杜林林 劉維寧 劉衛(wèi)豐

摘要： 將曲線軌道視為周期性離散支承結(jié)構(gòu)，根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的振動特性，將曲線軌道動力響應(yīng)的求解問題轉(zhuǎn)化在一個基本元之內(nèi)進(jìn)行研究，將固定諧振荷載視為速度為零的移動諧振荷載，通過引入移動諧振荷載作用下曲線軌道鋼軌的頻域數(shù)學(xué)模態(tài)及廣義波數(shù)，得出曲線軌道鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻域響應(yīng)的級數(shù)表達(dá)。在頻域內(nèi)采用模態(tài)疊加法表示鋼軌的扭轉(zhuǎn)振動，進(jìn)而求解得出不同激振頻率下鋼軌的扭轉(zhuǎn)振動頻域響應(yīng)，得到曲線軌道扭轉(zhuǎn)振動頻率響應(yīng)函數(shù)。針對曲線軌道扭轉(zhuǎn)振動頻響特性，分析了扣件支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)、扣件支點(diǎn)間距以及曲線半徑等因素對頻響函數(shù)的影響。

關(guān)鍵詞： 曲線軌道； 彎扭耦合； 周期結(jié)構(gòu)； 頻域模態(tài)疊加法； 頻響函數(shù)

中圖分類號： U211.3； U213文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0644-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.012

引言

為滿足城市軌道交通疏解城市擁堵的功能，在城市軌道交通線路的規(guī)劃設(shè)計中，需布置曲線軌道以適應(yīng)地形、地物、地質(zhì)等條件的約束，最大限度地滿足城市既有布局對線路平面的布置要求[1-3]。然而列車通過曲線軌道時產(chǎn)生的振動問題卻不容忽視，以北京地鐵為例，曲線軌道鋼軌處出現(xiàn)了大量異常波磨，影響車輛運(yùn)行甚至危及行車安全[4-5]。由于曲線欠、過超高引起的橫向荷載會產(chǎn)生較強(qiáng)的鋼軌橫向振動以及鋼軌扭轉(zhuǎn)振動，導(dǎo)致軌距增大，影響輪軌動態(tài)接觸幾何關(guān)系[6]。因鋼軌扭轉(zhuǎn)導(dǎo)致扣件系統(tǒng)承受較大的抗拔力，使得扣件被拔出或者斷裂，危及行車安全[7]。

針對鋼軌扭轉(zhuǎn)振動的研究，魏先祥等[8]采用差分法獲得了中國干線鋼軌的扭轉(zhuǎn)變形參數(shù)。張永興等[9]通過建立鋼軌扭轉(zhuǎn)模型，分析了鋼軌扭轉(zhuǎn)變形以及由扭轉(zhuǎn)變形引起的鋼軌水平位移，并指出在分析計算鋼軌水平位移時，必須考慮扭轉(zhuǎn)變形。張宏海等[10]通過建立車輪、鋼軌、扣件有限元模型，得到了鋼軌扭轉(zhuǎn)變形的變化規(guī)律。以上均是針對直線軌道的鋼軌扭轉(zhuǎn)振動進(jìn)行研究，而對于曲線軌道來說，其扭轉(zhuǎn)振動與彎曲振動是互相耦合的。針對曲線軌道扭轉(zhuǎn)振動的研究，Kostovasilis等[11]通過建立曲線軌道有限元模型，研究了曲梁單元和直梁單元在計算曲線軌道動力響應(yīng)上的差異；Dai Jian和Ang Kok Keng[12-13]采用三角函數(shù)法擬合曲線梁的振動，得到了連續(xù)支承曲線Euler-Bernoulli梁穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)；以上研究忽略了離散支承對鋼軌扭轉(zhuǎn)振動的影響。王開云、翟婉明等[14]將鋼軌視為連續(xù)彈性離散點(diǎn)支承基礎(chǔ)上的Euler-Bernoulli梁，采用Ritz法得到了鋼軌扭轉(zhuǎn)的二階常微分方程組，運(yùn)用車輛-軌道耦合動力學(xué)模型，研究了扭轉(zhuǎn)變形對輪軌動態(tài)相互作用的影響，但研究中采用直線梁建立鋼軌扭轉(zhuǎn)振動平衡方程，忽略了曲率對扭轉(zhuǎn)振動平衡方程的影響。

