黃旭，羅志超，肖一嘯，王敬前*

（1.陜西服裝工程學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，陜西西安，712046；2.陜西服裝工程學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安，712046）

引言

鋁酸電池作為電源被廣泛應(yīng)用于工業(yè)，軍事，日常生活當(dāng)中。鉛酸電池從充滿電開始以恒定電流強(qiáng)度放電，電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降，直到額定最低保護(hù)電壓Um（題中為 9V），這個過程中電壓隨時(shí)間應(yīng)化的關(guān)系被稱為放電曲線。而電池通過較長時(shí)間的使用或者放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會發(fā)生衰減。根據(jù)這一特性，本文對電壓、時(shí)間和電流的關(guān)系進(jìn)行研究并建立了曲線擬合模型，來預(yù)測不同電流強(qiáng)度及狀態(tài)下的放電時(shí)間?，F(xiàn)給出兩個附件：

附件 1是同一生產(chǎn)批次電池出廠時(shí)以不同電流強(qiáng)度放電測試的完整放電曲線的采樣數(shù)據(jù)。

附件 2是同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)。

根據(jù)附件中所給出的數(shù)據(jù)，解決以下三個問題：

問題1：利用初等函數(shù)表示同一生產(chǎn)批次出廠電池以9種放電電流放電時(shí)的放電曲線。從附件一中按從Um開始按不超過0.005V的最大間隔提取231個電壓樣本點(diǎn)并求出其平均相對誤差(MRE)在電壓為9.8V，電流強(qiáng)度分別為的條件下的電池剩余放電時(shí)間。

問題2：建立以20A到100A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的數(shù)學(xué)模型。

問題3：預(yù)測附件2中電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

1 問題分析

需要根據(jù)附件 1中的數(shù)據(jù)求得各個放電強(qiáng)度中的平均相對誤差，通過曲線擬合建立不同電流強(qiáng)度下電壓與電池剩余時(shí)間的關(guān)系，及不同電壓下電流強(qiáng)度與電池剩余時(shí)間的關(guān)系。問題的特點(diǎn)在于數(shù)據(jù)量大，難點(diǎn)在于在附件1中要取231個樣本點(diǎn)求得各曲線方程的平均相對誤差，及MRE評估模型精度。

1.1 問題1分析

通過SPSS軟件，根據(jù)曲線擬合求得各放電強(qiáng)度下的放電曲線方程，建立了電池放電時(shí)間和電壓的關(guān)系，然后再有合EXCEL軟件根據(jù)題目中對平均相對誤差(MRE)取231個樣本點(diǎn)，求得各放電曲線的平均相對誤差，最后在固定電壓為9.8V、電流強(qiáng)度為30A～70A的放電條件下，通過放電曲線方程預(yù)測得到電池放電時(shí)間，進(jìn)而求得保護(hù)電壓9V時(shí)，已知放電時(shí)間減去預(yù)測放電時(shí)間得到電池剩余放電時(shí)間。

1.2 問題2分析

通過SPSS軟件建立20A～100A的電流強(qiáng)度與電壓、時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型求得其MRE，代入55A的電流強(qiáng)度，求得電壓與放電時(shí)間、剩余放電時(shí)間的關(guān)系，從而用表格和圖形繪制出放電曲線。

1.3 問題3分析

根據(jù)附件二所給的數(shù)據(jù)利用SPSS軟件建立出衰減狀態(tài)3下電壓與時(shí)間的的線性方程，從而求得電池衰減狀態(tài)3下的放電時(shí)間進(jìn)而求得電池剩余放電時(shí)間。

2 模型的建立與求解

2.1 問題1的解決方案

本節(jié)運(yùn)用SPSS軟件，根據(jù)曲線擬合求得各放電強(qiáng)度下的放電曲線方程，建立了電池放電時(shí)間和電壓的關(guān)系，然后再有合EXCEL軟件根據(jù)題目中對平均相對誤差(MRE)取 231個樣本點(diǎn)，求得各放電曲線的平均相對誤差，最后在固定電壓為9.8V、電流強(qiáng)度為30A～70A的放電條件下，通過放電曲線方程預(yù)測得到電池放電時(shí)間，進(jìn)而求得保護(hù)電壓9V時(shí)，已知放電時(shí)間減去預(yù)測放電時(shí)間得到電池剩余放電時(shí)間。

2.1.1 問題1模型的建立

根據(jù)對附件 1所給出的數(shù)據(jù)，畫出電流強(qiáng)度為20A～100A的圖表，如圖1至圖9所示。通過SPSS軟件，可以擬合出多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，采用P值檢試和數(shù)值大小比較，選用二次函數(shù)作為模型，所以建立的模型為：

以下(1)至(9)給出電流強(qiáng)度為20A～100A時(shí)，具體的放電曲線表達(dá)式、MRE和電壓為9.8V時(shí)的剩余時(shí)間。

（1）當(dāng)電流強(qiáng)度為20A時(shí)，擬合的放電曲線如圖1所示：

放電曲線方程為：

MRE電池的剩余時(shí)間為942.08891。

（2）當(dāng)電流強(qiáng)度為30A時(shí)，擬合的放電曲線如圖2所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時(shí)間為618.68669。

圖1 20A時(shí)的放電曲線

圖2 30A時(shí)的放電曲線

（3）當(dāng)電流強(qiáng)度為40A時(shí)，擬合的放電曲線如圖3所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時(shí)間為443.08988。

