邵定國，楊澤眾

(上海大學，上海 200072)

0 引 言

對永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)來說，獲得準確的轉(zhuǎn)子位置角度是PMSM能夠穩(wěn)定運行并且達到理想控制效果的必要條件。針對轉(zhuǎn)子位置角度的檢測現(xiàn)分為有位置傳感器法與無位置傳感器法兩類。有位置傳感器法通過安裝高分辨率位置傳感器獲取高精度轉(zhuǎn)子位置，但傳感器的安裝使得PMSM控制系統(tǒng)的尺寸和成本增加，且高分辨率位置傳感器易受環(huán)境影響[1-3]。無位置傳感器法省去了位置傳感器，須檢測電流、電壓等電參數(shù)，并結(jié)合電機本身參數(shù)，通過觀測器，高頻注入、模型參考自適應(yīng)估計器等算法來對轉(zhuǎn)子位置進行估計[4]。但無位置傳感器法控制算法復(fù)雜，對電機參數(shù)要求高，存在起動速度慢、動態(tài)性能不理想等問題。

為了同時彌補有位置傳感器法與無位置傳感器法的缺陷，基于低分辨率位置傳感器的方案成為一種權(quán)衡成本與控制性能的選擇。常用的低分辨率位置傳感器有開關(guān)型霍爾器件，它具有成本低、體積小、可靠性高等特點，但在一個電角度周期內(nèi)只能提供6個離散的角度位置信號，無法實時檢測準確的轉(zhuǎn)子位置角度。因此，如何處理霍爾離散位置信號以獲得準確、高精度的位置信號是低分辨率位置傳感器的研究熱點，這種基于低分辨率霍爾位置傳感器的PMSM磁場定向控制算法簡稱為HallFOC。常用的HallFOC算法有平均速度法[5]等。文獻[6]提出了平均加速度法，這種算法在電機轉(zhuǎn)速突變時對扇區(qū)內(nèi)進行角加速度補償。文獻[7]提出了基于電流補償?shù)乃惴?，可以較精確地對扇區(qū)內(nèi)角度進行角加速度補償。文獻[8]提出了矢量追蹤觀測器的方法，這種方法采用狀態(tài)觀測器來處理低分辨率位置信號。以上方法均可估測出轉(zhuǎn)子位置角度，但存在以下問題：電機轉(zhuǎn)速突變時估測轉(zhuǎn)子角度準確性下降；需要辨識系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量；算法過于復(fù)雜，在微處理器中實現(xiàn)難度大。

本文在分析了2種HallFOC算法基本原理的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種基于最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC控制方法。通過仿真和實驗驗證了該方法處理過后的低精度離散位置信號能夠平滑地追蹤真實的轉(zhuǎn)子位置角度，電機電流波形正弦度較好，運行平穩(wěn)，具有良好的工程應(yīng)用價值。

1 HallFOC算法基本原理

1.1 霍爾元器件檢測基準位置原理

PMSM在定子側(cè)以互差120°電角度的位置安裝3個霍爾元件HA,HB,HC，當轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時，霍爾元件會產(chǎn)生3個相位差120°電角度的高低電平信號[9]?；魻栃盘枙⒁粋€電周期劃分為6個扇區(qū)，每個扇區(qū)60°電角度，通過微處理器可以捕獲每個扇區(qū)內(nèi)的運行時間t。為了獲得準確的轉(zhuǎn)子角度， 電機繞組A相接電源正極，B，C兩相接電源負極，定子磁場與轉(zhuǎn)子磁場相互作用，最終定位到轉(zhuǎn)子的零位點，也就是A相繞組的軸線位置。確定零位點后，根據(jù)PMSM方波控制時的霍爾信號順序，可以得到霍爾信號與轉(zhuǎn)子位置的對應(yīng)關(guān)系，如表1所示。

表1 霍爾信號與轉(zhuǎn)子位置對應(yīng)關(guān)系

后續(xù)的仿真與實驗均依照表1中的霍爾信號狀態(tài)與轉(zhuǎn)子位置角對應(yīng)關(guān)系為基準進行。

1.2 基于平均加速度法的位置估算原理

HallFOC平均速度法中假設(shè)電機的機械時間常數(shù)遠大于電氣時間常數(shù)，認為每個扇區(qū)內(nèi)速度恒定不變，并且忽略從上一扇區(qū)到下一扇區(qū)的速度突變，因此文獻[5]中提出可以用一個扇區(qū)內(nèi)的時間t(i)計算出該扇區(qū)內(nèi)的平均角速度ω(i):

