裴勝玉　童浪　李忠輝　李霞　江瑾　黃敬瑜

摘要：數(shù)學(xué)在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用非常廣泛，微積分不僅是經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要組成部分，同時也是對社會經(jīng)濟現(xiàn)象進行定性和定量分析的必要工具。在教學(xué)過程中，啟發(fā)式教學(xué)不能單純講理論講方法。本文以投資問題和洛倫茲曲線問題兩類典型應(yīng)用作為例子，剖析微積分的概念，探索微積分在社會經(jīng)濟生活服務(wù)中的魅力。從而論證了啟發(fā)式教學(xué)中專業(yè)實際相結(jié)合的重要性。

關(guān)鍵詞：微積分；經(jīng)濟應(yīng)用；啟發(fā)式教學(xué)；洛倫茲曲線

中圖分類號：O172 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）27-0073-03

一、問題情境

（一）導(dǎo)語

恩格斯曾給數(shù)學(xué)下過一個定義，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)[2]?？梢姅?shù)學(xué)是其他一切自然科學(xué)的根源。在《自然辯證法》中，恩格斯闡述了微積分產(chǎn)生的重大意義，文中闡述：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”，“自然界運用這些微分即分子時所使用的方式和所依據(jù)的規(guī)律，完全和數(shù)學(xué)運用其抽象的微分時的方式和規(guī)律相同”。微積分的產(chǎn)生，為其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了重要的理論方法。例如，利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟函數(shù)（如需求函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)等）的邊際變化的方法，稱為邊際分析方法，比如邊際成本，邊際收入和邊際利潤，這里的邊際函數(shù)，就是它的導(dǎo)數(shù)[3][4][5]。

教學(xué)主體為財經(jīng)類院校學(xué)生，學(xué)生在專業(yè)學(xué)習(xí)中遇到的經(jīng)濟問題多，但缺乏問題分析的能力，特別是微積分這部分的知識。下面將以投資問題和洛倫茲曲線問題這兩類典型應(yīng)用作為例子，對微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用進行分析和探討。

（二）投資問題[7][10]

問題情境：投資問題是人們常常關(guān)注的重要問題之一，人們常說：“理財有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎”。通過投資，希望獲取收益的同時，也需要考慮風(fēng)險問題，投資要為自己的錯誤買單，為自己的正確狂歡。

例1 張三一家人最近考慮購買一套商品房，需要向銀行抵押借貸S=72萬。設(shè)貸款年利率為r，每月等額還款，N=30年內(nèi)還清貸款，每月應(yīng)還銀行P元。如果銀行的年利率由10%增加到10.3%，試估算張三每月向銀行多付多少貸款？

分析：銀行還款方法有等額本金還款法和等額本息還款法兩種，本例探討的是等額本息還款法。該案例運用到了微積分中的求導(dǎo)法則，微分近似表示。通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數(shù)y=f（x）的微分又可記作dy=f′（x）dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。P的求解與變量S，r，N有關(guān)，下面計算各月還款后仍所欠貸款。

第1個月：S（1+ ）-P

第2個月：（S（1+ ）-P）（1+ ）-P=S（1+ ） -

P[1+（1+ ）]

第3個月：（（S（1+ ）-P）（1+ ）-P）（1+ ）-P=

S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） ]

第n個月：S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+（1+ ） ]

解：（1）P的求解如下

當(dāng)最后一月還款后，所欠貸款為0。

S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+

（1+ ） ]=0

？圯720000（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+

（1+ ） ]=0

？圯720000（1+ ） -P =0

？圯P=f（r）=

？圯P=f（0.1）=6318.515305

（2）每月向銀行多付貸款計算如下

ΔP≈dP=f′（r）dr，r=0.1，dr=0.1-0.103=-0.003

f′（r）= +

f′（0.1）=53205.596878828

ΔP≈dP=f′（r）dr=53205.596878828×0.003=159.61679

等額本金還款法和等額本息還款法略有不同，要根據(jù)具體情況來選擇相應(yīng)的還款方法。

（三）洛倫茲曲線問題[7][10]

問題情境：洛倫茲曲線研究的是國民收入在國民之間的分配問題。為了研究國民收入在國民之間的分配問題，美國統(tǒng)計學(xué)家（或說奧地利統(tǒng)計學(xué)家）M.O.洛倫茲（Max Otto Lorenz，1903- ）1907年（或說1905年）提出了著名的洛倫茲曲線。意大利經(jīng)濟學(xué)家基尼在此基礎(chǔ)上定義了基尼系數(shù)。

