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        基于動力學(xué)的擬人肩關(guān)節(jié)動載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化研究*

        2018-10-09 07:05:50李研彪羅怡沁徐夢茹
        機電工程 2018年9期
        關(guān)鍵詞:性能指標肩關(guān)節(jié)力矩

        王 林,李研彪*,孫 鵬,羅怡沁,徐夢茹,鄭 航

        (1.浙江工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,浙江 杭州 310032;2.浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進加工技術(shù)教育部重點實驗室,浙江 杭州 310032)

        0 引 言

        并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強、運動慣性小等優(yōu)點,故廣泛應(yīng)用于各種擬人關(guān)節(jié)[1-6]。由于并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)方程是非線性多輸入多輸出系統(tǒng),存在多種分配組合來實現(xiàn)運動[7-10]。在穩(wěn)定外載荷作用下,合理地優(yōu)化分配各驅(qū)動可以有效降低能耗、減少驅(qū)動力。

        目前,主要從驅(qū)動力矩最優(yōu)和能耗最優(yōu)兩個角度來進行動載協(xié)調(diào)分配,通過構(gòu)建力矩分配模型和能量分配模型來實現(xiàn)優(yōu)化[11-15]。其中,分配方式有加權(quán)最小二乘法、規(guī)劃載荷分配系數(shù)等。但上述優(yōu)化方法均屬于單目標優(yōu)化,只考慮驅(qū)動力矩或者能耗,且均從瞬時狀態(tài)考慮,未衡量機構(gòu)的整個運動過程。因此,優(yōu)化結(jié)果可能存在驅(qū)動力矩、速度等方面的波動或突變,這種波動、突變現(xiàn)象不利于機構(gòu)的穩(wěn)定運行。同時,只考慮力矩和能耗最小,也可能出現(xiàn)機構(gòu)的運動時間較長,不利于提高機構(gòu)的運動效率。

        針對上述動載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化的不足,本文將考慮機構(gòu)性能、時間、能耗和力矩波動4個因素,提出一種動載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化方法,并基于動力學(xué)模型,定義綜合性能指標,采用Dijkstra算法優(yōu)化求解性能最優(yōu)軌跡,最后用遺傳算法求解得到最優(yōu)廣義時間。

        1 肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的運動學(xué)分析

        本文研究的肩關(guān)節(jié)機構(gòu)以球面5R并聯(lián)機構(gòu)為原型,肩關(guān)節(jié)的模型圖如圖1所示。

        圖1 肩關(guān)節(jié)的模型圖

        該機構(gòu)由定平臺、動平臺和連接兩者的二條支鏈組成。運動副均為回轉(zhuǎn)副,且各軸線匯交于O點。其中,軸線OB1與軸線OC1、軸線OA2與軸線OC2、軸線OC1與軸線OC2相互垂直。

        肩關(guān)節(jié)的機構(gòu)簡圖如圖2所示。

        圖2 肩關(guān)節(jié)的機構(gòu)簡圖α1—平面A1OZ和平面A2OZ所在平面的夾角,α1=90°;α2—Z軸與軸線OA1的夾角,α2=60°;α3—軸線OA1與軸線OB1的夾角,α3=70°;d1—回轉(zhuǎn)副C1、C2與機構(gòu)中心O點的距離,d1=70 mm;d2—回轉(zhuǎn)副B1與機構(gòu)中心O點的距離,d2=90 mm;d2—回轉(zhuǎn)副A1、A2與機構(gòu)中心O點的距離,d2=185 mm

        本研究建立定坐標系{O-XYZ}原點與機構(gòu)中心O重合,Z軸沿OC1軸線方向,Y軸沿OA2軸線方向,X軸滿足右手螺旋定則。建立動坐標系{O-X1Y1Z1}原點與機構(gòu)中心O重合,Z1軸沿OC1軸線方向,X1軸沿OC2軸線方向,Y1軸滿足右手螺旋定則。當定坐標系和動坐標系重合時,該機構(gòu)處于初始位姿。

        本研究采用Z-Y-X型的歐拉角描述動平臺的姿態(tài),動平臺繞Z1軸旋轉(zhuǎn)角度為α,繞Y1軸旋轉(zhuǎn)角度為β,繞X1軸旋轉(zhuǎn)角度為γ,其中α=0 rad。關(guān)節(jié)驅(qū)動器1輸入角度為θ1,關(guān)節(jié)驅(qū)動器2輸入角度為θ2。

        本研究根據(jù)肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的幾何關(guān)系,建立矢量約束方程,化簡可得位置反解:

        (1)

        式中:

