劉廣斗，張紅梅，明五一

（1.中國石油大學(xué)（華東）機(jī)電工程學(xué)院，山東青島 266580；2.廣東華中科技大學(xué)工業(yè)技術(shù)研究院廣東省制造裝備數(shù)字化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東東莞 523808）

0 引言

在許多工業(yè)設(shè)備中，例如拾取和放置裝置、光刻機(jī)以及檢測系統(tǒng)等，都在平面上定位和運(yùn)動(dòng)。磁浮平面電機(jī)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)簡單，高速以其高精度受到越來越多的關(guān)注[1-4]。在磁浮平面電機(jī)中使用的是Halbach磁鋼陣列[5-6]，如圖1所示。此陣列由于磁鋼排布的關(guān)系具有單邊性，能夠使一側(cè)的磁場增強(qiáng)，且強(qiáng)磁場具有良好的正弦分布，可以降低電磁力的波動(dòng)。同時(shí)，磁浮平面電機(jī)中無鐵芯和背鐵，降低電機(jī)總體質(zhì)量，這在高加速裝置中是很好的優(yōu)點(diǎn)。

圖1 磁浮平面電機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The structure diagram of magnetically levitated planar motor

Halbach陣列是由Klaus Halbach首先提出，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用在直線、管狀、平面等各種磁浮電機(jī)中。經(jīng)過長時(shí)間的應(yīng)用和發(fā)展，不僅僅是矩形磁鋼，還有一些三角形、梯形等磁鋼也開始在Halbach陣列中使用。文獻(xiàn)[7]的雙邊非Halbach陣列直線電機(jī)中，使用梯形磁鋼替換矩形磁鋼，并應(yīng)用疊加原理得到近似磁場。文獻(xiàn)[8]的雙邊直線電機(jī)中，用梯形磁鋼組成Halbach陣列，磁場由所有單個(gè)磁鋼的磁場疊加而得到。文獻(xiàn)[9]在管狀電機(jī)中使用梯形陣列，用疊加原理得到并分析磁感應(yīng)強(qiáng)度，但管狀電機(jī)陣列與平面電機(jī)Halbach陣列的邊界條件不同。本文作者推導(dǎo)梯形磁鋼組成陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度解析表達(dá)式，通過分析Halbach陣列磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值和高階諧波誤差得到最優(yōu)的y向磁化磁鋼邊長與極距比值，并分析梯形磁鋼對陣列空隙磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響。

1 梯形磁鋼陣列建模

1.1 梯形磁鋼陣列

在磁浮平面電機(jī)中，用梯形磁鋼替換矩形磁鋼得到梯形磁鋼陣列[10]，如圖2所示。梯形磁鋼也可以通過改變轉(zhuǎn)角θ由矩形磁鋼得到。其中，箭頭表示磁場方向是由S極指向N極。τ是磁鋼陣列的極距，τm是y向磁化磁鋼底邊的長度，h是磁鋼陣列的高度。

圖2 梯形磁鋼陣列Fig.2 The trapezoidal magnets array

計(jì)算梯形磁鋼陣列磁感應(yīng)強(qiáng)度用到如下假設(shè)：

（1）磁鋼陣列在x方向無限延伸，因此磁鋼陣列的端部效應(yīng)可以忽略；

（2）磁鋼均勻磁化。

根據(jù)上述假設(shè)，把磁鋼陣列劃分n等份，如圖3所示。應(yīng)用疊加原理，整個(gè)梯形磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由n層矩形磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度相加得到。選取其中一層，即第i層進(jìn)行分析，計(jì)算第i層磁鋼陣列的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖3 梯形磁鋼陣列n層劃分Fig.3 The n layers division of trapezoidal magnets array

