汪瑋瑋，張愛(ài)華

(南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210046)

0 引 言

將分形理論[1]用在圖像壓縮上之所以有作用，是因?yàn)楦鶕?jù)此理論，從計(jì)算的角度很多復(fù)雜的圖像信息含量很少，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的算法迭代出來(lái)。比如自然界中的蕨類(lèi)植物圖像，看起來(lái)比較復(fù)雜，如果用一般圖形表示法需要上萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)，但是如果采用分形理論方法，只需要24個(gè)數(shù)據(jù)，建立迭代函數(shù)系統(tǒng)就可以在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生這類(lèi)圖像。因此，通過(guò)迭代函數(shù)系統(tǒng)，利用參數(shù)不多的算法可以將相當(dāng)復(fù)雜的自然圖像顯示在計(jì)算機(jī)上，也就是說(shuō)，通過(guò)簡(jiǎn)單的算法就可以控制復(fù)雜圖像，這是分形理論在圖像壓縮領(lǐng)域應(yīng)用的主要根據(jù)之一[2-7]。此外，分形意味著自然界是許多復(fù)雜形態(tài)中潛藏著有組織的結(jié)構(gòu)，如果能在這些復(fù)雜的形態(tài)中提取出關(guān)鍵的有效信息，很容易就可以將自然界的復(fù)雜圖像進(jìn)行清晰的展現(xiàn)，這是分形理論在圖像壓縮領(lǐng)域應(yīng)用的另一個(gè)重要依據(jù)[8-11]。當(dāng)今，眾多學(xué)者研究此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵指向了如何在保證圖像質(zhì)量的前提下加快分形編碼的速度[12]。

小波變換理論在圖像壓縮處理領(lǐng)域的應(yīng)用也非常廣泛[13-16]。眾所周知，一幅圖像經(jīng)過(guò)小波變換處理后，總數(shù)據(jù)量既沒(méi)有增加也沒(méi)有減少，由于一幅圖像的低頻區(qū)域包含主要信息，而一些其他的細(xì)節(jié)信息保存在高頻區(qū)域。因此不難想到一種簡(jiǎn)單的圖像壓縮方法就是將圖像高頻區(qū)域部分的信息去除，而保存低頻區(qū)域部分的信息。這種方法雖然簡(jiǎn)單，但是在圖像壓縮后沒(méi)有了細(xì)節(jié)信息，影響效果。因此文中提出一種結(jié)合小波變換和分形特征的方法。由于圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，其自相似性被破壞，在引入分形特征時(shí)，對(duì)于低頻區(qū)域圖像信息不再進(jìn)行分形壓縮，直接保存處理；在高頻區(qū)域則利用提出的相似比特征，進(jìn)行分形編碼壓縮。

1 算法的理論基礎(chǔ)

1.1 小波變換的定義

1.2 小波變換壓縮方法

考慮到二維尺度函數(shù)式可分離，也就是φ(x,y)=φ(x)φ(y)，其中φ(x)是一個(gè)尺度函數(shù)。二維尺度函數(shù)的伸縮和平移變換記為φj,m,n(x,y)=2jφ(x-2jm,y-2jn)，其中j,m,n是整數(shù)。簡(jiǎn)單概括一下，小波變換壓縮方法的過(guò)程是從一幅2N×2N原始圖像f1(x,y)開(kāi)始，在每一次變換中，利用一個(gè)小波基圖像與原始圖像做內(nèi)積運(yùn)算，然后與x和y坐標(biāo)上每隔兩個(gè)點(diǎn)取出一個(gè)點(diǎn)抽樣而生成，這樣每次變換可以分解成四個(gè)1/4大小的、分辨率不同的子圖像。

