楊艷 劉生建 周永權(quán)

摘要：為提高傳統(tǒng)方法求解二重數(shù)值積分精度，提出利用人工螢火蟲群優(yōu)化算法求解二重積分的新方法。該方法初始時將矩形積分區(qū)域兩個方向分割成若干不等距節(jié)點，通過螢火蟲算法優(yōu)化這些節(jié)點，以優(yōu)化后的節(jié)點為分割點求數(shù)值積分的值，以得到比較精確的積分結(jié)果。數(shù)值積分算例表明，該算法得到的積分值精度高、自適應(yīng)性強(qiáng)，是一種有效的數(shù)值積分方法，在數(shù)值計算、工程實際應(yīng)用中具有一定的參考和應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：人工螢火蟲群優(yōu)化算法；二重積分；不等距節(jié)點；智能優(yōu)化算法

DOI：10.11907/rjdk.173096

中圖分類號：TP312

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-7800（2018）007-0116-04

Abstract：Inordertoimprovetheaccuracyproblemofdoublenumericalintegrationoftraditionalalgorithms，anewmethodforsolvingdoublenumericalintegrationbasedonartificialglowwormswarmoptimizationalgorithm（GSO）ispresented.GSOisusedtooptimizethenodepointsonthedirectionrangeinrectangularintegrationdomaintogetamorepreciseintegrationresult.Simulationexamplesofintegrationshowthealgorithmisavalidatedmethodwithhighprecisionandpowerfulself-adapting.Thealgorithmhasvalueinnumericalcalculationandengineeringpractice.

KeyWords：artificialglowwormswarmoptimizationalgorithm；doubleintegration；unequalnodepoints；intelligenceoptimizationalgorithm

0引言

二重數(shù)值積的求解問題是科學(xué)計算與工程技術(shù)領(lǐng)域常見問題之一。傳統(tǒng)的二重數(shù)值積分計算方法有梯形法、Newton-Cotes方法、Simpson方法、Gauss積分法等[1-4]。在求解二重積分過程中，傳統(tǒng)方法不適于原函數(shù)表達(dá)過于復(fù)雜的情況。求解二重積分的過程是分化成二次積分求解過程。傳統(tǒng)方法在計算二重積分時不考慮被積函數(shù)形狀，節(jié)點的劃分是等距的，或在整個計算過程中等距節(jié)點數(shù)不變，或在選擇好的等距節(jié)點基礎(chǔ)上繼續(xù)等距分割，這些按等距節(jié)點分割法求積公式難以求得精確度高的積分值，只有增加更多的節(jié)點才能得到較高精度。最理想的分割方法是根據(jù)被積函數(shù)曲線的凹凸形狀確定分割點位置，函數(shù)值變化大的區(qū)域分割點多，劃分的子區(qū)域就多；函數(shù)值變化小的地方分割點少，劃分的子區(qū)域就少。最后優(yōu)化分割點進(jìn)行積分求和，這樣求得的函數(shù)積分比傳統(tǒng)方法精度高。使用智能算法求解二重數(shù)值積分的新方法越來越多，如進(jìn)化策略、粒子群算法及人工魚群算法等[5-7]，對新型群智能算法求解二重數(shù)值積分問題非常必要。

Krishnanand和Ghose[8]受自然界中螢火蟲發(fā)光發(fā)亮吸引伴侶或獵物行為啟發(fā)，于2005年提出人工螢火蟲群優(yōu)化算法（GlowwormSwarmOptimization：GSO）。GSO是一種新的群智能仿生算法，它具有良好的求取全局極值和搜索多極值問題能力，已在多極值函數(shù)求解、高噪音影響問題、尋找危險信號源位置、跟蹤多個移動信號源等諸多方面得到了應(yīng)用[8]。算法提出后諸多學(xué)者對螢火蟲算法進(jìn)行了改進(jìn)研究，并應(yīng)用于組合優(yōu)化、經(jīng)濟(jì)調(diào)度等領(lǐng)域[9-12]。

本文基于人工螢火蟲算法，通過不等距節(jié)點分割求解二重積分，基本思想是：將人工螢火蟲看做矩形積分區(qū)間兩個方向上產(chǎn)生的節(jié)點，通過人工螢火蟲的移動原理對節(jié)點進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到這些點基本上根據(jù)函數(shù)圖像的凹凸形狀排列的目的，最后以優(yōu)化后的節(jié)點為最優(yōu)節(jié)點進(jìn)行積分求和，得到所求被積函數(shù)比較精確的積分值。

1人工螢火蟲群優(yōu)化算法（GSO）原理

設(shè)N個螢火蟲組成一個群體在m維的目標(biāo)搜索空間進(jìn)行搜索，該群體根據(jù)熒光素值的相近程度分成nei個鄰域，每個鄰域內(nèi)螢火蟲i以概率Pij在決策域范圍Rd（0

GSO算法主要通過熒光素值更新方程（1）、概率分布方程（2）、位置更新方程（3）和局部決策域范圍更新方程（4）對螢火蟲進(jìn)行操作，模擬求解函數(shù)最優(yōu)值。

2人工螢火蟲群優(yōu)化算法求解二重數(shù)值積分

2.1個體表達(dá)方法確定

設(shè)x軸和y軸上的螢火蟲個體均由位置、螢光素值兩部分組成，X和Y表示位置，LX和LY表示熒光素值，x軸、y軸方向上的個體每部分分別包含S和D個分量，即

2.2算法步驟

（1）群體初始化。分別在x軸和y軸兩個方向上隨機(jī)生成一個初始群體，每個初始群體由N個人工螢火蟲個體組成，x軸方向上的每個個體（Xi，LXi）內(nèi)包含S個xi、lxi分量，y軸方向上的每個個體（Yi，LYi）內(nèi)包含D個yi、lyi分量。設(shè)定初始熒光素值l0，初始決策范圍Rd0，感知范圍Rs，鄰域個數(shù)nei，移動步長step，最大迭代次數(shù)iter_max。