洛倫茲曲線用以比較和分析一個國家在不同時代或者不同國家在同一時代的財富不平等，該曲線作為一個總結(jié)收入和財富分配信息的便利的圖形方法得到廣泛應(yīng)用。

定義（基尼系數(shù)）：設(shè)實際收入分配曲線和收入分配絕對平等曲線之間的面積為A，實際收入分配曲線右下方的面積為B。其計算公式如下。

r=

顯然，基尼系數(shù)不會大于1，也不會小于零。聯(lián)合國有關(guān)組織規(guī)定，基于“基尼系數(shù)”的經(jīng)濟學(xué)判斷。一般來說，一個國家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于兩者之間。

例2 表2給出了1989年美國家庭收入的具體數(shù)據(jù)，試運用基尼系數(shù)分析該國家庭收入分配差距情況。

分析：表2將1989年美國家庭收入分為8個不同的組，每組對應(yīng)著相應(yīng)的家庭戶數(shù)，實際收入，利用這些數(shù)據(jù)材料，首先可以獲得相應(yīng)的洛倫茲曲線，然后通過非線性多項式擬合的方法近似給出相應(yīng)曲線的多項式函數(shù)，最后通過微積分中的定積分的相關(guān)概念求出面積A和B，進而計算獲得基尼系數(shù)，并對收入差距情況進行科學(xué)判斷。

解：（1）繪制洛倫茲曲線（見下頁圖1）

（2）多項式擬合曲線（見下頁圖2）

（3）求解基尼系數(shù)（見下頁圖3）

A+B的面積= f（x）dx= （-0.8977x +12.01x - 29.185x+23.136）dx

≈12.3224083

B的面積= g（x）dx= （0.4998x -9.1692x + 56.096x -124.77x+81.328）dx

≈4.7423133

A的面積= f（x）dx- g（x）dx= （f（x）-g（x））dx=7.580095

基尼系數(shù)：r= = = ≈0.615147

因為r≥0.5，根據(jù)判斷，1989年美國家庭收入差距懸殊。

在案例2中，本文運用多媒體技術(shù)，將美國家庭收入的具體數(shù)據(jù)運用圖象描繪出來，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，理解洛倫茲曲線；更進一步，通過多項式擬合的方式，幫助學(xué)生理解曲線的求解思路；最后探討隱藏在數(shù)據(jù)中的經(jīng)濟實質(zhì)問題。

二、結(jié)論

本文以投資問題和洛倫茲曲線問題兩類典型應(yīng)用作為例子，針對財經(jīng)類專業(yè)實際，設(shè)置問題情境，通過逐步引導(dǎo)，挖掘本質(zhì)，將微積分知識闡述到位，牢牢抓住教與學(xué)的關(guān)系，教是引導(dǎo)，學(xué)是主導(dǎo)。運用微積分的相關(guān)概念，探索微積分在社會經(jīng)濟生活服務(wù)中的魅力。當(dāng)然，兩個典型應(yīng)用不僅僅運用到微積分的相關(guān)知識，還運用到了數(shù)學(xué)歸納法、多項式擬合等理論知識。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用非常廣泛[6][8][9]，微積分不僅是經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要組成部分，同時也是對社會經(jīng)濟現(xiàn)象進行定性和定量分析的必要工具。通過本文的闡述，論證了啟發(fā)式教學(xué)中專業(yè)實際相結(jié)合的重要性。

參考文獻：

[1]陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[2]恩格斯.自然辯證法[M].北京：中國人民出版社，1971.

[3]鄒永紅.淺談高等數(shù)學(xué)中微積分的經(jīng)濟應(yīng)用[J].法制與經(jīng)濟：下旬刊，2009，（1）：127-128.

[4]譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用淺析[J].商場現(xiàn)代化，2008，（4）：392-393.

[5]黃燕平.經(jīng)濟管理專業(yè)微積分教學(xué)滲透專業(yè)思想探究[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報，2009，（8）：12-14.

[6]羅敏娜.基于數(shù)學(xué)史背景的微積分教學(xué)[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，（4）：578-580.

[7]劉云芳，胡婷，周海兵.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)：微積分[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2015.

[8]吳元芬.論微積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010，（15）：55-56.

[9]張寶全.“微積分”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計[J].新課程研究：中旬刊，2010，（12）：57-58.

[10]皮利利.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京：機械工業(yè)出版社，2010.