        其中,cαi=cosai,sai=sinai,(i=1,2,3)。

        將式(1)兩邊對于時間t求導(dǎo),速度反解可得:

        (2)

        2 肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動力學(xué)分析

        為了便于建立動力學(xué)模型,本研究將肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的各連桿和動平臺均視為剛體,同時忽略各運動副之間的摩擦力和軸類零件的回轉(zhuǎn)運動??紤]慣性力、外力作用,建立肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動力學(xué)模型。

        2.1 慣性力分析

        本研究采用拉格朗日方程計算肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的慣性力,將系統(tǒng)慣性力轉(zhuǎn)換到廣義歐拉坐標q=[γβ]T上。其計算過程如下:

        肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動能E包括E1和E2(其中:E1—平臺的動能;E2—各連桿的動能)。

        (3)

        Ip表示過質(zhì)心坐標系的轉(zhuǎn)動慣量矩陣,即:

        Ip=RIHRT

        (4)

        式中:R—動平臺歐拉角所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣。

        綜合式(3,4),可得動能E1:

        (5)

        動能E2的求解如下:

        (6)

        式中:I1—連桿A1B1的轉(zhuǎn)動慣量;I2—連桿A2C2的轉(zhuǎn)動慣量;I3—連桿B1C1的轉(zhuǎn)動慣量。

        則肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動能為:

        (7)

        設(shè)定坐標系中OXY面為重力零勢能面,由于動平臺的質(zhì)心與機構(gòu)中心O點重合,且動平臺始終繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn),動平臺勢能變化為零。則機構(gòu)的總勢能V為:

        (8)

        式中:zi—各連桿質(zhì)心坐標的Z軸值;mi—各連桿的質(zhì)量。

        建立拉格朗日方程可得:

        (9)

        式中:L=E-V,F(xiàn)I—慣性力。

        將式(7,8)代入上式,化簡可得:

        (10)

        2.2 外力分析

        設(shè)作用在動平臺上的外力為F,均可簡化為過旋轉(zhuǎn)中心O點的力矩Ms:

        Ms=F×r

        (11)

        式中:r—外力F作用點到旋轉(zhuǎn)中心O點的矢量。

        2.3 動力學(xué)模型建立

        綜合式(10,11),根據(jù)虛功原理,將慣性力FI和外力Ms映射到相應(yīng)關(guān)節(jié)上的驅(qū)動力矩:

        (12)

        式中:JT—力雅克比矩陣。

        根據(jù)式(12)建立的動力學(xué)模型可知,肩關(guān)節(jié)機構(gòu)驅(qū)動力與慣性力和外力兩者有關(guān)。其中,慣性力大小受速度、加速度和姿態(tài)影響,而外力僅與姿態(tài)有關(guān)。

        2.4 動力學(xué)仿真驗證

        給出肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

        表1 肩關(guān)節(jié)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

        外力F=[1 1]N·m,并給出一組動平臺的運動方程:

        (13)

        基于上述動力學(xué)模型,將肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動方程代入式(12)中,并利用Matlab軟件計算得到肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。

        為了驗證動力學(xué)模型的正確性,本研究利用ADAMS動力學(xué)仿真軟件對肩關(guān)節(jié)機構(gòu)進行動力學(xué)仿真,且添加各類約束條件和外力,使得仿真與理論計算的環(huán)境保持一致。筆者將仿真得到的驅(qū)動力矩與理論計算值進行比較,如圖3所示。

        圖3 關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩理論值與仿真值

        通過對比可得:驅(qū)動力矩的理論值與仿真值兩者基本相等,故驗證了動力學(xué)模型的正確性。

        3 肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的性能分析

        3.1 動力學(xué)性能評價指標

        肩關(guān)節(jié)機構(gòu)不同的運動狀態(tài)會影響驅(qū)動力的大小,其中,速度、加速度會直接影響機構(gòu)慣性力的大小。而肩關(guān)節(jié)機構(gòu)一般作低速運動,速度較小,故忽略速度對慣性力的影響,只考慮加速度對慣性力的影響,因此式(10)可簡化為:

        (14)

        (15)

        將式(15)求導(dǎo),化簡可得:

        (16)

        式中:λ—矩陣DTD的特征值。

        由式(16)可知:在工作空間W內(nèi),λ隨機構(gòu)姿態(tài)變化而變化,且λ值越小表明由加速度引起的慣性力越小,因此將km作為動力學(xué)傳遞性能評價指標:

        (17)

        km數(shù)值越大,表示肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動力學(xué)傳遞性能越好,則km在工作空間W的全域值為:

        (18)

