陳曉菲,舒啟林,李文韜

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110159)

近年來(lái),隨著工業(yè)技術(shù)的進(jìn)步,工業(yè)機(jī)器人得到了飛速的發(fā)展,應(yīng)用也更加廣泛。工業(yè)機(jī)器人在加工過(guò)程中可以多軸聯(lián)動(dòng),工作范圍大、動(dòng)作靈活,可以實(shí)現(xiàn)多維運(yùn)動(dòng)[1]。但是,由于工業(yè)機(jī)器人自身的結(jié)構(gòu)弱剛性,在外力作用下易發(fā)生變形,影響末端定位精度,有必要對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行剛度分析。為了防止工業(yè)機(jī)器人超出工作區(qū)間或到達(dá)奇異位置,在剛度分析之前先求解機(jī)器人的工作空間。

工作空間的大小代表了工業(yè)機(jī)器人的活動(dòng)范圍,是表征機(jī)器人工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)。工作空間的大小是由機(jī)器人的幾何形狀和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的限位決定的。目前工作空間的計(jì)算非常復(fù)雜,解法主要有解析法、圖解法和數(shù)值法[2-3]。解析法是通過(guò)多次包絡(luò)的方法來(lái)確定工作空間,解算過(guò)程十分繁瑣并且不夠直觀;圖解法雖然比較直觀但是對(duì)于關(guān)節(jié)數(shù)較多的機(jī)器人很難求解;數(shù)值法應(yīng)用比較廣泛,最有代表性的就是蒙特卡洛法,不過(guò)運(yùn)算量比較大,需要建立機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。本文采用基于Matlab仿真法,利用Simulink中的SimMechanics模塊進(jìn)行建模求解。該方法無(wú)需建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,無(wú)需求解傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,也不需要進(jìn)行復(fù)雜的編程操作即可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)的結(jié)果分析。

動(dòng)力學(xué)分析軟件有很多,但是SimMechanics集成在Matlab上,數(shù)據(jù)處理功能強(qiáng)大,可以與solidworks端口連接,大大縮短建模時(shí)間。SimMechanics建模方便直觀,可以在模型中改變結(jié)構(gòu)、優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù),在仿真環(huán)境中分析結(jié)果[4-5]?？梢詫⑾到y(tǒng)模塊在simulink窗口中組合、連接成各種機(jī)構(gòu),并且通過(guò)檢測(cè)和傳感器模塊與simulink基礎(chǔ)模塊連接,得到整個(gè)系統(tǒng)的仿真結(jié)果。用這種方法分析機(jī)器人剛度,克服了傳統(tǒng)方法中對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的弊端,同時(shí)規(guī)避了利用極限理論編程運(yùn)算的復(fù)雜[6]。

1 工業(yè)機(jī)器人的幾何參數(shù)

本文研究的工業(yè)機(jī)器人共有6個(gè)關(guān)節(jié),關(guān)節(jié)i位于前后兩個(gè)連桿之間。zi軸配置在關(guān)節(jié)i的軸線上,xi-1軸位于zi-1軸和zi軸的公垂線上。αi是繞著xi-1軸從zi-1軸旋轉(zhuǎn)到zi軸的轉(zhuǎn)角。θi是關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍,ai是沿著xi-1軸從zi-1軸到zi軸的距離,di是沿著zi軸從xi-1軸到xi軸的距離,具體的機(jī)器人連桿坐標(biāo)系如圖1,連桿參數(shù)如表1。

圖1 機(jī)器人三維模型

iθi/(°)αi/(°)ai/mmdi/mm1-170-1700002-95-132-9019003-163-73065004-180-180-901922805-133-1339004546-360-360-9000