(1)

將上一扇區(qū)的平均角速度ω(i-1)近似作為當前扇區(qū)的平均速度，可得當前轉(zhuǎn)子位置角θp(t)：

(2)

式中：tp和ti分別為當前時刻與進入當前扇區(qū)時刻，θi為扇區(qū)起始基準位置角。對式(2)進行數(shù)字離散化處理，得：

θ(kTs)=θi+ω(i-1)kTs

(3)

式中：k為采樣計數(shù)；Ts為采樣周期。

當電機轉(zhuǎn)子極對數(shù)較少的情況下，電機在加減速過程中扇區(qū)間的速度變化較大。針對這種沒有考慮扇區(qū)切換時加速度的問題，文獻[6]提出了一種基于平均加速度的改進方法，引入角加速度補償。其估計算法原理圖如圖1所示。

圖1平均加速度法原理圖

由式(1)可以求得當前扇區(qū)上2個扇區(qū)的角速度ω(i-1)和ω(i-2)。平均加速度法假設(shè)在每個扇區(qū)內(nèi)角加速度不變，并且扇區(qū)切換時角加速度不突變。因此可以認為轉(zhuǎn)子扇區(qū)i-1和扇區(qū)i-2做勻加速運動，可列出相關(guān)運動學方程如下：

(4)

式中：t(i-1)和t(i-2)為經(jīng)過前2個扇區(qū)的時間；ω(i-1)mid，ω(i-2)mid分別為扇區(qū)i-1和扇區(qū)i-2的中間時刻角速度；α為角加速度。因此由上式可得：

(5)

因此扇區(qū)i的起始角速度ω0如下：

(6)

將該平均加速度α作為當前扇區(qū)的補償加速度，可得當前角度：

(7)

將式(7)進行數(shù)字離散化處理后可得：

(8)

2 基于最小二乘法線性插值位置估計

由于通過低分辨率霍爾傳感器獲得的離散增量位置信號和時間信號是一組離散的點，如圖2所示?？赏ㄟ^最小二乘法線性插值來對這些離散點進行線性擬合，得到角度與時間的函數(shù)關(guān)系，以此來進行轉(zhuǎn)子位置角的高精度估計[10]。

圖2離散增量位置信號與時間信號示意圖

在使用最小二乘法進行函數(shù)線性擬合時，首先要確立變量的線性回歸方程，建立離散化線性回歸方程如下：

Δθ(kTs)=λ+βkTs

(9)

式中：Δθ(kTs)為增量角度離散點；kTs為時間離散點；λ和β為待求解的最優(yōu)參數(shù)。

最小二乘法要根據(jù)已測量的數(shù)據(jù)坐標進行最優(yōu)化求解，根據(jù)MCU定時器捕獲扇區(qū)時間的計數(shù)值，建立測量數(shù)據(jù)坐標集，如表2所示。

表2 離散角度增量與離散時間坐標集

由上述數(shù)據(jù)可得如下方程：

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)文獻[11]中最小二乘法求解線性回歸方程最優(yōu)解的方法，可求得λ和β如下：

(14)

(15)

聯(lián)合表1中的基準位置角度就可以對PMSM的轉(zhuǎn)子位置角度進行估計：

θ(kTs)=θi+λ+βkTs

(16)

但這種方法是通過MCU來捕獲6個扇區(qū)的時間，存在明顯的滯后性；而且當發(fā)生加減速時，會使得這些離散坐標點偏離線性程度加大，最終會使得估算位置誤差加大。為了改善其估算效果，引入基于估測角度補償器的方法來對估算角度進行誤差補償。

3 估測角度補償器

在α，β坐標系下和d，q坐標系下可分別可得到PMSM的電壓與磁鏈方程如下：

(17)

(18)

式中：uα，uβ,iα，iβ,ψα，ψβ，分別為靜止坐標系下α，β軸定子電壓分量，電流分量，磁鏈分量；ψd，ψq,Ld，Lq,id，iq分別在旋轉(zhuǎn)坐標系下d，q軸磁鏈分量，電感分量，電流分量；ψf為永磁體磁鏈。

由式(17)和式(18)通過檢測電流和電壓可計算出d，q軸磁鏈分量，α，β軸磁鏈分量。PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩可以通過旋轉(zhuǎn)坐標系下相關(guān)d，q軸分量求得，也可以通過靜止坐標系下相關(guān)α，β軸分量求得：

Tr_cal=1.5p[ψfiq+(Ld-Lq)iqid]

(19)

Ts_ob=1.5p(ψαiβ-ψβiα)