為此，本文將利用軌道結(jié)構(gòu)周期性支承條件，在一個基本元之內(nèi)對鋼軌動力響應(yīng)問題開展研究。不同于以往曲線車-軌動態(tài)耦合模型的研究，其中超高、軌底坡等對軌道所承受的輪軌力具有顯著影響[15]，本文主要研究固定諧振荷載作用下曲線軌道的扭轉(zhuǎn)振動頻率響應(yīng)特性，軌道所受荷載為固定諧振荷載，不受超高、軌底坡等因素的影響。故可忽略超高、軌底坡等因素，將曲線軌道鋼軌簡化為周期性離散支承的平面曲線梁進(jìn)行研究。

1曲線軌道鋼軌扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)求解

1.1圓弧曲梁自由振動微分方程在分析曲線軌道鋼軌的動力響應(yīng)特性時，可采用曲線Euler-Bernoulli梁模擬曲線鋼軌。在推導(dǎo)曲線梁振動微分方程時，假定曲線梁為等截面的勻質(zhì)梁且曲率半徑為常數(shù)，橫截面具有豎直的對稱軸；曲線梁形心與剪切中心重合；曲率半徑遠(yuǎn)大于橫截面、梁長的尺寸。曲線梁坐標(biāo)系按照右手螺旋法則規(guī)定，如圖1所示。

2曲線軌道鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻率響應(yīng)函數(shù)分析

2.1軌道模型及鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)計算

為求得曲線軌道鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻率響應(yīng)函數(shù)，以北京地鐵普通整體道床軌道為例研究曲線軌道鋼軌動力響應(yīng)特性，軌道采用DTVI2扣件，鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)如表1所示。

曲線軌道模型如圖6所示，對于軌道系統(tǒng)來說，扣件的離散支承引起了軌道結(jié)構(gòu)剛度的周期性變化，其中扣件支承點(diǎn)處剛度最大，相鄰扣件支點(diǎn)跨中處剛度最小。為研究離散支承曲線軌道鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻響特性，本文分別計算了不同位置處的扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)。其中激振點(diǎn)與拾振點(diǎn)布置如圖6所示，d表示距扣件支點(diǎn)處的距離，計算中激振點(diǎn)與拾振點(diǎn)選取了d=0，L/2，L/3，L/4，L/8，分別對應(yīng)求解支點(diǎn)處、跨中處、1/3跨處、1/4跨處、1/8跨處的扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)。為了對比離散支承與連續(xù)支承的區(qū)別，本文同時計算了連續(xù)支承曲線軌道鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻率響應(yīng)函數(shù)，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知：

（1）離散支承鋼軌各點(diǎn)處以及連續(xù)支承鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)共振頻率為160 Hz，約等于單位長度鋼軌與扣件支點(diǎn)構(gòu)成的單自由度質(zhì)量-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率：4kφρI0L-c2φ/（4πρI0L）（165 Hz）；在該自振頻率點(diǎn)，離散支承鋼軌在跨中處、1/3跨處、1/4跨處、1/8跨處、支點(diǎn)處扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)幅值逐漸變小，跨中處取得最大值、支點(diǎn)處取得最小值，連續(xù)支承鋼軌響應(yīng)幅值介于跨中處和支點(diǎn)處之間，離散支承和連續(xù)支承鋼軌響應(yīng)相位基本相同，鋼軌扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)與荷載同步性較強(qiáng)，鋼軌繞支點(diǎn)產(chǎn)生整體扭轉(zhuǎn)振動且以剛體轉(zhuǎn)動為主，如圖8（a）所示；

（2）由離散支承鋼軌各點(diǎn)處與連續(xù)支承鋼軌幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)對比分析可知，離散支承引起了高頻段的鋼軌扭轉(zhuǎn)共振；

（3）根據(jù)離散點(diǎn)支承鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率計算公式[30]fn=n2LGIdρI0，可知1階、2階、3階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率分別為637，1274，1911 Hz。由圖7可知1階、2階、3階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率分別為635，1280，1914 Hz，與公式求解結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文計算結(jié)果的正確性；

（4）離散支承曲線軌道1階、2階、3階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振以鋼軌扭轉(zhuǎn)變形振動為主，振動波幅值分布分別對應(yīng)于圖8（b）中1階、2階、3階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振；對于1階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振，其振動波半波長等于扣件支點(diǎn)間距，跨中處（d=L/2）響應(yīng)幅值最大，支點(diǎn)處（d=0）響應(yīng)幅值最小，d=L/3，L/4，L/8時響應(yīng)幅值介于2者之間且依次減??；對于2階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振，其振動波波長等于扣件支點(diǎn)間距，d=L/4時響應(yīng)幅值最大，支點(diǎn)處（d=0）、跨中處（d=L/2）響應(yīng)幅值最小，d=L/3，L/8時響應(yīng)幅值介于二者之間且依次減??；對于3階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振，扣件支點(diǎn)間距等于1.5倍的振動波波長，跨中處（d=L/2）響應(yīng)幅值最大，支點(diǎn)處（d=0）、d=L/3處最小，d=L/4，L/8時響應(yīng)幅值介于二者之間且依次減??；