2 機(jī)器人工作空間仿真模型

Solidworks為SimMechanics提供了插件接口,將對(duì)應(yīng)版本的SimMechanics link插件安裝到Matlab中與Solidworks相互關(guān)聯(lián)。在Solidworks中構(gòu)建工業(yè)機(jī)器人的三維模型,定義各零部件的材料屬性,將三維模型導(dǎo)入到Matlab中轉(zhuǎn)換成仿真模型,這種方法即減少人工建模的計(jì)算量,也避免了人工計(jì)算的失誤,大大提高工作效率。轉(zhuǎn)換后的仿真模型與三維模型中的配合關(guān)系有關(guān),各零件間的傳動(dòng)關(guān)系均表現(xiàn)在仿真模型中,本文只研究各個(gè)連桿間的主要傳動(dòng)關(guān)系。仿真模型中的weld模塊表示固聯(lián)關(guān)系,對(duì)仿真結(jié)果沒有影響。工業(yè)機(jī)器人的前3個(gè)關(guān)節(jié)決定機(jī)器人的活動(dòng)范圍,后3個(gè)關(guān)節(jié)決定機(jī)器人的姿態(tài)，因此只在前3個(gè)關(guān)節(jié)處施加驅(qū)動(dòng)信號(hào)。工業(yè)機(jī)器人末端位置的數(shù)據(jù)通過(guò)simout模塊輸出到Matlab的工作區(qū)中,最終的仿真模型如圖2所示。

圖2 工作空間仿真模型

模型中主要有3個(gè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)模塊,驅(qū)動(dòng)信號(hào)為正弦信號(hào),根據(jù)各個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍調(diào)整正弦函數(shù)幅值和偏置的大小,三個(gè)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率設(shè)置成不同的數(shù)值。每個(gè)驅(qū)動(dòng)信號(hào)包含3個(gè)元素,分別是角度、角速度、角加速度,三者通過(guò)微分運(yùn)算聯(lián)系到一起。3個(gè)輸出模塊分別輸出機(jī)器人末端x、y、z三個(gè)方向的位置坐標(biāo)到工作區(qū),在工作區(qū)直接利用3個(gè)變量,通過(guò)繪圖語(yǔ)句繪制出工作空間的二維圖和三維圖如圖3所示。

圖3 機(jī)器人工作空間效果圖

通過(guò)對(duì)輸出的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,得到機(jī)器人工作空間的三維圖和工作空間的xoy平面投影圖和xoz平面投影圖。由于機(jī)器人關(guān)節(jié)1的轉(zhuǎn)角范圍是±170°,故xoz投影圖并不是全部閉合的,而是有一處“缺口”。三維圖中可以看到機(jī)器人空間上的最大工作范圍,為了看清三維圖內(nèi)部的情況,將關(guān)節(jié)1的驅(qū)動(dòng)信號(hào)調(diào)為0,便得到xoy平面的截面圖,由此可見在三維圖內(nèi)部還有一部分區(qū)域不可到達(dá)。機(jī)器人的活動(dòng)范圍受關(guān)節(jié)角度的限制,機(jī)器人只能以特定姿態(tài)才能到達(dá)工作空間的邊界位置,這些位置屬于機(jī)器人的非靈巧空間。接下來(lái)的剛度分析以此為基礎(chǔ),在機(jī)器人的靈巧空間內(nèi)做研究。

3 機(jī)器人剛度模型

機(jī)器人的剛度反映了機(jī)器人在外力的作用下抵抗位移的能力。機(jī)器人在不同位姿處的剛度稱為機(jī)器人的操作剛度,為了求得機(jī)器人的操作剛度需建立關(guān)節(jié)剛度與操作剛度的映射模型。用彈簧系數(shù)ki來(lái)表示整個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛度,用τi表示關(guān)節(jié)力矩,Δθi表示關(guān)節(jié)變量,則有[7-8]

τi=kiΔθi(i=1,2,…,6)

(1)

F是一個(gè)6維力矢量,作用于機(jī)器人的末端,產(chǎn)生的變形為X,K表示機(jī)器人的笛卡爾剛度矩陣。當(dāng)機(jī)械結(jié)構(gòu)受力和變形都足夠小時(shí),可以認(rèn)為兩者近似滿足如下的線性關(guān)系

F=K·X

(2)

JT(q)稱為機(jī)器人的力雅可比,它表示在靜平衡狀態(tài)下,操作力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。機(jī)器人的力雅可比是運(yùn)動(dòng)雅可比的轉(zhuǎn)置。運(yùn)動(dòng)雅克比矩陣J(q)的表達(dá)式是