利用小波變換分解圖像，分解后圖像的總數(shù)據(jù)信息量沒(méi)有發(fā)生變化，但是圖像中的數(shù)據(jù)信息發(fā)生了轉(zhuǎn)移，分解之后的一系列子圖像，它們的分辨率都不相同。子圖像的分辨率與頻率呈正比，其中高頻率的子圖像上的數(shù)據(jù)信息比較少，大部分?jǐn)?shù)值接近于零。所以一幅圖像的低頻區(qū)域包含主要信息，而一些其他的細(xì)節(jié)信息保存在高頻區(qū)域，因此提出一種將小波變換和分形特征相結(jié)合的方法。

2 基于子塊特征的快速分形編碼方法

根據(jù)基本分形編碼算法的公式知，碼本池Ω容量的大小決定了編碼過(guò)程中所耗費(fèi)的時(shí)間。如果能夠通過(guò)定義圖像子塊的特征，將全局搜索轉(zhuǎn)變?yōu)樵撎卣飨碌慕徦阉鳎@樣就縮減了匹配搜索的空間，即能減少編碼過(guò)程中的時(shí)間消耗。

在基本分形編碼算法中，為了尋求R塊的最佳匹配塊，需要求解下面的極小化問(wèn)題：

(1)

其中，m表示R塊的最佳匹配塊序號(hào)；I∈Rn×n表示所有元素均為1的常值塊；R=(r1,…,rk,…,rN)，D=(d1,…,dk,…,dN)分別表示R塊、D塊像素點(diǎn)灰度值按某種方式向量化后的向量。

每個(gè)待編碼的R塊通過(guò)自仿射變換ω在碼本池Ω中尋找均方根誤差最小的D塊作為其最佳匹配塊，即：

R≈ω(D)=s·D+o·I

(2)

用最小二乘法求得極小化問(wèn)題的解為：

(3)

此時(shí)，匹配的誤差就為：

(4)

將式3中的ο代入式2有：

(5)

若將與R塊、D塊相同位置的小塊R1和D1取出來(lái)，那它們也應(yīng)該滿足：

(6)

將式5、6兩邊同時(shí)做比值，得到：

(7)

由此可以看出，如果R塊和D塊能夠匹配成對(duì)，那么它們的自相似比也應(yīng)當(dāng)比較接近。

下面給出了圖像子塊的一種新特征定義，并對(duì)該特征與匹配誤差之間的關(guān)系進(jìn)行了說(shuō)明。

首先將每一幅圖像的子塊R與D平均分成四個(gè)部分(見(jiàn)圖1)，再分別求出每個(gè)部分的灰度均值。根據(jù)它們的空間位置，令其對(duì)角線兩元素之差組成叉乘向量：

圖1 D塊(左)和R塊(右)

下面給出相似比特征φ(D)的可行性分析：

R≈s·D+ο·I

所以，φ(R)≈φ(D)。

3 小波與分形相結(jié)合的圖像壓縮方法

為了實(shí)現(xiàn)圖像處理的批量化，將小波變換與分形特征相結(jié)合，先利用小波變換對(duì)圖像進(jìn)行壓縮處理，再將分形特征算法引入進(jìn)來(lái)，將這兩種方法疊加進(jìn)行處理。

首先，將待壓縮的圖像處理成一幅二維數(shù)字圖像，對(duì)其分別進(jìn)行垂直和水平方向的小波濾波處理，從而將圖像分成四個(gè)離散的子帶。四個(gè)子帶分別是：垂直和水平方向的低頻子帶LL1(它能夠反映原圖像的基本特性)、水平方向的低頻和垂直方向的高頻子帶LH1、水平方向的高頻和垂直方向的低頻子帶HL1以及水平和垂直方向的高頻子帶HH1。這三個(gè)子帶所反映的主要是該圖像在水平方向、垂直方向與對(duì)角線方向的邊緣、紋理和輪廓等特征信息。圖像經(jīng)過(guò)小波分解后被分成低頻區(qū)域和高頻區(qū)域，低頻區(qū)域在很小的空間內(nèi)卻包含了原始圖像的大部分特征信息，然而高頻區(qū)域往往占用很大的空間，卻只散布著原始圖像的小部分特征信息。所以，正是由于圖像經(jīng)過(guò)小波變換，其自相似性被破壞，在引入分形特征時(shí)，對(duì)于低頻區(qū)域的圖像信息不再進(jìn)行分形壓縮，直接保存處理即可；而在高頻區(qū)域則利用上述提出的相似比特征，進(jìn)行分形編碼壓縮。

