陸 靜，羅 勇，胡亦鄭

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

目前許多學(xué)者都關(guān)注到了害蟲(chóng)治理問(wèn)題，并且利用數(shù)學(xué)模型對(duì)害蟲(chóng)和控制問(wèn)題做了一些研究，其中包括脈沖控制方法[1-2]．但是由于化學(xué)控制滯后因素的影響，脈沖系統(tǒng)不能將害蟲(chóng)增長(zhǎng)過(guò)程和實(shí)施控制后的過(guò)程描述出來(lái)，并且殺蟲(chóng)劑的使用有可能造成周圍環(huán)境的污染以及其他有益昆蟲(chóng)的死亡，因此建立具有閾值策略的 Filippov模型[3-8]更有意義，即當(dāng)害蟲(chóng)的密度到達(dá)經(jīng)濟(jì)閾值ET時(shí)才實(shí)施控制手段．文獻(xiàn)[7]討論了一類具有Holling II反應(yīng)的害蟲(chóng)治理的Filippov模型，基于文獻(xiàn)[7]，本文給出并研究了一類具有Holling III反應(yīng)的害蟲(chóng)治理Filippov模型．

1 建立模型和知識(shí)預(yù)備

1.1 建立模型

不采用任何害蟲(chóng)治理措施下的模型

其中x(t)和y(t)表示害蟲(chóng)和天敵在時(shí)刻t時(shí)的種群數(shù)量，a-bx為害蟲(chóng)的增長(zhǎng)率，是天敵的Holling III型功能反應(yīng)函數(shù)，d是天敵的死亡率，a,b,c,d均為正數(shù)．

當(dāng)害蟲(chóng)數(shù)量x(t)＞ET時(shí)，采取害蟲(chóng)治理措施模型變?yōu)椋?/p>

其中 p1∈ ( 0,1)， p2∈ ( 0,1)分別表示當(dāng) x (t ) ＞ ET時(shí)噴灑殺蟲(chóng)劑對(duì)害蟲(chóng)的殺死率和天敵的投放率，并且假設(shè) c ＞ d ,d ＞ p2, a ＞ p1．

1.2 Filippov系統(tǒng)的相關(guān)定義與知識(shí)預(yù)備

令

那么模型（1）和（2）可記為

定義 1[7]若則稱為系統(tǒng)（3）的滑線區(qū)域，其中〈,〉表示H(z)和 FGi的數(shù)量積（這里i=1,2）．

定義 2[7]1）若 z ∈G1，且 FG1(z) = 0 或 z ∈G2，且 FG2(z) = 0 ，則稱z為系統(tǒng)（3）的真平衡點(diǎn)；若則稱z為系統(tǒng)（3）的假平衡點(diǎn)．

2）在∑s上局部軌線是通過(guò)Filippov系統(tǒng)的凸組合定義的，考慮系統(tǒng)

其中有 z ∈∑s， Zs(z)稱為系統(tǒng)（3）的滑線系統(tǒng)．若 Zs(z) = 0 ，則z為偽平衡點(diǎn)．

2 模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

2.1 系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)G1的平衡點(diǎn)為O(0,0)和當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一的正平衡點(diǎn)

定理1 1）系統(tǒng)（1）的零平衡點(diǎn)O(0,0)是鞍點(diǎn)．

2） c a2＞ d (m b2+ a2)時(shí)，E1是鞍點(diǎn)； c a2＜ d (m b2+ a2)時(shí)，E1是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

3）R1＜1時(shí)，系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)E2不存在；R1＞1，且成立時(shí)，E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)．

證明：

1）計(jì)算系統(tǒng)（1）在O(0,0)點(diǎn)的Jacobian矩陣，得到它的特征多項(xiàng)式為(λ - a ) (λ + d ) = 0 ，其中兩個(gè)特征根為 λ1= a ,λ2=- d ，即λ1λ2＜0，所以O(shè)(0,0)為鞍點(diǎn)．

2）計(jì)算系統(tǒng)（1）在E1點(diǎn)的Jacobian矩陣，得到它的特征多項(xiàng)式為其中兩個(gè)特征根為

若λ2＞0，即 c a2＞ d (m b2+ a2)，E1是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)；若λ2＜0，即 c a2＜ d (m b2+ a2)，E1是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

3）計(jì)算系統(tǒng)（1）在E2點(diǎn)的Jacobian矩陣，得到

它的特征多項(xiàng)式為 λ2+ pλ + q = 0 ，兩特征根分別為 λ1,λ2，其中

則 λ1+ λ2= - p,λ1λ2= q ．當(dāng) p ＞ 0 ,q ＞ 0 時(shí)，E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)．

即R1＞1．

所以當(dāng)R1＞1且成立時(shí)，E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)．

2.2 系統(tǒng)（2）的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)G2的平衡點(diǎn)為O(0,0)和時(shí)，系統(tǒng)（2）還存在唯一的正平衡點(diǎn)其中=

