陳 威,仇志堅
(上海大學(xué),上海 200072)
無刷直流電動機(以下簡稱BLDCM)具有體積小、質(zhì)量輕、功率密度高、控制簡單等特點,其無位置傳感器控制由于成本低,不受工作場合限制,現(xiàn)已成為BLDCM的研究熱點[1-3]。
現(xiàn)有的研究都沒有系統(tǒng)討論在不同控制函數(shù)情況下的觀測反電動勢抖振,為了定量分析反電動勢的抖振,首先對已有的控制函數(shù)進行了歸納分析,提出了一種凹控制函數(shù),并理論證明了采用凹控制函數(shù)比已有的控制函數(shù)得到的觀測反電動勢抖振更小。其次,將該凹控制函數(shù)作為滑模觀測器中的控制函數(shù),并用歸一化方法處理估算反電動勢,利用鎖相環(huán)提取轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)角信息,構(gòu)建了BLDCM的無位置傳感器控制系統(tǒng)。
兩相靜止坐標(biāo)系下的BLDCM的數(shù)學(xué)模型如下:
(1)
式中:uα,uβ,iα,iβ,eα,eβ分別為α,β坐標(biāo)系下的繞組電壓、電流和反電動勢;L1為每相定子繞組的等效電感;R為定子電阻。
取式(1)中的定子繞組電流和反電動勢作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,將繞組電壓和繞組電流分別作為系統(tǒng)的輸入和輸出,并考慮到在電機控制系統(tǒng)中,采用周期遠遠小于電機的機械和電磁時間常數(shù),可認為在采用過程中電機角速度不變,反電動勢的導(dǎo)數(shù)為零,則由式(1)可得BLDCM的狀態(tài)方程和輸出方程:
(2)
y=C[ie]
(3)
在電機運行時,若忽略電樞反應(yīng)影響,可認為電機繞組電感值不變,則由式(2)構(gòu)建的反電動勢滑模觀測器方程如下:
(4)
選擇滑模面:
(5)
將式(4)減去式(2),可得滑模觀測器的誤差方程:
(6)
(7)
對式(7)求導(dǎo),得其導(dǎo)數(shù):
(8)
(9)
由于在滑模觀測器中,選用的控制函數(shù)值域為[-1 1],且H(x)與x符號相同,結(jié)合不等式的性質(zhì)可得:
故只需式(10)小于0,就能保證滑模觀測器進入滑模面,即:
(11)
(12)
將式(12)代入式(6),得:
(13)
(14)
為求得g1,g2的范圍,重新構(gòu)造一個Lyapunov方程:
(15)
對式(15)求導(dǎo),并將式(13)代入,可得:
(16)
(17)
從式(11)、式(17)可知,只需選擇合適的k1,k2,g1,g2參數(shù),就能保證滑模觀測器的觀測值收斂到實際值。圖1為滑模觀測器的結(jié)構(gòu)框圖。
圖1 滑模觀測器結(jié)構(gòu)框圖
(a) 符號函數(shù)
(b) e的指數(shù)函數(shù)
(c) 飽和函數(shù)
(d) 正弦函數(shù)
已有的控制函數(shù)可以分為符號函數(shù),e的指數(shù)函數(shù),飽和函數(shù),正弦函數(shù),曲線如圖2所示。數(shù)學(xué)表達式如下:
(18)
(19)
(20)
(21)
式(19)中,當(dāng)a分別取1,2時,即為sigmoid函數(shù)和雙曲正切函數(shù)tanh。
圖3 凹、凸控制函數(shù)
觀察圖2的函數(shù)圖像可得,當(dāng)a越大時,在邊界層內(nèi)控制函數(shù)的坡度越陡,越接近符號函數(shù),抖振越大。分別對上述函數(shù)求其一階、二階導(dǎo)數(shù),由高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性定義可知,e的指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)在邊界層內(nèi)為凸函數(shù)。本文現(xiàn)提出一種凹控制函數(shù),該凹控制函數(shù)與其凸控制函數(shù)關(guān)于y=ax對稱,具體圖形如圖3所示。現(xiàn)定量地推導(dǎo)凹、凸控制函數(shù)的反電動勢抖振數(shù)學(xué)表達式,為敘述方便,凹、凸控制函數(shù)分別記為hm(x)與ht(x),定義反電動勢的抖振:
(22)
依式(22)可計算得到,分別采用凸、凹控制函數(shù)作為滑模觀測器的控制函數(shù)情況下,反電動抖振分別如下:
(23)
(24)
式中:下角標(biāo)t,m分別表示凸、凹控制函數(shù)的變量。將式(23)與式(24)作差,得到:
根據(jù)式(14),且依據(jù)在邊界層內(nèi),滑模觀測器中的控制函數(shù)過零點,可計算得到:
(26)
(27)
將式(26)、式(27)分別作差、相加,可分別得到:
(28)
(29)