（4）當(dāng)電流強(qiáng)度為50A時(shí)，擬合的放電曲線如圖4所示：

放電曲線方程為

MRE= 0.012208979；當(dāng)y9.8V時(shí)，x= 966.1274，電池的剩余時(shí)間為341.8726。

圖3 電流強(qiáng)度為40A時(shí)的放電曲線

圖4 電流強(qiáng)度為50A時(shí)的放電曲線

（5）當(dāng)電流強(qiáng)度為60A時(shí)，擬合的放電曲線如圖5所示:

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時(shí)間為292.91203。

（6）當(dāng)電流強(qiáng)度為70A時(shí)，擬合的放電曲線如圖6所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時(shí)間為274.45014。

圖5 60A時(shí)的放電曲線

圖6 70A時(shí)的放電曲線

（7）當(dāng)放電強(qiáng)度為80A時(shí)，擬合的放電曲線如圖7所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時(shí)間為255.24913。

（8）當(dāng)放電強(qiáng)度為90A時(shí)，擬合的放電曲線如圖8所示：

放電曲線方程為

MRE電池的剩余時(shí)間為233.77035。

（9）當(dāng)放電強(qiáng)度為100A時(shí)，擬合的放電曲線如圖9所示：

放電曲線方程為

MRE= 0.076401288；當(dāng)y9.8V時(shí)，x= 317.39805，電池的剩余時(shí)間為220.60195。

圖7 80A時(shí)的放電曲線

圖8 90A時(shí)的放電曲線

圖9 100A時(shí)的放電曲線

對電流強(qiáng)度為20A～100A計(jì)算得的曲線方程，MRE及電池剩余放電時(shí)間如下表1所示:

表1 MRE及電池剩余放電時(shí)間

60A 0.019002876 292.91203 70A 0.029631008 274.45014 80A 0.039804134 255.24913 90A 0.048429112 233.77035 100A 0.076401288 233.77035

利用矩陣表示電流強(qiáng)度為20A～100A曲線方程，如下：

由矩陣可以看出，在電流強(qiáng)度為20A～100A曲線方程中，當(dāng)x>0時(shí)，為減函數(shù)，說明隨著時(shí)間的增加，電壓隨之減少，與實(shí)際相符。而表1中基本上所有的MRE<0.006，說明所擬合的函數(shù)精度高。

對電流強(qiáng)度與部分剩余放電時(shí)間的關(guān)系如下表2所示：

表2 電流強(qiáng)度與部分剩余放電時(shí)間

對電流強(qiáng)度與電池剩余時(shí)間關(guān)系的折線圖由下圖10所示：

圖10 電流與剩余放電時(shí)間的關(guān)系

由表2和圖10可以看出，同一電池在同一電壓下，隨著電流強(qiáng)度的逐漸增加，時(shí)間逐漸減少。

2.2 問題2的解決方案

通過SPSS軟件建立20A～100A的電流強(qiáng)度與電壓、時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型求得其MRE，代入55A的電流強(qiáng)度，求得電壓與放電時(shí)間、剩余放電時(shí)間的關(guān)系，從而用表格和圖形繪制出放電曲線。

2.2.1 問題2模型的建立

由問題一建立的二次函數(shù)模型可以得到電壓與時(shí)間的模型為：

可以得到模型中a、b、c隨電流的應(yīng)化而應(yīng)化，因此可以通過SPSS建立a、b、c與電流強(qiáng)度關(guān)系的表達(dá)式：

所以，可以建立出電壓與時(shí)間、電流的模型：

因此可以建立電壓、電流與時(shí)間的方程為:

（1）電流強(qiáng)度為20A～100A時(shí)與放電曲線模型中的各項(xiàng)系數(shù)擬合有有如下表3所示：

表3 電流強(qiáng)度與放電曲線數(shù)學(xué)模型中的各項(xiàng)系數(shù)擬合結(jié)果

觀察表3可得，當(dāng)x>0時(shí)，為減函數(shù)，說明隨著電流強(qiáng)度的增加，各項(xiàng)系數(shù)也逐漸減少。

（2）電流強(qiáng)度為55A時(shí)，放電時(shí)間與部分電壓的關(guān)系如下表4所示：

表4 放電時(shí)間與部分電壓的關(guān)系

電流強(qiáng)度與電池剩余時(shí)間的折線圖如下圖10所示 ：觀察表4與圖10可得，當(dāng)電流為55A時(shí)，放電時(shí)間的逐漸減少，電壓逐漸增加，與實(shí)際相符。

圖10 放電時(shí)間與電壓的關(guān)系

2.3 問題3的解決方案

本節(jié)主要根據(jù)附件二所給的數(shù)據(jù)利用SPSS軟件建立出衰減狀態(tài)3下電壓與時(shí)間的的線性方程，從而求得電池衰減狀態(tài)3下的放電時(shí)間進(jìn)而求得電池剩余放電時(shí)間。

2.3.1 問題3模型的建立

根據(jù)附件二所給的數(shù)據(jù)利用SPSS軟件建立出衰減狀態(tài)3下電壓與時(shí)間的的線性方程：

求得當(dāng)電壓為9v時(shí)所得時(shí)間為1255.441，因此電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間為659.241。

3 有束語

（1）本文利用了圖像分析法和對比分析法，可以更清晰的分析出圖像中的信息。

（2）本文所建立的任務(wù)定價(jià)模型也可以應(yīng)用于其他服務(wù)定價(jià)，推廣度較高。

（3）本文在選取應(yīng)量時(shí)應(yīng)對影響任務(wù)標(biāo)價(jià)的各個應(yīng)量進(jìn)行檢試與選取，從而能挑選出與任務(wù)標(biāo)價(jià)關(guān)系更為密切的應(yīng)量。