定理2 1）系統(tǒng)（2）的零平衡點(diǎn)O(0,0)是鞍點(diǎn)．

2）當(dāng) c (a - p1)2＞ ( d - p2)(m b2+ ( a - p1)2)時(shí)，E3是鞍點(diǎn)；當(dāng) c (a - p1)2＜(d - p2)(mb2+(a -p )2)時(shí)，E是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

3）當(dāng)R2＜1時(shí)，系統(tǒng)（2）的正平衡點(diǎn)E4不存在；當(dāng)R2＞1時(shí)，并且當(dāng)

時(shí)，E4為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)．

證明：

1）計(jì)算系統(tǒng)（2）在O(0,0)點(diǎn)的 Jacobian矩陣，得到它的特征多項(xiàng)式為 ( λ - a + p1) (λ + d - p2) = 0 ，其中兩個(gè)特征根為 λ1= a - p1,λ2=- d + p2．即λ1λ2＜ 0 ，所以O(shè)(0,0)為鞍點(diǎn)．

2）計(jì)算系統(tǒng)（2）在E3點(diǎn)的Jacobian矩陣，得到

若λ2＞0，即 c (a - p1)2＞ ( d - p2)[m b2+ ( a - p1)2]，E3是鞍點(diǎn)；若λ2＜0，即 c (a -p1)2＜(d - p2)[m b2+ ( a - p1)2]，E3是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)．

3）計(jì)算系統(tǒng)（2）在E4點(diǎn)的Jacobian矩陣得到

它的特征多項(xiàng)式為 λ2+ pλ + q = 0 ，兩特征根分別為 λ,λ ，其中

則 λ1+ λ2= - p,λ1λ2= q ，當(dāng) p ＞ 0 ,q ＞ 0 時(shí)，E2為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)．

所以當(dāng)R2＞1，且時(shí)，E4為漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)．

2.3 Filippov系統(tǒng)（3）的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

為確保Filippov系統(tǒng)（3）正平衡點(diǎn)存在，需要同時(shí)滿足 R1＞ 1 ,R2＞ 1 ．考慮當(dāng) R1＞ 1 ,R2＞1時(shí)，F(xiàn)ilippov系統(tǒng)（3）的正平衡點(diǎn)的真假性，分三種情況討論系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)．

接著討論滑線區(qū)域的存在性，由定義1可知滑線區(qū)域 ∑s= { z ∈ ∑ / σ(z) ≤ 0 }，經(jīng)計(jì)算，

故系統(tǒng)（3）的滑線區(qū)域存在，即

為保證滑線始終存在，在此假設(shè) a - p1- b ET ＞ 0 ，則有

最后討論偽平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性．由定義1知：

令 Zs(z) = 0 ，解得y(1)=0和

要使y(2)＞0，則需滿足

要使y(2)∈∑s，則需滿足{此時(shí)偽平衡點(diǎn)存在，記為 Ep(E T,y(2))．

定理3 如果滿足偽平衡點(diǎn)存在條件，則系統(tǒng)（3）的偽平衡點(diǎn) Ep(E T, y(2))局部漸近穩(wěn)定．

證明：由于

所以，偽平衡點(diǎn) Ep(E T,y(2))是局部漸近穩(wěn)定的．

3 數(shù)值模擬

定理1中的3）和定理2中的3）已證明如果存在真平衡點(diǎn)E2和E4，則E2和E4是漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)，為進(jìn)一步確定平衡點(diǎn)的類型，使用Matlab軟件選取合適的參數(shù) a = 1 ,b = 0 .23，c = 0 .5,d = 0 .4,m = 1 , p1= 0 .6, p2= 0 .1，對(duì)真?zhèn)纹胶恻c(diǎn)的類型進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果見(jiàn)圖1．

圖1 Filippov系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)數(shù)值模擬圖Fig 1 Numerical Equilibrium Point Simulated Diagram of Filippov System (3)

通過(guò)上面的模擬，得到如下結(jié)論：

3）如果滿足偽平衡點(diǎn)存在的條件，則系統(tǒng)（3）的偽平衡點(diǎn)是 Ep(E T,y(2))，此時(shí)取滿足條件的 E T= 1 .25，則它在上是漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖1（c）．

4 結(jié) 論

本文通過(guò)對(duì)一類具有Holling III反應(yīng)的害蟲(chóng)治理的Filippov模型的研究，求得了真假平衡點(diǎn)和偽平衡點(diǎn)，討論了平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性的條件，并且推導(dǎo)出了將害蟲(chóng)控制在經(jīng)濟(jì)臨界值以內(nèi)的參數(shù)所滿足的條件．因此，我們可以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)閾值或者適度調(diào)整殺蟲(chóng)劑的用量，以此來(lái)降低害蟲(chóng)治理的投資成本和保護(hù)環(huán)境．