■湖南省汨羅市第一中學(xué) 周輝林

利用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律來(lái)分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,稱之為應(yīng)用能量的觀點(diǎn)分析求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。若題目沒(méi)有涉及加速度和時(shí)間,則無(wú)論是恒力做功還是變力做功,不管是直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng),動(dòng)能定理均適用。當(dāng)只存在動(dòng)能、勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化時(shí),則應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。當(dāng)存在除機(jī)械能以外的其他能量時(shí),則應(yīng)用能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律。

一、動(dòng)能定理的應(yīng)用

例1我國(guó)將于2022年舉辦冬奧會(huì),跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一。如圖1所示,質(zhì)量m=60kg的運(yùn)動(dòng)員從長(zhǎng)直助滑道AB的A處由靜止開(kāi)始以加速度a=3.6m/s2勻加速滑下,到達(dá)助滑道末端B時(shí)的速度vB=24m/s,A、B兩點(diǎn)間的豎直高度差H=48m。為了改變運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)方向,在助滑道與起跳臺(tái)之間用一段彎曲滑道銜接,其中最低點(diǎn)C處附近是一段以O(shè)為圓心的圓弧。助滑道末端B與滑道最低點(diǎn)C的高度差h=5m,運(yùn)動(dòng)員在B、C兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí),阻力做功W=-1530J,取g=10m/s2。

圖1

(1)求運(yùn)動(dòng)員在滑道AB上下滑時(shí)受到阻力f的大小。

(2)若運(yùn)動(dòng)員能夠承受的最大壓力為其自身重力的6倍,則C點(diǎn)所在圓弧的半徑R至少應(yīng)為多大?

解析:(1)運(yùn)動(dòng)員在滑道AB上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng),設(shè)滑道AB的長(zhǎng)度為x,則,解得x=80m。由牛頓第二定律得,解得

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為vC,則運(yùn)動(dòng)員在從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中,由動(dòng)能定理得解得vC=25m/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)員在C點(diǎn)所受的支持力為N,由牛頓第二定律得N-mg=由題意和牛頓第三定律得N=6mg。聯(lián)立以上各式解得R=12.5m。

思維方法:利用動(dòng)能定理時(shí),需要先確定研究對(duì)象,做好受力分析和過(guò)程分析,再判斷哪些力做功、哪些力不做功、哪些力做正功、哪些力做負(fù)功,然后確定總功及初、末狀態(tài)物體的動(dòng)能,最后列動(dòng)能定理方程求解。

二、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

圖2

例2如圖2所示,由四分之一圓弧AB和二分之一圓弧BC組成的光滑軌道固定在豎直平面內(nèi),兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R,BC弧的半徑為。一小球從A點(diǎn)正上方與A點(diǎn)相距處由靜止開(kāi)始自由下落,經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。

(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比。

(2)通過(guò)計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。

解析:(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m,小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA,由機(jī)械能守恒定律得EkA=mg·。設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為E,同理kB得

(2)若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),則小球在C點(diǎn)所受軌道的支持力N應(yīng)滿足N≥0。設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC,由牛頓第二定律和向心力公式得解得在小球從開(kāi)始下落至到達(dá)C點(diǎn)的全過(guò)程中,由機(jī)械能守恒定律得mg·解得因此小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。

思維方法:利用機(jī)械能守恒定律時(shí),需要先確定研究對(duì)象,做好受力分析和過(guò)程分析,再判斷是否符合機(jī)械能守恒的適用條件,然后選取初、末狀態(tài)并確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能,最后列機(jī)械能守恒定律方程求解。

三、能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律的應(yīng)用

圖3

例3如圖3所示,固定斜面的傾角θ=30°,物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)輕彈簧下端固定在斜面底端,彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)其上端位于C點(diǎn)。用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)輕質(zhì)光滑的定滑輪連接物體A和B,滑輪右側(cè)的輕繩與斜面平行,物體A的質(zhì)量為2m,物體B的質(zhì)量為m,初始時(shí)物體A到C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)?，F(xiàn)給物體A、B一初速度使物體A開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng),物體B豎直向上運(yùn)動(dòng),物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到C點(diǎn)。已知重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力,整個(gè)過(guò)程中輕繩始終處于伸直狀態(tài),求:

(1)物體A向下運(yùn)動(dòng)剛到C點(diǎn)時(shí)的速度。

(2)彈簧的最大壓縮量。

(3)彈簧的最大彈性勢(shì)能。

解析:(1)物體A與斜面間的滑動(dòng)摩擦力f=2μmgcosθ,物體A在從初始位置向下運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中,根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律得解得

(2)在物體A剛接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到C點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程中,對(duì)由物體A、B組成的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理得解得

(3)在彈簧被壓縮到最短到恰好能彈回到C點(diǎn)的過(guò)程中,對(duì)由物體A、B組成的系統(tǒng)應(yīng)用能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律得Ep+mgx=2mgxsinθ+fx,解得

思維方法:利用能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律時(shí),需要先確定研究對(duì)象,做好受力分析和過(guò)程分析,再明確有哪些力做功,做功的結(jié)果是導(dǎo)致了何種形式的能量相互轉(zhuǎn)化,然后建立ΔE增=ΔE減的關(guān)系求解或討論。

圖4

1.如圖4所示,質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置。現(xiàn)用水平拉力F將小球緩慢地拉到細(xì)線與豎直方向成θ角的位置。在此過(guò)程中,拉力F做的功為( )。

A.FLcosθ

B.FLsinθ

C.FL(1-cosθ)

D.mgL(1-cosθ)

圖5

2.如圖5所示,可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接,跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱,A球的質(zhì)量為B球的兩倍。當(dāng)B球位于地面時(shí),A球恰與圓柱軸心等高。將A球由靜止釋放,B球上升的最大高度是( )。

圖6

3.如圖6所示,質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的小車靜止在光滑水平面上。質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放在小車的最左端?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在小物塊上,使小物塊從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),小物塊和小車間的摩擦力為f,小物塊滑到小車的最右端時(shí),小車運(yùn)動(dòng)的距離為s。在這個(gè)過(guò)程中,以下結(jié)論正確的是( )。

A.小物塊到達(dá)小車最右端時(shí)具有的動(dòng)能為F(L+s)

B.小物塊到達(dá)小車最右端時(shí),小車具有的動(dòng)能為fs

C.小物塊克服摩擦力所做的功為f(L+s)

D.小物塊和小車增加的機(jī)械能為fs

參考答案:1.D 2.C 3.BC