義類似,與擴(kuò)散半徑也呈冪律關(guān)系。在生產(chǎn)進(jìn)程中,儲層流體壓力的變化會導(dǎo)致微裂縫的張合,儲層的絕對滲透率會發(fā)生改變??紫抖葧S基巖上覆壓力的變化而改變,孔隙度的改變會使基巖通過流體的能力產(chǎn)生變化,這就是變形介質(zhì)中滲透率與壓力有關(guān)的原因。參考分形孔隙度定義,加上異常擴(kuò)散系數(shù)就可得到分形滲透率Kf(r):
建立雙重介質(zhì)分形油藏物理模型。建模時對雙重介質(zhì)油藏滲流系統(tǒng)進(jìn)行假設(shè)[11-12]:1)裂縫網(wǎng)絡(luò)為分形維數(shù)的分形儲層,該網(wǎng)絡(luò)被嵌入到二維歐式空間巖塊中;2)流體微可壓縮,定產(chǎn)量生產(chǎn);3)不考慮重力、毛細(xì)管力以及儲層溫度變化;4)流體被驅(qū)替是指基質(zhì)滲流到分形裂縫網(wǎng)絡(luò),沒有孔隙系統(tǒng)的對流,只有裂縫系統(tǒng)中流體直接流向井筒;5)裂縫網(wǎng)絡(luò)在壓力作用下產(chǎn)生微小形變,不影響分形特征,不考慮分形維數(shù)變化;6)考慮表皮效應(yīng)、井筒儲集效應(yīng)和壓力敏感性。
目前,研究低滲透儲層滲流時,常用擬啟動壓力梯度模型、分段模型、連續(xù)模型以及低速非線性滲流新模型(C模型)進(jìn)行表征。研究表明,C模型處理低滲非線性流更加靈活,擬合程度更高[13],所以,本文將C模型中的低滲非線性流運(yùn)動方程運(yùn)用到雙重介質(zhì)分形油藏中,可得到:
式中:v為滲流速度,cm/s;c1為流體屈服應(yīng)力與邊界層對滲流共同影響下的參數(shù);c2為邊界層對滲流影響下的參數(shù);▽p為啟動壓力梯度,105Pa/cm。
c1,c2可以通過函數(shù)非線性擬合得到。當(dāng)c1=0時,該模型可簡化為達(dá)西模型,當(dāng)c2=0時,該模型簡化為擬啟動壓力梯度模型。最小啟動壓力梯度▽pmin=c1+c2,大于0。
本文模型是在考慮表皮效應(yīng)、井筒儲集效應(yīng)以及壓敏的基礎(chǔ)上建立的。在考慮表皮效應(yīng)的條件下,引入等效半徑rwe=rwe-S(S為表皮系數(shù)),將井筒外可能受污染或激勵的儲層考慮為井筒的一部分,則有:
式中:φwe為等效半徑處裂縫孔隙度;Kwe為等效半徑處裂縫滲透率,10-3μm2。
對基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)的運(yùn)動方程、狀態(tài)方程、連續(xù)性方程以及恒定產(chǎn)量和無限大外邊界條件進(jìn)行組合變換,雙重介質(zhì)分形油藏非線性滲流模型[14-15]為
內(nèi)邊界條件:
外邊界條件:
初始條件:
式中:λ為竄流系數(shù);δLVD為無因次中間變量;pm為基質(zhì)壓力,MPa;ω為彈性儲能比;C為井筒儲集系數(shù),m3/MPa;t為時間,s;lc為特征長度,m;h 為油層厚度,m;下標(biāo)D表示無因次。
將裂縫和基質(zhì)系統(tǒng)分別用有限元表示。運(yùn)用Galerkin法得到裂縫有限元方程:
運(yùn)用格林公式,分步積分可以得到內(nèi)部單元和封閉條件邊界單元有限元方程:
式中:Ni為形函數(shù)的分量(i=1,2,3,…,n)。
則有限元方程矩陣形式可簡化為
進(jìn)一步簡化單元平衡方程,得:
其中:
同理,對于基質(zhì)系統(tǒng)可得到有限元單元平衡方程:
式中:A 為單元域面積,m2;Ke為單元剛度矩陣;Fe為單元載荷向量;上標(biāo)m表示時刻變量。
以上為雙重介質(zhì)分形油藏非線性滲流試井模型的有限元單元平衡方程。求解時需要由基質(zhì)場的上一時刻值求解裂縫場的壓力解,再將該時刻裂縫場壓力解引入基質(zhì)場求基質(zhì)壓力解。