(3)

忽略關(guān)節(jié)重力和摩擦力,根據(jù)虛功原理推導(dǎo)出關(guān)節(jié)力矩矢量τ和末端的負(fù)載力矢量F的關(guān)系為:

τ=JT(q)F

(4)

對(duì)公式(4)求導(dǎo)得到

dτ=(dJ(q)T)F+J(q)T(dF)

(5)

Kθ為其關(guān)節(jié)剛度矩陣,KC為補(bǔ)充剛度矩陣。聯(lián)立式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)，化簡(jiǎn)得到如下關(guān)系式

J(q)TKJ(q)=Kθ-Kc

(6)

上式稱為保守合同變換CCT,那么CCT的逆變換為

K=J(q)-T(Kθ-Kc)J(q)-1

(7)

剛度補(bǔ)償矩陣Kc在負(fù)載力不是很大時(shí)可以忽略不計(jì),有研究表明在機(jī)器人的有效負(fù)載范圍內(nèi)其值可以忽略不計(jì)。簡(jiǎn)化后得到下式

K=J(q)-TKθJ(q)-1

(8)

上式即為傳統(tǒng)靜剛度模型,末端變形量與機(jī)器人該位姿的剛度線性關(guān)系如下:

(9)

由上式可以看出,求解機(jī)器人剛度,需要分別求出各個(gè)位置處的作用力和變形量,作用力即為施加的負(fù)載力。那么,剛度仿真模型的最終目標(biāo)便是求出各個(gè)位姿處機(jī)器人末端的變形量。

4 機(jī)器人剛度仿真模型

工業(yè)機(jī)器人的末端變形主要是由各關(guān)節(jié)處的傳動(dòng)引起的,傳動(dòng)部件由齒輪、轉(zhuǎn)軸、皮帶等組成,將這些傳動(dòng)部件的變形全部集中到各個(gè)關(guān)節(jié)上以簡(jiǎn)化模型,在模型中引用彈性阻尼來(lái)表示這些傳動(dòng)部件的綜合作用。機(jī)器人剛度仿真模型的創(chuàng)建過(guò)程與求解工作空間時(shí)類似,模型中的六個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系分別對(duì)應(yīng)工業(yè)機(jī)器人的六個(gè)關(guān)節(jié),在機(jī)器人末端分別施加七組不同的載荷,負(fù)載方向和數(shù)值如表2所示(模型中的坐標(biāo)方向?yàn)?y軸正方向與重力加速度方向相反,符合右手定則),在不同負(fù)載、不同位姿下得到機(jī)器人末端的x、y、z各個(gè)方向上的變形量,通過(guò)這些變形量來(lái)分析機(jī)器人的剛度,scope模塊可以輸出各個(gè)關(guān)節(jié)角度變化的圖像。

本文研究的工業(yè)機(jī)器人有效負(fù)載是20kg,對(duì)工業(yè)機(jī)器人末端施加x、y、z三個(gè)不同方向的負(fù)載,并且依次只改變其中一個(gè)方向負(fù)載的大小,比較單方向負(fù)載的變化對(duì)機(jī)器人末端操作剛度的影響。本文的分析方法屬于靜力學(xué)分析,機(jī)器人的末端變形量很小,選取機(jī)器人末端的某一固定點(diǎn),其初始位置坐標(biāo)可以從模型中查到,施加負(fù)載后的位置坐標(biāo)則直接輸出到工作區(qū)中。仿真過(guò)程的步長(zhǎng)自動(dòng)選取,仿真完成后會(huì)得到多組數(shù)據(jù),取平均值為最終坐標(biāo)值。仿真過(guò)程中共取4種不同位姿,各個(gè)方向的具體變形量如表2所示。

