許澤宇， 周之泰， 李英姿， 陳毅夫， 張應(yīng)旭

(北京航空航天大學(xué) a. 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院； b. 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院；c. 微納測(cè)控與低維物理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100191)

0 引 言

遲滯現(xiàn)象，指一個(gè)系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)，不僅與系統(tǒng)當(dāng)下的輸入有關(guān)，更會(huì)因其過(guò)去輸入過(guò)程不同而產(chǎn)生不同的輸出結(jié)果。換言之，一個(gè)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)某一輸入路徑運(yùn)作后，即使返回與最初狀態(tài)相同的輸入值，輸出狀態(tài)也不能回到其初始。遲滯現(xiàn)象廣泛存在于電磁驅(qū)動(dòng)式電機(jī)中，音圈電機(jī)作為電磁驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的一種，運(yùn)動(dòng)過(guò)程存在明顯的遲滯現(xiàn)象，該現(xiàn)象會(huì)嚴(yán)重降低系統(tǒng)的定位精度，造成運(yùn)動(dòng)軌跡的失真，也因此成為高精度控制的一個(gè)難點(diǎn)。音圈電機(jī)是一種直接將電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的直線(xiàn)電機(jī)，具有行程大、響應(yīng)速度快、輸出推力大、輸出加速度大等優(yōu)點(diǎn)，理論上，音圈電機(jī)可以實(shí)現(xiàn)無(wú)窮小分辨率[1-2]。因此，音圈電機(jī)在大范圍高精度定位領(lǐng)域潛力巨大，受到了越來(lái)越廣泛的關(guān)注，成為了研究的熱點(diǎn)[3-10]。

作為一種電磁驅(qū)動(dòng)器，音圈電機(jī)的遲滯現(xiàn)象是其固有性質(zhì)。忽略這一現(xiàn)象對(duì)音圈電機(jī)進(jìn)行控制，將導(dǎo)致整個(gè)定位系統(tǒng)發(fā)生震蕩，降低音圈電機(jī)的定位精度，尤其當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率較高、驅(qū)動(dòng)范圍較大時(shí)，遲滯現(xiàn)象導(dǎo)致的定位誤差很大。因此，分析音圈電機(jī)的輸入-輸出特性，對(duì)理解其遲滯特性，設(shè)計(jì)合適的控制方法，從而在一定程度上消除其遲滯現(xiàn)象引起的定位誤差具有重要意義。

為了描述音圈電機(jī)的輸入-輸出特性，近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外科學(xué)工作者們開(kāi)展了大量研究工作。埃因霍芬理工大學(xué)的 Laurentiu Encica 等[11]和上海交通大學(xué)的王曦等[12]分別測(cè)量了圓柱型音圈電機(jī)和矩型音圈電機(jī)的力-位移關(guān)系。結(jié)果表明，音圈電機(jī)在工作過(guò)程中，其線(xiàn)圈在不同位置上受到的安培力不同，且當(dāng)輸入電流幅度較大時(shí)，音圈電機(jī)的推力和輸出位移之間存在明顯的非線(xiàn)性關(guān)系。

目前提出了很多模型用來(lái)描述遲滯現(xiàn)象，如Preisach模型[13]，Prandtl-Ishlinskii模型[14]以及Duhem模型[15]，這些模型可以看成是多個(gè)遲滯算子的加權(quán)疊加結(jié)果，其中，由于Prandtl-Ishlinskii模型可以解析反演而得到了廣泛的接受和研究。

為了更好地幫助學(xué)生理解遲滯現(xiàn)象和遲滯補(bǔ)償，本文建立了音圈電機(jī)一維運(yùn)動(dòng)遲滯補(bǔ)償教學(xué)平臺(tái)，使學(xué)生對(duì)遲滯特性的建模、求逆及補(bǔ)償有直觀的理解。本文基于搭建的音圈電機(jī)一維運(yùn)動(dòng)遲滯補(bǔ)償教學(xué)平臺(tái)，針對(duì)音圈電機(jī)的遲滯現(xiàn)象，采用廣義Prandtl-Ishlinskii模型的表達(dá)式和反演算法來(lái)實(shí)現(xiàn)音圈電機(jī)的遲滯補(bǔ)償。

