趙春雪，李樹有，宓 穎

(遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，遼寧 錦州 121001)

1 預(yù)備知識

(1)

對應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(2)

設(shè)X1，X2，…，Xk是Marshall-Olkin Fréchet分布總體的一個樣本.結(jié)合已知的概率密度函數(shù)(2)，可以求得其似然函數(shù)為

(3)

因而其對數(shù)似然函數(shù)為

(4)

2 Marshall-Olkin Fréchet分布參數(shù)的極大似然估計

2.1 當(dāng)已知β和δ時α的極大似然估計

考慮當(dāng)參數(shù)β和δ已知而α未知時，α的極大似然估計.對公式(4)中的α求導(dǎo)得

(5)

令(5)式等于零，易知此方程為非線性方程，很難得到α的顯示解.利用Newton迭代法[5]，由下面迭代公式可以得到α的估計值：

(6)

文獻(xiàn)[6]給出了噴氣式飛機空調(diào)系統(tǒng)連續(xù)故障間隔時間.X代表飛機空調(diào)系統(tǒng)的連續(xù)故障間隔時間，分別為23，261，87，7，120，14，62，47，225，71，246，21，42，20，5，12，120，11，3，14，71，11，14，11，16，90，1，12，52，95.X服從Marshall-Olkin Fréchet分布.

2.2 當(dāng)已知δ時α和β的極大似然估計

這里考慮參數(shù)δ已知而α和β未知時，α和β的極大似然估計.對公式(4)中的α和β分別求偏導(dǎo)，令其為零得到

(7)

令

則有：

(8)

(9)

(10)

(11)

由Newton迭代法，得到迭代公式

2.3 α，β和δ的極大似然估計

考慮參數(shù)α，β和δ未知時，α，β和δ的極大似然估計.對公式(4)中的α，β和δ分別求偏導(dǎo)，并令其為零得

令

由Newton迭代法，得到迭代公式

3 多個分布總體參數(shù)在序約束條件下的極大似然估計

表1 利用MATLAB軟件對參數(shù)已知的Marshall-Olkin Fréchet分布抽取的隨機數(shù)

3.1 簡單半序α1≤α2≤…≤α10

在簡單半序約束的情況下可得X1的故障率最高，X5，…，X8的故障率相同，X10的故障率最低.即保證每一批次空調(diào)系統(tǒng)的故障率都不高于上一批次空調(diào)系統(tǒng)的故障率.

3.2 簡單樹半序：α1≤αi(i=2，…，9，10)

在簡單樹半序約束的情況下可得X10的失效率最低，X1的失效率最高.即保證后生產(chǎn)的空調(diào)系統(tǒng)的失效率不高于第一批生產(chǎn)的空調(diào)系統(tǒng)失效率.

3.3 簡單環(huán)半序α1≤αi≤α10

在簡單樹半序約束的情況下可得X10的失效率最低，X1的失效率最高.即保證最后一批生產(chǎn)的空調(diào)系統(tǒng)的失效率最低，第一批生產(chǎn)的空調(diào)系統(tǒng)失效率最高.

3.4 傘型半序α1≤α2≤…≤α5≥…≥α10

當(dāng)空調(diào)系統(tǒng)的故障率達(dá)到一定程度時，生產(chǎn)者的關(guān)注度不僅限于故障率，還需要考慮成本與環(huán)保等其他因素.成本的降低有可能導(dǎo)致故障率的升高，因此需要尋找最優(yōu)解從而達(dá)到利益的最大化.此時考慮傘型半序的約束情況.

由傘型半序約束可得X1到X4的失效率逐漸降低，X5的失效率最低，繼續(xù)降低成本或考慮其他因素會導(dǎo)致故障率的升高，從而X5可以達(dá)到利益的最大化.