（5）離散支承鋼軌各點(diǎn)處相頻函數(shù)在鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率附近頻段發(fā)生顯著變化；連續(xù)支承鋼軌扭轉(zhuǎn)振動相頻函數(shù)較為平滑，隨著頻率的增高，相位差趨于穩(wěn)定。

由以上分析可知，離散支承使得鋼軌產(chǎn)生了高頻扭轉(zhuǎn)共振，接下來將針對離散支承軌道結(jié)構(gòu)支承參數(shù)以及曲線半徑等因素對扭轉(zhuǎn)振動特性的影響進(jìn)行分析研究。由于支點(diǎn)處及跨中處幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)能夠反應(yīng)鋼軌扭轉(zhuǎn)共振各階響應(yīng)特點(diǎn)，因此下文只分析支點(diǎn)處和跨中處的響應(yīng)。

2.2扣件支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度及阻尼系數(shù)對頻響函數(shù)的影響

為了研究支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度對扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)的影響，本文分別計算了支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度為56.25，112.5，337.5及450 kN·m/rad時支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。為研究支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)對頻響函數(shù)的影響，分別計算了扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)為40，160及280 N·m·s/rad時支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。其余參數(shù)如表1所示。

圖9給出了不同支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度時跨中處及支點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)振動幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)。圖10給出了不同扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)時跨中、支點(diǎn)處的鋼軌扭轉(zhuǎn)振動幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)。

觀察圖9可知：

（1）由計算公式求得不同支承剛度時單位長度鋼軌與扣件支點(diǎn)構(gòu)成的單自由度質(zhì)量-扭轉(zhuǎn)支承自振頻率分別為53，105，209，245 Hz，與圖9中本文求解結(jié)果吻合良好；鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率受支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度變化影響較大，支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度的增加會提高鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率，降低鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率點(diǎn)處的響應(yīng)幅值；

（2）扣件支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度變化對鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率沒有影響；

（3）隨著支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度的增加，鋼軌振動響應(yīng)與荷載相位差減少，振動響應(yīng)同步性增強(qiáng)，但對鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率沒有影響。

觀察圖10可知：

（1）根據(jù)計算公式求得不同支承阻尼系數(shù)所對應(yīng)的單位長度鋼軌與扣件支點(diǎn)構(gòu)成的單自由度質(zhì)量-扭轉(zhuǎn)支承自振頻率分別為180，165，128 Hz，與圖10中本文求解結(jié)果吻合良好；鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率受支承阻尼系數(shù)變化影響較小，增加阻尼系數(shù)時，鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率略有減少，頻響函數(shù)在鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率點(diǎn)附近處的響應(yīng)幅值有所降低；

（2）扣件支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)對鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率沒有影響；隨著阻尼系數(shù)的增加，跨中處響應(yīng)幅值在扭轉(zhuǎn)共振頻率點(diǎn)處增加，支點(diǎn)處響應(yīng)幅值在扭轉(zhuǎn)共振頻率點(diǎn)處降低；

（3）阻尼系數(shù)對扭轉(zhuǎn)振動相位具有明顯影響，在小于鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率頻段，隨著支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)的增加，相位差逐漸增大，振動同步性降低；當(dāng)荷載頻率處于鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率及鋼軌扭轉(zhuǎn)振動1階共振頻率之間時，相位差隨著阻尼系數(shù)的增大而減小，振動同步性增強(qiáng)。

2.3扣件間距及曲線半徑對頻響函數(shù)的影響分析

為了研究曲線鋼軌半徑及扣件支點(diǎn)間距對扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)的影響，本文分別計算了曲線半徑為150，300，500及1000 m時支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。為了研究扣件支點(diǎn)間距對鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)的影響，本文分別計算了支點(diǎn)間距為0.5，0.6，0.7 m時支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。其余參數(shù)如表1所示。

圖11給出了不同曲線半徑作用下跨中處及支點(diǎn)處的鋼軌扭轉(zhuǎn)振動幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)。