圖4 剛度仿真模型

表2 機(jī)器人末端的變形量 μm

由表2的數(shù)據(jù)可知,同一負(fù)載下,不同位姿所產(chǎn)生的變形量也不相同,這說(shuō)明機(jī)器人的位置和姿態(tài)對(duì)工業(yè)機(jī)器人的剛度有很大的影響。隨著負(fù)載的增加,x、y方向上機(jī)器人末端的變形量逐漸增大,而z方向形位1和形位3變形量減小,形位2和形位4變形量增大,這是由于形位不同造成z方向負(fù)載力的作用效果不同,即對(duì)形位1和形位3而言是壓力,對(duì)形位2和形位4而言是拉力。由于關(guān)節(jié)5和關(guān)節(jié)6的角度不同,機(jī)器人末端不是與y軸平行的,因此各個(gè)方向施加的負(fù)載力是相互影響的,不同形位各方向的影響情況不同。并且在三個(gè)方向上負(fù)載力大小相同時(shí)y軸方向的變形量最大,說(shuō)明y方向機(jī)器人剛度較弱。由此可以得出,選取合理的加工位置和姿態(tài)可以改善機(jī)器人的結(jié)構(gòu)弱剛性問題,提高工業(yè)機(jī)器人的加工質(zhì)量。

為了進(jìn)一步分析各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)工業(yè)機(jī)器人剛度的影響,引入剛度橢球指標(biāo)來(lái)描述機(jī)器人末端力與變形之間的關(guān)系,由式(9)可知當(dāng)機(jī)器人末端產(chǎn)生單位變形時(shí)即|X|=1,那么[9]:

XTX=1

(10)

將式(9)帶入式(10),可以得到:

(11)

該式即為機(jī)器人末端的剛度橢球方程,令

(12)

忽略機(jī)器人末端的角度變化,令hij表示H的第i行第j列,fx、fy、fz表示剛度橢球的三個(gè)坐標(biāo)軸。為簡(jiǎn)化計(jì)算,取橢球fx、fy兩軸上的截距中較小的一個(gè)作為剛度評(píng)價(jià)指標(biāo),即:

(13)

確定機(jī)器人的一個(gè)固定位姿,取θ1=-30°,θ2=-30°,θ3=30°,θ4=45°,θ5=30°,θ6=-45°,分別只改變其中一個(gè)關(guān)節(jié)的角度,所取關(guān)節(jié)角度的間隔為10°,共11組即變化的范圍都是110°,負(fù)載力的大小相同,仿真分析得出末端變形量并繪制出剛度指標(biāo)與關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系圖如圖5所示。

圖5 關(guān)節(jié)角度與剛度指標(biāo)關(guān)系圖

由以上數(shù)據(jù),圖5a反映出機(jī)器人的第一關(guān)節(jié)角度對(duì)機(jī)器人操作剛度沒有影響,對(duì)比圖5中剛度指標(biāo)的變化范圍,剛度指標(biāo)受第二、三關(guān)節(jié)角度的影響較大,而第四、五、六關(guān)節(jié)角度對(duì)剛度指標(biāo)的影響較小。由此可見為了提高機(jī)器人的操作剛度,二、三關(guān)節(jié)角度的選取更為重要。

5 結(jié)論

針對(duì)工業(yè)機(jī)器人的剛度辨識(shí)問題,提出了一種基于SimMechanics模塊建模仿真的方法。該方法不需要建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,可以直接根據(jù)機(jī)構(gòu)的尺寸和傳動(dòng)關(guān)系進(jìn)行建模和求解,大大減輕了計(jì)算的工作量。通過(guò)仿真分析得出機(jī)器人末端的坐標(biāo)參數(shù),通過(guò)數(shù)據(jù)處理和分析得到了機(jī)器人的工作空間,規(guī)避了機(jī)器人的奇異點(diǎn)。通過(guò)對(duì)末端變形量的分析,得出位姿和負(fù)載對(duì)機(jī)器人的操作剛度都有影響。根據(jù)剛度指標(biāo)與關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系,得出第二、三關(guān)節(jié)角度對(duì)機(jī)器人的剛度影響較大,第四、五、六關(guān)節(jié)角度對(duì)剛度指標(biāo)的影響較小,為進(jìn)一步分析最優(yōu)位姿做準(zhǔn)備。