(20)

式中：Tr_cal為旋轉(zhuǎn)坐標系下計算出的電磁轉(zhuǎn)矩；Ts_ob為靜止坐標系下計算出的電磁轉(zhuǎn)矩；p為PMSM極對數(shù)。

聯(lián)立式(17)～(20)可求得Ts_ob，將靜止坐標系和旋轉(zhuǎn)坐標系下相關(guān)變量進行統(tǒng)一，得到如圖3所示的轉(zhuǎn)矩Ts_ob計算原理框圖。靜止坐標系下的磁鏈ψα和ψβ可由式(17)計算得出，也可以通過旋轉(zhuǎn)坐標系下相關(guān)變量求解出ψd和ψq，再由反Park變換得到ψα和ψβ。

圖3用于估測角度補償?shù)霓D(zhuǎn)矩計算原理框圖

如果估算出的轉(zhuǎn)子位置角度誤差較小時，2種方式下求得的磁鏈相差較小，并且其磁鏈差值通過PI控制器反饋補償給靜止坐標系變量求得磁鏈，反饋補償后達到誤差最小化輸出[ψα,ψβ]ob用于計算轉(zhuǎn)矩Ts_ob。Tr_cal和Ts_ob的差值ΔTerror經(jīng)過補償控制器輸出用于估算角度補償，其原理框圖如圖4所示。

圖4估測角度補償原理圖

當角度估算誤差增加時，會使得經(jīng)過Park與反Park變換后的變量值偏離真實值，因此Tr_cal與Ts_ob的差值ΔTerror增加，ΔTerror經(jīng)過Gc(s)后得到補償角度θc，為了簡化補償器結(jié)構(gòu)，Gc(s)選用PI控制器。結(jié)合上面的最小二乘法線性插值估算出的角度，補償后估算角如下：

θ(kTs)=θi+λ+βkTs+θc

(21)

當估測角度θ(kTs)得到補償后會使得ΔTerror減小，角度補償減弱。而當估測角度誤差增加時，ΔTerror增大，角度補償加強，使得估測角度θ(kTs)與真實角度之間誤差不斷減小，從而起到角度補償調(diào)節(jié)作用。

4 2種HallFOC方法的對比分析

無論是平均加速度法，還是本文的HallFOC控制方法，都是利用有限的已測量的時間計數(shù)值與離散角度基準值去求解角度位置θ(kTs)與時間kTs函數(shù)關(guān)系中未知量估計值。而由于噪聲和EMI的存在，實際MCU定時器捕獲計數(shù)值時難免會存在誤差。平均加速度法是觀測2次數(shù)據(jù)值，其相當于將2次測量存在的誤差疊加，沒有考慮到誤差的正負，因此其最終求解未知量估計值時并沒有反映真實誤差最小，求解的未知量估計值也非最優(yōu)。本文的方法中選擇觀測6次數(shù)據(jù)值，依照最小二乘法原則[11]進行未知量參數(shù)估計，以誤差平方和最小為依據(jù)，考慮到了觀測誤差的正負，因此其未知量估計值最優(yōu)解求解過程更能反映真實誤差最小。而且在估測角度與真實角度誤差較大時，通過角度誤差最終會影響到不同坐標系下的轉(zhuǎn)矩計算，將轉(zhuǎn)矩差值經(jīng)過補償器補償給估測角度，使得Park變換更加準確。從以上對比分析可以得出，本文的HallFOC方法較平均加速度法應(yīng)具有更好的角度估測性能，下面通過仿真與實驗進行驗證。

5 仿真與實驗結(jié)果

為了驗證本文的最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC混合控制方法性能，分別在MATLAB/Simulink的軟件平臺和以Infineon XMC4700控制器為核心的硬件平臺進行仿真與實驗研究。仿真與實驗用到的24 V/60 W PMSM參數(shù)：極對數(shù)2，定子電阻0.31 Ω,d軸電感2 mH,q軸電感2 mH,轉(zhuǎn)子磁鏈0.014 28 Wb。

5.1 仿真結(jié)果分析

仿真中分別采用平均加速度法與本文的角度估算方法獲得轉(zhuǎn)子位置角。為了對比變轉(zhuǎn)速下2種估算角度方法的性能，仿真中分別在0點給定500 r/min,0.25s給定1000r/min,0.4s給定1500r/min；負載轉(zhuǎn)矩為0.15 N·m。圖5、圖6是基于平均加速度法的仿真波形，圖7、圖8是基于本設(shè)計方法的仿真波形。