（2）適應(yīng)度值計算[6]：在兩個方向上將隨機(jī)產(chǎn)生的個體分別置于積分區(qū)間的左、右端點之間，各自按照升序排。x軸方向上產(chǎn)生的初始群體的第一個個體對應(yīng)y軸方向上產(chǎn)生的初始群體的第一個個體，其它依此類推。x軸方向上有S+2個節(jié)點和S+1個小段，y軸方向上有D+2個節(jié)點和D+1個小段，這樣積分區(qū)域分割成（S+1）×（D+1）個小矩形；分別計算x軸、y軸上S+2和D+2個相鄰節(jié)點之間的距離di、dj（i=1，2，…，S+1，j=1，2，…，D+1）及小矩形面積areaij=di×dj，再計算出每個小矩形的4個頂點和小矩形中點對應(yīng)的函數(shù)值，并找出這5個函數(shù)值中的最小值Minij和最大值Maxij，則螢火蟲個體的適應(yīng)度為：

3數(shù)值實驗

為驗證本算法的有效性和正確性，選取文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[6]給出的實例，與傳統(tǒng)的復(fù)化梯形法和復(fù)化辛普生法比較。本實驗用MATLAD7.6編寫仿真程序，其中算法的參數(shù)設(shè)計如下：l0=5，step=0.03，Rd0=1，Rs=1，nei=5，ρ=0.4，β=0.08，γ=0.6，iter_max=50，進(jìn)行30次獨立實驗。

已知積分的準(zhǔn)確值為0.28768210，本文算法中N=50，采用兩種方法得到的積分結(jié)果及誤差如表1所示。從表1可以看出，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越長，時間復(fù)雜度越大。圖1為本文算法在計算該函數(shù)積分x向和y向剖分段數(shù)為64時，獨立運行次數(shù)與每次得到的最優(yōu)積分值之間的曲線圖，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優(yōu)積分值都接近積分準(zhǔn)確值，驗證了算法的有效性和可行性。

程序中a=1，b=2，c=1，d=2，N=50，已知積分的準(zhǔn)確值為0.2500000，采用兩種方法得到的積分結(jié)果及誤差如表2所示。從表2可以看出，本文算法能夠求得積分的近似值且誤差較小，但不及參考文獻(xiàn)算法所求的積分近似值好；同時，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越多，時間復(fù)雜度就越大。圖2為本文算法在計算該函數(shù)積分x向和y向剖分段數(shù)為64時，獨立運行次數(shù)與每次得到的最優(yōu)積分值之間的曲線圖，從圖中可以看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優(yōu)積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

已知積分的準(zhǔn)確值為0.4720828，被積函數(shù)無原函數(shù)。本文算法中N=50，采用兩種方法得到的積分結(jié)果及誤差如表3所示。從表3可以看出，本文算法能夠求得積分的近似值，但誤差較大，不及參考文獻(xiàn)算法所求的積分近似值好；同時，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越多，時間復(fù)雜度就越大。圖3為GSO算法在計算該函數(shù)積分x向和y向分割點為32時，獨立運行次數(shù)與每次得到的最優(yōu)積分值之間的曲線，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優(yōu)積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

已知積分的準(zhǔn)確值為5.1001700，被積函數(shù)在（0，0）點無定義，本文算法中N=100。采用兩種方法得到的積分結(jié)果及誤差如表4所示。從表4可以看出，當(dāng)x向和y向分割點均為64時，本文算法求得的積分值精度較高，誤差較??；同時，在GSO算法中分割點越多，平均耗時越多，時間復(fù)雜度就越大。圖4為本文算法在計算該函數(shù)積分x向和y向剖分段數(shù)為64時，獨立運行次數(shù)與每次得到的最優(yōu)積分值之間的曲線圖，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優(yōu)積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

已知積分的準(zhǔn)確值為0.42955452600，復(fù)化辛普生方法中x向和y向均分成100份，所求得積分值為0.4295524387，相對誤差為0.00000486。本文算法中N=100，x向和y向分割點均為100，所得積分值為0.429557437360488，相對誤差為2.911360487800607e-006，可見，本文算法求得的積分值精度較高，誤差較小。獨立運行30次的平均耗時為7.945130930000005ms。圖5為本文算法計算積分時，獨立運行次數(shù)與每次得到的最優(yōu)積分值之間的曲線圖，從圖中可看出獨立運行30次，幾乎每次得到的最優(yōu)積分值都接近積分精確值，驗證了算法的有效性和可行性。

4結(jié)語

本文提出了一種基于人工螢火蟲群算法求解二重積分的新方法。該方法初始時在矩形積分區(qū)域兩個方向的區(qū)間內(nèi)各自隨機(jī)選取一定的不等距節(jié)點，通過螢火蟲群算法優(yōu)化這些節(jié)點，以優(yōu)化后的節(jié)點為分割點求數(shù)值積分值，最后得到比較精確的積分結(jié)果。通過5個數(shù)值實驗表明，基于螢火蟲群優(yōu)化算法求二重積分的方法可行、有效，該方法具有計算精度較高、自適應(yīng)性強(qiáng)等特點，在數(shù)值計算和工程實際中有一定的應(yīng)用價值。

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（責(zé)任編輯：杜能鋼）