由圖3可知每層磁鋼陣列的極距都相同。圖4是梯形磁鋼陣列的第i層y向磁化梯形磁鋼，根據(jù)梯形磁鋼的尺寸參數(shù)，第i層磁鋼陣列的參數(shù)如下

式中：hi和hi+1分別是第i層磁鋼陣列的底邊和頂邊高度，τmi是第i層y向磁化磁鋼底邊的長度。

圖4 磁鋼陣列的第i層y向磁化梯形磁鋼Fig.4 The y-direction magnetized trapezoidal magnet in the i layer of magnets array

1.2 第i層磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度

磁鋼陣列中只有x和y方向磁化的磁鋼，所以磁鋼陣列為二維磁場分布[11]。第i層磁鋼陣列的磁化強(qiáng)度可以表示為：

圖5為第i層Halbach磁鋼陣列的x和y向磁化強(qiáng)度分布。由前面假設(shè)不考慮磁鋼陣列的端部效應(yīng)，使用傅里葉級數(shù)得到第i層Halbach磁鋼陣列的磁化強(qiáng)度表達(dá)式

式中：k是諧波數(shù)，Br是磁鋼剩余磁化強(qiáng)度，μ0是真空磁導(dǎo)率。

圖5 第i層Halbach磁鋼陣列Fig.5 The i layer of the Halbach magnets array

計(jì)算第i層Halbach磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度，可以劃分3個(gè)區(qū)域，如圖6所示。區(qū)域1和3為空氣，區(qū)域2為磁鋼陣列。因?yàn)闆]有外加電流，所以引入磁標(biāo)勢計(jì)算磁鋼陣列磁感應(yīng)強(qiáng)度。由麥克斯韋方程組，各個(gè)區(qū)域的控制方程如下：

式中：Ψ1，3是區(qū)域1和3的磁標(biāo)勢，Ψ2是區(qū)域2的磁標(biāo)勢，μr是磁鋼相對磁導(dǎo)率。

圖6 磁感應(yīng)強(qiáng)度區(qū)域劃分Fig.6 The division of magnetic flux density

根據(jù)磁場中不同磁介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系，得到如下邊界條件：

式中：H1xi、H2xi、H3xi分別是區(qū)域1、2、3磁場強(qiáng)度的x向分量，B1xi、B2xi、B3xi分別是區(qū)域1、2、3磁感應(yīng)強(qiáng)度的y向分量。

使用分離變量法并結(jié)合邊界條件求解控制方程（9）和（10）。設(shè)定要使用的磁場區(qū)域?yàn)閰^(qū)域3。在區(qū)域3中，磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁標(biāo)勢的關(guān)系式如下：

得到區(qū)域3磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式：

1.3 梯形磁鋼陣列磁感應(yīng)強(qiáng)度

根據(jù)圖6磁感應(yīng)強(qiáng)度區(qū)域的劃分可知，每一層Hal?bach磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度區(qū)域分布情況相同，不同之處在于磁鋼陣列底邊和頂邊坐標(biāo)的變化。所以，由疊加原理得到梯形磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

其中，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，得到磁感應(yīng)強(qiáng)度精確的解析表達(dá)式。從工程角度分析，解析模型只需要滿足一定精度即可，所以通過對比解析模型和有限元模型來確定n的取值。

設(shè)定梯形磁鋼陣列的參數(shù)為Br=1.2，n=5，τ=20 mm，h=10 mm，τm=5 mm。把解析模型得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度與有限元模型得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度對比，結(jié)果如圖7所示。觀察圖形可知，解析模型和有限元模型具有很好的一致性。Bx和By的最大誤差分別為0.007 T和0.006 T，占各自峰值的1.77%和1.27%，精度足可以滿足工程計(jì)算。