由圖11可知：

（1）鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率幾乎不受半徑影響，半徑的增加對鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率沒有影響；曲線鋼軌扭轉(zhuǎn)振動共振頻率幾乎不受半徑影響，半徑的增加對扭轉(zhuǎn)振動共振頻率沒有影響；

（2）半徑變化對于曲線鋼軌扭轉(zhuǎn)相位響應(yīng)沒有影響；

（3）地鐵軌道一般地段正線最小曲線半徑為300 m，隨著曲線半徑的增加，鋼軌扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)基本一致，半徑對曲線軌道扭轉(zhuǎn)頻響函數(shù)幾乎沒有影響。

圖12所示為曲線半徑為300 m時，不同扣件支點(diǎn)間距時跨中處及支點(diǎn)處的鋼軌扭轉(zhuǎn)振動幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)。

觀察圖12可知：

（1）根據(jù)計算公式求得支點(diǎn)間距為0.5，0.6及0.7 m時所對應(yīng)的單位長度鋼軌與扣件支點(diǎn)構(gòu)成的單自由度質(zhì)量-扭轉(zhuǎn)支承自振頻率分別為177，165和155 Hz，與本文求解計算結(jié)果吻合良好；扣件支點(diǎn)間距對曲線軌道鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率變化影響較大，支點(diǎn)間距減小時鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率提高，鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率處響應(yīng)幅值降低；

（2）根據(jù)計算公式求得支點(diǎn)間距為0.5，0.6及0.7 m時所對應(yīng)的1階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率分別為764，637和546 Hz，與程序求解計算結(jié)果吻合良好，支點(diǎn)間距減小時，1階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率增大；

（3）扣件間距對鋼軌振動相位具有顯著的影響，頻率小于1階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振頻率時，隨著扣件間距的增加，扭轉(zhuǎn)振動與荷載之間的相位差增大，振動與荷載的同步性降低；

（4）扣件支點(diǎn)間距對曲線鋼軌1階扭轉(zhuǎn)共振響應(yīng)具有顯著的影響，跨中處1階鋼軌扭轉(zhuǎn)共振響應(yīng)幅值隨支點(diǎn)間距的增加而變大。

3結(jié)論

（1）曲線軌道鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率受支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)、支點(diǎn)間距變化影響較大；支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度增加時鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率提高，響應(yīng)幅值降低；扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)增加時鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率略有減少，頻響函數(shù)在鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率附近的響應(yīng)幅值降低；支點(diǎn)間距減小時鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率提高，響應(yīng)幅值降低；

（2）鋼軌支點(diǎn)及跨中處在鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率處相位信息相同，鋼軌扭轉(zhuǎn)振動共振頻率處二者相位差為90°；增加支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度、減小支點(diǎn)間距時，鋼軌振動響應(yīng)與荷載相位差減少，振動響應(yīng)同步性增強(qiáng)；激振頻率小于鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率時，相位差隨著扭轉(zhuǎn)支承阻尼系數(shù)的增加而增大，振動同步性降低；激振頻率大于鋼軌-支承扭轉(zhuǎn)自振頻率時，相位差隨著阻尼系數(shù)增大而減小，振動同步性增強(qiáng)；

（3）離散支承鋼軌1階、2階、3階扭轉(zhuǎn)共振波波長為2倍扣件間距、扣件間距、2/3扣件間距；離散支承引起了高頻段的鋼軌扭轉(zhuǎn)共振及反共振；扣件支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)剛度對鋼軌扭轉(zhuǎn)振動共振頻率沒有影響；增大支點(diǎn)扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)時跨中處1階扭轉(zhuǎn)振動共振峰幅值增加；支點(diǎn)間距對鋼軌1階扭轉(zhuǎn)振動共振特性具有顯著的影響，跨中處1階扭轉(zhuǎn)振動共振峰幅值隨支點(diǎn)間距的增加而變大；支點(diǎn)間距減小時，1階扭轉(zhuǎn)振動共振頻率增大；

（4）地鐵軌道一般地段正線最小曲線半徑為300 m，隨著半徑的增加，軌道扭轉(zhuǎn)振動頻率響應(yīng)函數(shù)基本一致，半徑對曲線軌道扭轉(zhuǎn)振動頻響函數(shù)幾乎沒有影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧保南，姜曉明，程曜彥，等.論城市軌道交通最小曲線半徑標(biāo)準(zhǔn)的選擇[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2003，31（4）：428—431.