        且肩關(guān)節(jié)機構(gòu)存在多個輸入力矩,其差值越大則動力學(xué)傳遞性能越差,因此將kmc作為動力學(xué)傳遞均衡性能評價指標:

        (19)

        kmc數(shù)值越接近于1,表示肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的輸入力矩偏差越小,其動力學(xué)傳遞均衡性能越好,則kmc在工作空間W的全域值為:

        (20)

        3.2 力映射性能評價指標

        由動力學(xué)模型可知,慣性力和外力通過虛功原理,將其映射為關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。其中,力雅克比矩陣JT代表該映射關(guān)系,其值受機構(gòu)姿態(tài)影響,即:

        τ=JTτF

        (21)

        由于在工作空間W內(nèi),rank(J)=2,力雅克比矩陣JT可以奇異值分解,存在正交陣U∈R2×2和V∈R2×2,使:

        JT=UΛV

        (22)

        設(shè)歐拉坐標系上的廣義力τF為單位向量可得:

        τTU(ΛΛT)-1UTτ=1

        (23)

        當廣義力τF為單位矩陣時,關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩分布在橢圓上;σi值越大,表明廣義力轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的效率越高,因此將kJ作為力傳遞性能評價指標[17-20]:

        kJ=σ2

        (24)

        kJ數(shù)值越大,表示肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的力傳遞性能越好。則kJ在工作空間W的全域值為:

        (25)

        當σ1=σ2時,關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩分布在圓上,關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩之間的差值最小,因此將kJc作為力傳遞均衡性能評價指標:

        (26)

        kJc數(shù)值越接近于1,表示肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的力傳遞均衡性能越好,關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩之間的偏差越小。則kJc在工作空間W的全域值為:

        (27)

        4 肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化

        在穩(wěn)定外載荷作用下,要求肩關(guān)節(jié)機構(gòu)從起點運動到終點,但由于其運動軌跡和運動狀況的不確定性,存在多組運動方式。本文先依據(jù)性能指標得到性能最優(yōu)的軌跡,再通過遺傳算法優(yōu)化求解最優(yōu)廣義時間,使得肩關(guān)節(jié)機構(gòu)在能耗最低、時間最快、性能最好的情況下完成運動。

        4.1 性能最優(yōu)路徑規(guī)劃

        為綜合考慮動力學(xué)性能和力映射性能因素,筆者采用加權(quán)求和法,將上述多性能指標轉(zhuǎn)換成單性能指標。

        通過式(18,20,25,27),分別求解出各性能指標在全域范圍內(nèi)最大值kimax和最小值kimin,則不同姿態(tài)下的各性能指標可表示為:

        (28)

        式中:Ki—性能指標在全域變換范圍內(nèi)的比值,Ki值越大,機構(gòu)性能越好。

        綜合考慮上述4個性能指標的影響,構(gòu)造綜合性能指標函數(shù):

        (29)

        式中:δi—目標比重系數(shù)。

        δi值越大表示該衡量指標越重要。本文δi均等于1,將各性能指標視為相同比重,且Kmin值越小,機構(gòu)的綜合性能越好。

        給定機構(gòu)起點q0=[0 0]T,終點qt=[-1.5 1]T,在起點至終點區(qū)域,均勻采樣n個控制點(每個控制點代表一種運動姿態(tài),即動平臺運動經(jīng)過的點),且每個控制點對應(yīng)一個綜合性能指標值。從起點運動到終點,建立路徑規(guī)則。從起點出發(fā),可以到達相鄰3個控制點(控制點1、控制點2和控制點4);之后,再從某一個控制點出發(fā),可以達到下一個相鄰的3個控制點;以此類推,最終達到終點。

        路徑規(guī)則如圖4所示。

        圖4 路徑規(guī)則

        采用上述方式,可以得到數(shù)個由控制點組成的路徑。根據(jù)式(29),筆者將一條路徑上所有控制點的綜合性能指標值求和,代表該條路徑的綜合性能。采用Dijkstra算法優(yōu)化求解出從起點到終點的最優(yōu)路徑,滿足路徑最短、綜合性能最好。

        性能最優(yōu)路徑如圖5所示。

        圖5 性能最優(yōu)路徑

        由于規(guī)劃出的路徑為折線,無法實現(xiàn)光滑軌跡運動,基于上述性能最優(yōu)路徑的結(jié)果,本研究采用B樣條曲線擬合方法構(gòu)造動平臺運動軌跡,并得到動平臺運動方程:

        (30)