圖7 解析模型和有限元模型磁感應(yīng)強(qiáng)度對比Fig.7 The division of magnetic flux density

2 Halbach陣列參數(shù)分析

以Halbach矩形磁鋼陣列為例，參數(shù)選擇一般遵循磁感應(yīng)強(qiáng)度最大或者高階諧波最小的原則。通常陣列的極距和高度都為初始設(shè)計(jì)值，那么y向磁化磁鋼的邊長τm成為影響磁鋼陣列磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。在磁浮平面電機(jī)中，Halbach矩形磁鋼陣列的Bx和By分別產(chǎn)生懸浮力和驅(qū)動(dòng)力，其中驅(qū)動(dòng)力大小是平面電機(jī)的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)。因此，對By進(jìn)行分析選擇合適的磁鋼陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)，Halbach矩形磁鋼陣列的高度和極距和1.3節(jié)的相同。

2.1 諧波磁感應(yīng)強(qiáng)度

以y向磁化磁鋼的邊長τm與極距τ的比值為參數(shù)，得到By在距離磁鋼陣列底邊3 mm空隙處各個(gè)諧波的峰值，如圖8所示。各個(gè)諧波的峰值以τm/τ=0.5為中心對稱分布，其中3階諧波有最大的高階諧波幅值，當(dāng)τm/τ=0.5，此時(shí)基波的峰值最大。

2.2 高階諧波誤差

為了更直觀的表示高階諧波與τm/τ的關(guān)系，引入均方根（RMS）表示高階諧波的誤差。均方根的表達(dá)式為：

圖8 By各個(gè)諧波的峰值Fig.8 The peak value of each harmonic in y-component of magnetic flux density

式中：m是x軸所選區(qū)域劃分的點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度的周期性，選取分析范圍x=[0，τ]，劃分100等份，距離磁鋼陣列底邊3 mm。得到高階諧波的均方根隨著比值τm/τ變化的波形，如圖9所示。觀察波形可知，高階諧波的均方根以τm/τ=0.5為中心對稱分布。當(dāng)τm/τ=0.5，得到高階諧波的均方根最小值，即高階諧波誤差最小。

圖9 高階諧波的均方根（RMS）Fig.9 The root mean square of higher harmonics

從上述兩個(gè)方面分析，τm/τ=0.5既能得到最大的基波峰值，又能得到最小的高階諧波誤差。所以，Halbach矩形磁鋼陣列的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為τm/τ=0.5。

3 梯形磁鋼對磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響

分析改變磁鋼形狀對空隙磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響，Hal?bach磁鋼陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)和1.3節(jié)的相同。以轉(zhuǎn)角θ為參數(shù)，變化范圍與高度和極距有關(guān)，在此結(jié)構(gòu)參數(shù)下為從45°到135°。得到距離磁鋼陣列底邊3 mm空隙處By峰值和高階諧波誤差隨著轉(zhuǎn)角θ變化的波形，如圖10所示。觀察圖形，可知在50°之后，磁感應(yīng)強(qiáng)度的峰值隨著轉(zhuǎn)角的增大而減小。高階諧波的誤差則是以90°為中心對稱分布，而且在90°處高階諧波誤差最小。隨著轉(zhuǎn)角的變化，磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值變化范圍是從0.428 T到0.574 T，變化率達(dá)到34.11%。所以，用梯形磁鋼可以大范圍改變磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度，但同時(shí)也引起高階諧波誤差的增大。

圖10 磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值和高階諧波誤差隨轉(zhuǎn)角θ變化的波形Fig.10 The waveform of peak value of magnetic flux density and root mean square of higher harmonics varying with the theta

4 結(jié)論

（1）應(yīng)用梯形磁鋼到磁浮平面電機(jī)Halbach磁鋼陣列，得到梯形磁鋼陣列。利用疊加原理，通過磁標(biāo)勢和邊界條件得到整個(gè)梯形磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度解析表達(dá)式。并通過有限元模型驗(yàn)證。

（2）分別從磁感應(yīng)強(qiáng)度最大和高階諧波最小兩方面分析Halbach矩形磁鋼陣列，得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

（3）分析隨轉(zhuǎn)角變化的磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值和高階諧波誤差，梯形磁鋼可以大范圍改變磁鋼陣列的磁感應(yīng)強(qiáng)度。