GU Baonan， JIANG Xiaoming， CHENG Yaoyan， et.al. Study on radius standard of urban rail transit in China [J]. Journal of Tongji University （Natural Science）， 2003，31（4）： 428—431.

[2]袁揚(yáng)，劉維寧，劉衛(wèi)豐.基于現(xiàn)場測試的曲線段地鐵地面振動傳播規(guī)律[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2012，33（4）：133—138.

YUAN Yang， LIU Weining， LIU Weifeng. Propagation law of ground vibration in the curve section of metro based on in-situ measurement [J]. China Railway Science， 2012，33（4）： 133—138.

[3]柴小艷. 城市軌道交通小半徑曲線設(shè)計探討[J]. 城市軌道交通研究， 2016，19（9）：52—55.

CHAI Xiaoyan. On small radius curve design for urban rail transit[J] Urban Mass Transit， 2016， 19（9）：52—55.

[4]ZHANG Hougui， LIU Weining， LIU Weifeng， et al. Study on the cause and treatment of rail corrugation for Beijing Metro[J]. Wear， 2014，317（1）：120—128.

[5]ZHANG Hougui， LIU Weining， LI Kefei， et al. Analytical solution for dynamic response of curved rail subjected to moving train[J]. Journal of Vibroengineering， 2014，16 （4）：1392—8716.

[6]錢小益. 鐵路鋼軌扭轉(zhuǎn)問題的研究[J]. 上海鐵道科技， 2014，（02）：120—121.

QIAN Xiaoyi. Research on rail torsion of railway[J]. Shanghai Railway Technology， 2014，（02）：120—121.

[7]Nair S， Garg V， Lai Y. Dynamic stability of a curved rail under a moving load[J]. Applied Mathematical Modelling， 1985， 9（3）： 220—224.

[8]魏先祥，張淑榮.鋼軌的扭轉(zhuǎn)特性[J].鐵道建筑， 1994，（2）： 2—5.

Wei Xianxiang， ZHANG Shurong.Characteristic of rail torsion[J].Railway Engineering，1994，（2）：2—5.

[9]張永興， 練松良. 鋼軌扭轉(zhuǎn)時的水平位移分析[J]. 上海鐵道大學(xué)學(xué)報， 1997，（03）：22—27.

ZHANG Yongxing， LIAN Songliang. Analysis of lateral displacement of rail while considering the twist of tail [J].Journal of Shanghai Tiedao University， 1997，（03）： 22—27.

[10]張宏海.鋼軌橫移及扭轉(zhuǎn)變形研究[D].成都：西南交通大學(xué)， 2009.

Zhang Honghai. Research on horizontal deformation and reverse deformation of rail [D].Chengdu： Southwest Jiaotong University， 2009.

[11]Kostovasilis D， Koroma S G， Hussein M F M， et al. A Comparison between the use of straight and curved beam elements for modelling curved railway tracks[C]. 11th International Conference on Vibration Problems， Lisbon， Portugal， 2013：1—10.

[12]Ang Kok Keng， Dai Jian. Response analysis of a curved rail subject to a moving load[C]. 11th International Conference on Vibration Problem， Lisbon，Portugal，2013.

[13]Dai J， Ang K K. Steady-state response of a curved beam on a viscously damped foundation subjected to a sequence of moving loads [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part F： Journal of Rail and Rapid Transit， 2015，229 （4）：375—394.

[14]王開云，翟婉明，蔡成標(biāo).鋼軌扭轉(zhuǎn)運(yùn)動對輪軌動態(tài)相互作用的影響[J].中國鐵道科學(xué)， 2008，29 （03）： 68—72.

WANG Kaiyun， ZHAI Wanming， CAI Cheng-biao. Effect of rail torsional motions on wheel-rail dynamic interaction [J]. China Railway Science， 2008， 29（03）： 68—72.

[15]朱穎， 易思蓉. 高速鐵路曲線參數(shù)動力學(xué)分析理論與方法[M]. 北京： 中國鐵道出版社， 2011.

Zhu Ying， Yi Sirong. Theory and Method of Dynamic Analysis on Curved Line Parameters of High Speed Railway [M]. Beijing： China Railway Publishing House， 2011.

[16]VLASOV V Z. Thin-wall Elastic Beams[M]. Washington D C： National Science Foundation， 1961.

[17]漢斯 C P. 結(jié)構(gòu)桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)[M]. 常嶺，吳紹本，譯. 北京： 人民交通出版社， 1981.