圖1為不同模型的雙重介質(zhì)油藏壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線的對比圖(CD=100,S=0,ω=0.02,λ=10-9)。達(dá)西模型中,CKD=0,c1D=c2D=0,θ=0,Df=2.0;非線性流模型中,c1D=c2D=0.5,其他條件與達(dá)西模型一樣;分形非線性流模型中,CKD=0,c1D=c2D=0.5,θ=0.3,Df=1.9。在考慮壓敏的條件下,可以根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整CKD的大小。
圖1 不同模型試井曲線對比
由圖1可以看出,任何模型的試井曲線均存在4個特征流動階段,即井筒儲集段I、裂縫系統(tǒng)徑向流段Ⅱ、基質(zhì)向裂縫的竄流段Ⅲ以及系統(tǒng)總徑向流段Ⅳ?;|(zhì)向裂縫的非線性流影響,表現(xiàn)為壓力導(dǎo)數(shù)曲線下凹段右移,且下凹程度變淺,該現(xiàn)象為非線性流典型特征。分形非線性流表現(xiàn)為壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線均整體上移,曲線末端發(fā)生上翹。在裂縫性低滲透儲層中,壓力敏感性與分形對試井曲線產(chǎn)生類似的影響,但分形對多個流動階段均有影響,而壓力敏感性通常只對曲線末端產(chǎn)生影響。
圖2為不同c1D,c2D時試井曲線的變化情況。
圖2 非線性參數(shù)對試井曲線的影響
由圖2可以看出,從基質(zhì)向裂縫系統(tǒng)的非線性滲流主要影響竄流段壓力導(dǎo)數(shù)曲線波動段下凹深度及位置。竄流的非線性越強(qiáng),竄流強(qiáng)度就越弱,壓力導(dǎo)數(shù)曲線波動段右移且下凹程度減弱。
CKD對壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線的影響如圖3所示。隨著CKD的增加,壓力敏感性逐漸增強(qiáng),曲線整體上移幅度變大,但CKD不影響竄流出現(xiàn)的時間與強(qiáng)度。當(dāng)CKD>0.05時,中后期壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹加劇。
圖3 滲透率模數(shù)對試井曲線的影響
Df對試井曲線的影響如圖4所示。Df為描述整個分形油藏內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的幾何標(biāo)量。其對壓力曲線的影響表現(xiàn)為:Df越小,無因次壓力變化越快,且無因次壓力曲線發(fā)生上翹的幅度越大,上翹出現(xiàn)的時間提前。
圖4 分形維數(shù)對試井曲線的影響
θ對試井曲線的影響如圖5所示。θ越大,裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性與孔隙結(jié)構(gòu)越差,滲流阻力越大。初期θ影響較小,但隨著時間增加,θ的影響越來越大,導(dǎo)致壓力導(dǎo)數(shù)曲線上移幅度增大。分形特征使壓力波在儲層中逐漸傳播并形成動態(tài)邊界,導(dǎo)致總徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹幅度增大,體現(xiàn)了分形油藏的典型特征。
圖5 異常擴(kuò)散系數(shù)對試井曲線的影響
1)達(dá)西模型、非線性模型以及本文分形非線性模型的試井曲線均存在4個流動特征階段,即井筒儲集段、裂縫系統(tǒng)徑向流段、基巖向裂縫的竄流段以及總系統(tǒng)徑向流段。
2)非線性參數(shù)越大,壓力導(dǎo)數(shù)曲線下凹段右移,且下凹程度變小,即竄流強(qiáng)度減弱。θ越大,裂縫網(wǎng)絡(luò)連通性越差,且滲流阻力越大,初期階段影響較小,但壓力導(dǎo)數(shù)曲線上移幅度隨著時間的增大而增大;Df越小,壓力變化越快且曲線上翹幅度越大,同時上翹出現(xiàn)的時間也提前。