圖5基于平均加速度法的估測角度與實際角度波形

圖6基于平均加速度法的變轉(zhuǎn)速下角度誤差波形

圖7基于最小二乘法線性插值與估算角度補償器結(jié)合的估測角度與實際角度波形

圖8基于最小二乘法線性插值與估算角度補償器結(jié)合的變轉(zhuǎn)速下角度誤差波形

從以上仿真波形中可以看出，2種轉(zhuǎn)子位置角度估算方法最終都可以穩(wěn)定平滑地追蹤真實的轉(zhuǎn)子位置角度，但在變轉(zhuǎn)速下的追蹤效果有所不同。平均加速度法在前0.05 s由于電機轉(zhuǎn)速較低，估測轉(zhuǎn)子位置角度誤差在1 rad內(nèi)；最小二乘法線性插值與估算角度補償器結(jié)合法在前0.04 s同樣存在1 rad的角度誤差，起動低速階段對估測轉(zhuǎn)子位置角度性能改善不大。隨著電機轉(zhuǎn)速穩(wěn)定達到給定轉(zhuǎn)速，2種轉(zhuǎn)子位置角度估算方法的角度誤差均較小。但是在0.25 s和0.4 s速度給定突增時，對比圖6與圖8可以發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)速過渡時間內(nèi)，基于最小二乘法線性插值與估算角度補償器結(jié)合法較平均加速度法角度誤差更小，而且估測角度可以更加平滑地追蹤真實轉(zhuǎn)子位置角度，估測轉(zhuǎn)速也較為穩(wěn)定平滑地追蹤電機的真實轉(zhuǎn)速。以上仿真結(jié)果驗證了本文的最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC混合控制方法的可行性，而且角度估測性能較平均加速度法的HallFOC控制方法好。

5.2 實驗結(jié)果分析

為驗證本文的HallFOC控制方法，搭建以Infineon XMC4700控制器為核心的實驗平臺，控制芯片主頻為144 MHz，逆變器開關(guān)頻率為16 kHz。電機實驗平臺如圖9所示，實驗所用電機額定電壓為24 V,額定電流為4.2A。為了彌補低速性能缺陷，實驗中低速方波起動，轉(zhuǎn)速達到切換點后采用Id=0的PMSM正弦波控制。

圖9電機實驗平臺

實驗所用電機安裝有3個霍爾位置傳感器與1 000線的光電編碼器。實驗中以光電編碼器輸出信號作為基準位置信號，與估測位置信號做對比；實驗過程中給定轉(zhuǎn)速為1500r/min，所加負載為0.15 N·m；電機先方波控制開環(huán)起動，到達切換點后開始正弦波控制閉環(huán)運行。實驗波形如圖10～圖13所示。

圖10為基于最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的估測角度與光電編碼器輸出角度比較。可以看出估測角度穩(wěn)定追蹤光電編碼器輸出角度，角度位置基本一致，證實了該方法估測角度的準確性。

圖11為電機方波起動切換至正弦波運行的A相電流波形。從圖11中可以看出，A相電流波形在控制方法改變后，從方波變?yōu)檎也ㄟ^程中過渡平滑，沒有出現(xiàn)電流波形嚴重畸變的情況，其過渡時間為一個電周期。

圖10估測角度與光電編碼器角度波形

圖11方波起動切換至正弦波運行A相電流波形

為了比較基于平均加速度法的HallFOC控制方法和本文的最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC控制方法性能差異，分別采用這2種方法進行實驗測試，給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min。圖12，圖13為這2種方法下的A相電流波形?？梢钥吹?，2種方法在1 500 r/min,額定負載條件下，A相電流峰峰值為6.4 A，且正弦度均較好，證明了HallFOC控制方法的有效性。但從相電流的平滑性來講，基于最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC控制方法下的A相電流更為平滑，正弦度較平均加速度法要好些

圖12基于平均加速度法的HallFOC控制方法的A相電流波形

圖13基于最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC控制方法的A相電流波形。

6 結(jié) 語

本文設(shè)計了一種基于最小二乘法線性插值與估測角度補償器結(jié)合的HallFOC控制方法。通過仿真與實驗對該方法進行了驗證，結(jié)果表明，該方法估測出的角度可以穩(wěn)定追蹤PMSM實際轉(zhuǎn)子位置角度，較平均加速度法在減小估測角度誤差方面更加優(yōu)越；從方波控制可以平滑切換到正弦波控制；電機相電流正弦度較好，相比基于平均加速度法的HallFOC控制方法，電流控制更加平滑。該方法可以降低PMSM控制成本，具有良好的使用價值。