        式中:u—路徑中第u個控制點,u∈[0,15]。

        4.2 廣義時間優(yōu)化

        根據(jù)上述建立的性能最優(yōu)軌跡可知,動平臺的運動軌跡與參數(shù)u有關(guān)。通過建立參數(shù)u與時間t的函數(shù),可以進一步確定機構(gòu)的速度特性。因此,建立參數(shù)u關(guān)于時間t的函數(shù):

        u(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4

        (31)

        式中:ai—時間函數(shù)的系數(shù)。

        由于機構(gòu)需要滿足起點和終點的位置約束條件,且在起點和終點處速度為零,故建立時間約束方程:

        (32)

        式中:u0=0,u1=15;T—機構(gòu)完成運動的時間。

        同時,考慮肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的關(guān)節(jié)驅(qū)動器輸出速度和力矩存在最大值,故建立關(guān)節(jié)輸出約束方程:

        (33)

        為實現(xiàn)肩關(guān)節(jié)機構(gòu)在最短時間內(nèi)完成運動,建立時間優(yōu)化目標函數(shù):

        (34)

        機構(gòu)在運動過程中,可能存在時間很短而能耗很大或者關(guān)節(jié)力矩變化很大的情況,屬于不理想的工作狀況。因此,需要考慮能耗和關(guān)節(jié)力矩因素,故建立能耗優(yōu)化目標和力矩波動優(yōu)化目標:

        (35)

        (36)

        式中:Fτ—力矩波動優(yōu)化目標,為機構(gòu)關(guān)節(jié)運動的力矩變化率,衡量關(guān)節(jié)力矩的波動情況。

        綜合考慮時間、能耗和力矩波動,建立廣義時間優(yōu)化目標函數(shù):

        (37)

        則優(yōu)化過程如下:首先根據(jù)式(30,31)計算出動平臺的角度和角速度;其次通過式(1,2)得到關(guān)節(jié)驅(qū)動角度和角速度;然后根據(jù)式(13)動力學(xué)模型計算出關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩;通過式(37)得到廣義時間優(yōu)化目標函數(shù);采用遺傳算法對時間函數(shù)式(31)進行優(yōu)化求解,得到最優(yōu)的廣義時間。設(shè)定種群個數(shù)為100,基因數(shù)為80,迭代代數(shù)為110,變異概率為0.1,交叉概率為0.5。

        廣義時間優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。

        圖6 廣義時間優(yōu)化結(jié)果

        由圖6可知:經(jīng)過數(shù)代運算后收斂,得到優(yōu)化結(jié)果為:時間T=2.03 s;時間函數(shù)系數(shù)a0=0,a1=0,a2=8.85,a3=-1.58,a4=-0.48。將優(yōu)化結(jié)果代入式(31)得到時間函數(shù),并根據(jù)式(1,2,12,30),通過Matlab軟件計算,得到優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩、關(guān)節(jié)角速度。

        關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩如圖7所示。

        圖7 關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩

        關(guān)節(jié)角速度如圖8所示。

        圖8 關(guān)節(jié)角速度

        由圖7和圖8可知:關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩和關(guān)節(jié)角速度均為光滑曲線,不存在突變現(xiàn)象,說明優(yōu)化后,關(guān)節(jié)驅(qū)動器能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)運行。在起點和終點時刻,關(guān)節(jié)輸出角速度均接近于零,符合實際運動狀況。兩個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩和角速度值均處于同一數(shù)量級,數(shù)值大小接近,說明該優(yōu)化方法能夠把機構(gòu)慣性力和外力合理地分配到兩個關(guān)節(jié)上,說明采用上述動載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化方法,肩關(guān)節(jié)機構(gòu)能夠在時間最短、能耗最低、性能最好的條件下完成運動。

        5 結(jié)束語

        本研究結(jié)合拉格朗日方程和虛功原理,建立了肩關(guān)節(jié)機構(gòu)的動力學(xué)模型,并用動力學(xué)仿真軟件驗證了上述動力學(xué)模型的正確性;然后基于動力學(xué)模型,構(gòu)建了動力學(xué)性能指標和力映射性能指標,采用加權(quán)求和法將各性能指標轉(zhuǎn)換為綜合性能指標,并利用Dijkstra算法求解得到綜合性能最優(yōu)的軌跡;最后基于性能最優(yōu)軌跡,考慮時間、能耗和力矩波動3個因素,建立廣義時間優(yōu)化目標函數(shù),采用遺傳算法優(yōu)化時間函數(shù),得到最優(yōu)的廣義時間。

        通過上述動載協(xié)調(diào)分配優(yōu)化,使得肩關(guān)節(jié)機構(gòu)能夠在時間最短、能耗最小、性能最好的條件下完成運動。

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