由于在邊界層內(nèi)h(x)與x同號,且|ht(Ei)|大于|hm(Ei)|,因此式(28)、式(29)都大于0。而β方向的變量與α方向變量具有相同的性質(zhì),因此也可得到:
將上式代入式(25),得到:
(30)
故在邊界層內(nèi)對于任意的Ei,都恒有Δet大于Δem成立。因此,在其他條件相同的情況下,選用凹控制函數(shù),能降低觀測反電動勢的抖振。
本文以正弦函數(shù)為例,其數(shù)學(xué)表達式見式(21),其中將其凹切換函數(shù)記為g4(x),根據(jù)曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=kx+b對稱的曲線方程:
可求得正弦函數(shù)h4(x)關(guān)于y=ax對稱的凹控制函數(shù)g4(x)應(yīng)滿足:
(31)
式(31)是隱函數(shù),無法直接求得解析解,現(xiàn)考慮sin(ax)的麥克勞林展開式,并忽略高次項,運用MATLAB軟件,解出顯函數(shù)表達式。
由于BLDCM的氣隙磁場為梯形波,a,b,c坐標(biāo)系下的反電動勢變換到α,β坐標(biāo)系下也不是正弦波,若直接用該反電動勢提取轉(zhuǎn)子位置角和轉(zhuǎn)速信息,誤差較大,計算精度不高。為此,采用式(32)對滑模觀測器的觀測反電動勢進行歸一化處理[10],以降低其中的高次諧波含量,并消除磁鏈和角速度的影響,獲取類似于正弦波形的基波信號。
(32)
圖4 鎖相環(huán)原理框圖
由圖4可知:
(33)
(34)
圖5 BLDCM無位置控制框圖
基于以上分析,根據(jù)圖5在 MATLAB/Simulink搭建控制系統(tǒng),滑模觀測器的參數(shù)k1=-700000,k2=-600 000,g1=-0.330 545,g2=-0.090 01,電機的參數(shù)如表1所示。
表1 仿真電機參數(shù)
在反電動勢抖振對比分析中,轉(zhuǎn)速環(huán)、電流環(huán)的PI調(diào)節(jié)器參數(shù)和滑模觀測器的k1,k2,g1,g1數(shù)值相同,只有控制函數(shù)不同。其中,凸控制函數(shù)選用正弦函數(shù),其數(shù)學(xué)表達式見式(21),它關(guān)于y=ax對稱的凹控制函數(shù)g4(x)如式(31)所示,結(jié)合sin(ax)的麥克勞林展開式,忽略高次項,運用MATLAB軟件,解出其數(shù)學(xué)表達式,其中a均取0.785,φ均取2。
圖6(a)為電機空載情況下,給定轉(zhuǎn)速4100r/min,采用凹、凸控制函數(shù)下的反電動勢抖振波形。當(dāng)電機穩(wěn)定在額定轉(zhuǎn)速,在t=0.6 s時刻,突加0.38 N·m的額定負載,此時基于不同控制函數(shù)下的反電動勢抖振波形如圖6(b)所示。對圖6分析可得,加載前后,采用凹、凸控制函數(shù),觀測的反電動勢都是有抖振的,但是采用凹控制函數(shù)的反電動勢抖振是明顯減小的,這也證明了前文分析的正確性。
(a) 空載時,凸、凹控制函數(shù)下的反電動勢抖振
(b)加載時,凸、凹控制函數(shù)下的反電動勢抖振
基于前面所述的凹控制函數(shù)建立BLDCM無位置傳感器控制系統(tǒng),電機在α,β軸下的反電動勢、轉(zhuǎn)子位置角和轉(zhuǎn)速的波形如圖7~圖13所示,其中t=0.6 s時刻,突加0.38 N·m的額定負載。
圖7 空載情況下,
波形
圖8 加載情況下,
波形
圖9 空載情況下,
波形
圖10 加載情況下,
波形
圖11 空載情況下,轉(zhuǎn)子位置角θ波形
圖12 加載情況下,轉(zhuǎn)子位置角θ波形
圖13 空載和加載情況下的轉(zhuǎn)速波形
對上面各圖分析可知,基于凹控制函數(shù)作為滑模觀測器中的控制函數(shù),不管是在空載還是在突加負載情況下,反電動勢和轉(zhuǎn)子位置角估算值都是可以跟隨實際值的,反電動勢沒有出現(xiàn)明顯的抖振,電機轉(zhuǎn)速也比較平穩(wěn),加載前后只有十幾轉(zhuǎn)速差,轉(zhuǎn)子位置角約有3°差值,沒有出現(xiàn)大的相移。本文的方法是正確有效的,能削弱反電動勢抖振和提高轉(zhuǎn)子位置角精度。
本文從函數(shù)的凹凸性角度分析了已有的控制函數(shù),提出了一種凹控制函數(shù),并將其應(yīng)用到滑模觀測器中作為控制函數(shù),并理論證明了基于凹控制函數(shù)的滑模觀測器中的反電動勢抖振明顯小于采用凸控制函數(shù)的,是可以削弱抖振的。仿真結(jié)果表明,在負載以及轉(zhuǎn)速突變的情況下,本文方法都能準(zhǔn)確得到平滑的反電動勢,及時跟蹤電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)角變化,具有較好的穩(wěn)態(tài)精度和良好的控制性能。