4 算法實(shí)現(xiàn)

4.1 算法步驟

根據(jù)以上分析，文中提出的方法實(shí)現(xiàn)如下：

(2)進(jìn)行小波變換分解后，每一個(gè)子分量會(huì)分成七個(gè)子帶，將LL1量化后直接保存，對(duì)LH1、HL1、HH1、LH2、HL2、HH2再次進(jìn)行分形特征的編碼處理。

①將低頻圖像分割成大小為B×B的R塊，同時(shí)，以橫縱方向步長(zhǎng)均為x的像素形成大小為2B×2B的D塊池，由這些子塊構(gòu)成的集合稱(chēng)為碼本Ωη={D∈Ω|σD≥η}。其中η為碼塊標(biāo)準(zhǔn)差閾值，y1為R塊的標(biāo)準(zhǔn)差閾值。

②對(duì)于子塊R：如果σR

③在Dm的t鄰域內(nèi)搜索最佳匹配塊，如果E(R,D)

④記錄下最佳匹配塊D的位置、s、o的值以及變換的類(lèi)型。對(duì)于剩下的子塊R，重復(fù)上述步驟。

(3)對(duì)經(jīng)過(guò)分形壓縮編碼處理后的各子帶進(jìn)行解碼，通過(guò)迭代操作，得到各子帶解碼后的圖像信息。

(4)對(duì)解碼完成的圖像進(jìn)行小波反變換，最終得到壓縮后的圖像信息。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

用MATLAB R2012b對(duì)大小為512×512的Lena圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將圖像壓縮編碼的時(shí)間和峰值信噪比作為評(píng)價(jià)算法性能的指標(biāo)。其中取D塊的標(biāo)準(zhǔn)差閾值η=1 225，R塊的標(biāo)準(zhǔn)差閾值y1=1。將得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別與基本分形算法和小波與歐氏比特征結(jié)合的算法進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2～4以及表1所示。

圖2 Lena圖像

圖3 文中算法(t=10)

圖4 小波與歐氏比特征結(jié)合算法(t=10)

迭代次數(shù)鄰域參數(shù)(t)文中算法基本分形算法小波+歐氏比算法PSNR/dBTime/sPSNR/dBTime/sPSNR/dBTime/s1145.933.83339.5213.84538.9230.5223.64342.4545.8715.2443.2132.4139.63110.135148.294.13352.2514.18552.9633.5055.87355.0748.769.8950.5841.5452.6890.3110148.294.33352.2514.62552.9531.0256.04365.9848.7812.4050.6241.3652.7391.12

根據(jù)以上仿真數(shù)據(jù)分析可以知道，與基本分形理論算法相比，文中提出的方法在保證一定重構(gòu)圖像質(zhì)量的前提下，大大縮短了圖像壓縮編碼的時(shí)間；而與文獻(xiàn)[10]提出的算法相比，文中方法不僅提高了圖像壓縮編碼的速度，而且在一定程度上改善了重構(gòu)圖像的質(zhì)量。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于子塊特征縮短編碼時(shí)間的現(xiàn)狀，結(jié)合小波變換的特點(diǎn)，選用分形與小波變換相結(jié)合的圖像壓縮方法，以進(jìn)一步減少編解碼時(shí)間，同時(shí)改善重構(gòu)圖像的質(zhì)量。仿真結(jié)果表明，與基本分形算法以及同類(lèi)特征算法相比較，該算法在壓縮時(shí)間上效果更優(yōu)，這也為今后研究多種混合編碼算法打下了鋪墊。