1 教學(xué)平臺(tái)搭建

為了消除音圈電機(jī)的遲滯現(xiàn)象，提高音圈電機(jī)的定位精度，從音圈電機(jī)的輸入-輸出特性入手，通過(guò)該平臺(tái)得到其輸入-輸出數(shù)據(jù)，并繪制輸入-輸出特性曲線(xiàn)。選取合適的模型建立音圈電機(jī)遲滯模型，準(zhǔn)確描述音圈電機(jī)的輸入-輸出特性，通過(guò)對(duì)該模型的分析和反演，設(shè)計(jì)音圈電機(jī)的控制算法，提高其輸入-輸出線(xiàn)性度，從而提高音圈電機(jī)的定位精度。

教學(xué)平臺(tái)的工作原理圖如圖1所示。其中：x(t)為所求一維運(yùn)動(dòng)位移；u(t)為輸入電機(jī)的電壓；g[u](t)為反饋數(shù)據(jù)，即包括歷史位移等數(shù)據(jù)的綜合；h(t)為進(jìn)入算法的原始數(shù)據(jù)；Δ-1[h](t)指代反演算法。由以上原理搭建教學(xué)平臺(tái)如圖2所示。

圖1 教學(xué)平臺(tái)工作原理圖

①-函數(shù)信號(hào)發(fā)生器， ②-直流穩(wěn)壓電源， ③-音圈電機(jī)控制器； ④-音圈電機(jī)一維運(yùn)動(dòng)平臺(tái)， ⑤-計(jì)算機(jī)

2 音圈電機(jī)遲滯模型的建立

在Matlab中，采用廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型對(duì)音圈電機(jī)遲滯現(xiàn)象進(jìn)行建模，采用粒子群算法對(duì)待求參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。

2.1 廣義Prandtl-Ishlinskii模型

在廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型中，廣義遲滯算子Sr包含兩個(gè)包絡(luò)函數(shù)，隨時(shí)間增加的輸入函數(shù)v對(duì)應(yīng)Sr中的包絡(luò)函數(shù)γl；隨時(shí)間減小的輸入函數(shù)v對(duì)應(yīng)廣義遲滯算子Sr中的包絡(luò)函數(shù)γr，由于兩個(gè)包絡(luò)函數(shù)可以為不同的表達(dá)式，因此廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型可以描述非對(duì)稱(chēng)和飽和的遲滯現(xiàn)象。圖3為廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型的遲滯算子的輸入輸出關(guān)系示意圖，從圖中可以看出，包絡(luò)函數(shù)γl和γr是嚴(yán)格增函數(shù)，并且滿(mǎn)足γl-r≤γr+r的條件。對(duì)于任意v(t)∈Cm[0,T]，廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型的遲滯算子可以表示為

Sr[v](t)=z(ti+1)=

(1)

式中，r是閾值，由經(jīng)典遲滯算子決定。如圖3所示，廣義遲滯算子在輸出z(t)=0時(shí)對(duì)應(yīng)的輸入值v(t)為ζ1和ζ2，其中ζ1對(duì)應(yīng)上升階段，ζ2對(duì)應(yīng)下降階段，正是因?yàn)閺V義遲滯算子存在不同的ζ1和ζ2，使得廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型可以描述非對(duì)稱(chēng)的遲滯回線(xiàn)。其中包絡(luò)函數(shù)γl和γr的表達(dá)式為

(2)

式中：a1,b1,c1,d1及a2,b2,c2,d2分別為上升和下降階段包絡(luò)函數(shù)的待確定參數(shù)，由粒子群算法辨識(shí)得到。

圖3 廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯算子的輸入輸出關(guān)系示意圖

廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型Φ通過(guò)多個(gè)遲滯算子Sr和密度函數(shù)pr(r)的加權(quán)疊加來(lái)描述相關(guān)材料或者驅(qū)動(dòng)器的遲滯效應(yīng)。廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型的輸出具體定義為Φ[v](t)，在映射關(guān)系為C[0,T]→C[0,T]的前提下，廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型的表達(dá)式為

(3)