Heins C P. Bending and Torsion of Structural Members [M]. Beijing： China Communications Press， 1981.

[18]姚玲森. 曲線梁[M]. 北京： 人民交通出版社， 1989.

Yao Lingsen. Curved Beam [M]. Beijing： China Communications Press， 1989.

[19]孫廣華.曲線梁橋計算[M].北京：人民交通出版社，1995.

Sun Guanghua. Calculation of Curved Bridges [M]. Beijing： China Communications Press，1995.

[20]李惠生， 張羅溪. 曲線梁橋結(jié)構(gòu)分析[M]. 北京： 中國鐵道出版社， 1992.

Li Huisheng， Zhang Luoxi. Structure Analysis of Curved Bridges [M]. Beijing：China Railway Publishing House， 1992.

[21]YANG Y B， WU C M， YAU J D. Dynamic response of a horizontally curved beam subjected to vertical and horizontal moving loads [J]. Journal of Sound and Vibration， 2001，242 （3）：519—537.

[22]Dai Jian. Analysis of High-speed Rail （HSR） System [D]. National University of Singapore， 2014.

[23]翟婉明. 車輛-軌道耦合動力學(xué)[M]. 第4版，北京： 科學(xué)出版社， 2015.

Zhai Wanming. Dynamic of Coupled Vehicle and Track [M]. Beijing： Science Press， 2015.

[24]Martínez-Casas José， Di Gialleonardo Egidio， Bruni Stefano， et al. A comprehensive model of the railway wheelset–track interaction in curves[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014，333（18）：4152—4169.

[25]馬龍祥， 劉維寧， 劉衛(wèi)豐. 移動荷載作用下周期支承軌道結(jié)構(gòu)振動研究[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2013，34（01）：1—7.

MA Longxiang， LIU Weining， LIU Weifeng. Study on vibration of periodic supported track structure under moving loads [J].China Railway Science， 2013，34 （01）： 1—7.

[26]Belotserkovskiy P M. Forced oscillations of infinite periodic structures. applications to railway track Dynamics [J]. Vehicle System Dynamics， 1998， 29 （S1）：85—103.

[27]馬龍祥， 劉維寧， 李克飛. 移動荷載作用下浮置板軌道振動響應(yīng)的頻域快速數(shù)值算法[J]. 鐵道學(xué)報， 2014，（02）：86—94.

MA Longxiang， LIU Weining， LI Kefei. Fast numerical algorithm of floating slab track vibration response under moving loads in the frequency domain [J]. Journal of the China Railway Society， 2014，（02）： 86—94.

[28]劉維寧， 馬龍祥， 姜博龍， 等. 浮置板軌道動力響應(yīng)分析的廣義波數(shù)法[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2016，37（01）：31—38.

LIU Weining， MA Longxiang， JIANG Bolong， et al. Generalized wavenumber method for dynamic response analysis of floating slab track[J]. China Railway Science， 2016， 37（01）：31—38.

[29]馬龍祥.基于無限-周期結(jié)構(gòu)理論的車軌耦合及隧道-地層振動響應(yīng)分析模型研究[D]. 北京：北京交通大學(xué)， 2015.

Ma Longxiang. Study on the model of coupled vehicle & track and the prediction model for tunnel-ground vibration response based on the periodic-infinite structure theory [D]. Beijing：Beijing Jiaotong University， 2014.

[30]劉延柱，陳文良，陳立群.振動力學(xué)[M].北京：高等教育出版社， 2000.

Liu Yanzhu， Chen Wenliang， Chen Liqun. Vibration Mechanics [M]. Beijing： Higher Education Press， 2000.

Abstract： Modelling dynamic behavior of curved railway track subjected to fixed harmonic loads is important to understand its dynamic properties. In this paper， the discretely supported curved Euler-Bernoulli beam is used to simulate the curved track. Dynamic response of the curved track can be solved within one basic cell based on property of periodical structure in the frequency domain. The fixed harmonic loads are viewed as moving harmonic loads with zero velocity. By introduction of mathematic modes and generalized wave numbers of the track under moving harmonic loads， the torsional dynamic response of the curved track in the frequency domain is obtained in series form. Using the mode superposition method， the torsional dynamic responses of curved track with different excitation frequencies are achieved. Furthermore， the effects of torsional support stiffness， torsional support damping coefficient， the fastener support spacing and the curve radius on the frequency response function of torsional vibration are analyzed.

Key words： curved track； coupling of bending and torsion； periodical structure； modes superposition method in frequency domain； frequency response function