式中，η為n個(gè)廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯算子的加權(quán)輸出結(jié)果；P(ri)和ri的表達(dá)式分別為

(4)

ρ為常數(shù)，τ和α為正數(shù)，三者均是遲滯算子模型中的待定參數(shù)。

由于廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯算子為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)，并且加權(quán)密度函數(shù)為可積的，所以可以得出廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型對(duì)于給定的v(t)∈C[0,T]是Lipschitz連續(xù)的。因?yàn)閺V義Prandtl-Ishlinskii遲滯算子Sr是單調(diào)的，并且密度函數(shù)是可積的正值函數(shù)，故廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型是單調(diào)的運(yùn)算符。

2.2 粒子群算法

廣義Prandtl-Ishlinskii遲滯模型的遲滯算子及密度函數(shù)的相關(guān)參數(shù)通常由已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用合適的參數(shù)識(shí)別方法得到，在這里給出粒子群算法[16]，用于模型的參數(shù)識(shí)別，通過(guò)多個(gè)粒子向最優(yōu)解不斷逼近，每次取眾多粒子中最優(yōu)的粒子解，最終得到最接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合參數(shù)。粒子群算法的基本過(guò)程如下：

(5)

步驟2求每個(gè)粒子的適度值。

(6)

(7)

gbest(k+1)=min{pbesti(k+1)}

(8)

步驟3更新每個(gè)粒子的速度向量和位置向量

vi(k+1)=w(k)vi(k)+c1r1[pbesti-xi(k)]+

c2r2[gbest-xi(k)]

(9)

xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1)

(10)

式中：r1、r2為[0, 1]上隨機(jī)數(shù)；w(k)=0.5+rand/2。

步驟4求各個(gè)粒子的適合度，見(jiàn)步驟2。

步驟5計(jì)算pbest和gbest，見(jiàn)步驟2。

步驟6若迭代次數(shù)大于itermax，終止計(jì)算保存gbest作為最優(yōu)解，否則回到步驟3。

3 音圈電機(jī)的遲滯補(bǔ)償

在Matlab中，對(duì)已建立的音圈電機(jī)遲滯模型進(jìn)行反演計(jì)算，廣義Prandtl-Ishlinskii模型的反演式為

(11)

分別對(duì)上升、下降階段包絡(luò)函數(shù)進(jìn)行反演，遲滯算子,

(12)

(13)

式中,密度函數(shù)求解如下：

(14)

4 教學(xué)平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

選取音圈電機(jī)一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期的數(shù)據(jù)，采用粒子群算法識(shí)別得到參數(shù)如下：α=5.201 0,ρ=1.016 3,τ=16.965,a1=9.321 6,b1=1.657 2,c1=1.263 8,d1=-7.645,a2=11.541,b2=1.765 4,c2=-1.419,d2=9.945 0,n=50。得到的模型輸出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的符合程度如圖4所示。

圖4 音圈電機(jī)遲滯模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

相對(duì)均方根誤差的計(jì)算結(jié)果為

接著使用Matlab結(jié)合反演算法對(duì)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到一組輸出值，將這組輸出值作為新的輸入信號(hào)輸入到音圈電機(jī)中，實(shí)驗(yàn)得到的實(shí)際補(bǔ)償效果如圖5所示。圖5中所示輸入電壓與輸出位移曲線(xiàn)的線(xiàn)性度為2.52%。結(jié)果表明，廣義Prandtl-Ishlinskii模型能夠通過(guò)解析反演很好地校正遲滯現(xiàn)象。

圖5 音圈電機(jī)遲滯補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)遲滯現(xiàn)象搭建了一套基于音圈電機(jī)的一維運(yùn)動(dòng)遲滯補(bǔ)償教學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，該實(shí)驗(yàn)采用廣義Prandtl-Ishlinskii模型對(duì)搭建的音圈電機(jī)平臺(tái)進(jìn)行建模，并得到其反演模型。通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)遲滯現(xiàn)象及其補(bǔ)償效果進(jìn)行研究，使得學(xué)生對(duì)遲滯現(xiàn)象本身、建模及其補(bǔ)償過(guò)程有直觀的認(rèn)識(shí)。