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(1.貴州大學 土木工程學院，貴陽 550025；2.北京交通大學 基建與規(guī)劃處，北京 100044)

1 研究背景

在工程地質(zhì)和巖土工程領域中，經(jīng)常會涉及周期荷載下巖體變形問題，如采動應力下煤礦井中煤壁、抽水蓄能電站上下游庫水位的周期性變動、交通隧道及地震荷載下的地基巖體等。長期周期荷載作用下巖體強度會降低而破壞，造成工程事故。因此，開展周期荷載下巖石的變形特性研究具有一定的理論價值和實用意義。

目前，國內(nèi)對周期荷載下巖石的變形特性的研究主要為理論推導、模型計算、試驗驗證3個方面。

(1)理論推導方面：郭建強等[1]借鑒蠕變理論，提出彈性、黏性、塑性3個疲勞元件，建立了單軸周期荷載下巖石Maxwell體、Kelvin體及非線性Bingham體串聯(lián)而成的非線性黏彈塑性疲勞模型；張平陽等[2]基于Weibull分布對巖石損傷軟化模型進行拓展，提出巖石循環(huán)加卸載本構模型；王春等[3]基于損傷力學原理，采用組合模型方法，建立半正弦波荷載下的一維高應力及重復沖擊共同作用下巖石的本構模型。

(2)模型計算方面：劉文韜等[4]通過研究含孔隙和微裂紋的巖石剪脹效應和軟化效應的應力-應變關系，提出巖石彈塑性連續(xù)損傷本構模型；趙怡晴等[5]基于巖土結構力學觀點，運用流變力學理論，通過組合計算，建立了三軸壓縮荷載條件下節(jié)理巖體損傷本構模型；孟紅霞等[6]基于動量和能量守衡原理及巖石沖擊開裂模擬試驗裝置的工作原理，通過模擬計算，建立了巖石動態(tài)損傷峰值壓力和加壓速率計算模型，并通過巖心沖擊開裂試驗驗證模型的適用性。

(3)試驗驗證方面：楊永杰等[7]對循環(huán)荷載作用下煤巖強度及變形特征開展了試驗研究，認為煤巖損傷是煤巖中微裂紋擴展和產(chǎn)生后匯聚為宏觀裂隙的過程，循環(huán)荷載下煤巖的損傷可以分為3個階段，并基于應變等效性假設提出煤巖損傷本構方程；唐禮忠等[8]對在高應力狀態(tài)下受小幅循環(huán)動力的大理巖進行了擾動力學試驗，從損傷力學角度研究巖石變形與循環(huán)荷載的關系，提出大理巖損傷疲勞本構模型；王軍保等[9]為研究低頻周期荷載下巖鹽的蠕變特性，對巖鹽試件進行恒軸壓、三角波循環(huán)圍壓下三軸壓縮試驗，建立低頻循環(huán)荷載下Burgers模型，該模型擬合曲線與試驗結果相似，但模型僅能描述巖石變形的減速、等速2個變形階段。

從目前的研究成果來看，周期荷載下巖石疲勞本構方面取得很多成果。但元件疲勞模型方面的研究相對較少，相關方面的研究仍需加強。為此，基于流變力學相關理論，試圖建立一種周期荷載下巖石疲勞蠕變本構模型，以描述周期荷載下巖石變形規(guī)律。研究成果不僅可豐富巖石力學理論，亦可給相關方面的研究提供一些參考。

2 巖石疲勞本構模型

為便于研究，在圍壓應力狀態(tài)下，可將等幅周期荷載作用下巖石所受的偏應力等效于應力函數(shù),即

式中：σav為周期荷載的不考圍壓平均值；σ1max為周期荷載應力上限值；σs為復雜應力狀態(tài)下巖石的臨界強度值[用(σ1-σ3)表示]，由周期荷載下巖石剛好發(fā)生疲勞破壞時(σ1-σ3)-ε曲線所確定的最大應力值；σc為復雜應力狀態(tài)下靜載的屈服強度值，即為靜力荷載下(σ1-σ3)-ε曲線上的峰值應力；σ1,σ3分別為巖石所受的大、小主應力；f為周期荷載的頻率。

由式(1)可知，當周期荷載的峰值偏應力(σ1max-σ3)>σs時等效偏應力(σ1-σ3)>σav，巖石可發(fā)生疲勞破壞；當周期荷載的峰值偏應力(σ1max-σ3)≤σs時，等效偏應力(σ1-σ3)≤σav，巖石不發(fā)生疲勞破壞；且σ1-σ3的值隨周期荷載的頻率增大而增大，說明式(1)可反映周期荷載作用。

當圍壓應力σ3=0時，周期荷載可等效成式(2)所示的應力函數(shù)[1]。

式中：σmax為周期荷載應力上限值；σs為單向應力狀態(tài)下巖石破壞門檻值(即臨界值)；σc為巖石單軸抗壓強度。

前人的研究結果表明[7,9-10]周期荷載下巖石疲勞變形可劃分為減速、等速、加速3個階段(見圖1)。當巖石所受的周期荷載σ1max-σ3小于巖石發(fā)生疲勞破壞時的臨界強度值σs時，巖石的變形只有減速、等速2個變形階段；反之，巖石發(fā)生疲勞破壞，變形具有減速、等速、加速3個階段，體現(xiàn)巖石黏彈塑性的特征。

圖1 巖石疲勞變形曲線Fig.1 Fatigue deformation curve of rock

西原模型[11]由廣義Kevin體及黏塑性體串聯(lián)而成，可以描述巖石黏彈特性，卻無法描述巖石的非線性變形特征。為能夠描述巖石在周期荷載下疲勞變形規(guī)律，基于流變力學相關理論，將西原模型中黏塑性體中的常值黏壺替換分數(shù)階黏壺，并串聯(lián)一個黏性元件，建立一種可描述不同周期荷載下巖石變形規(guī)律的分數(shù)階黏彈塑性本構模型，并將此模型推廣到復雜應力狀態(tài)下，推導出三軸條件下巖石疲勞本構方程。

圖2 分數(shù)階黏壺Fig.2 Fractional-order dashpot

(3)

式中：η為分數(shù)階黏壺黏滯系數(shù)，其物理量綱為[應力·時間]；n為分數(shù)階微分的階數(shù)，反映巖石加速階段應變速率的材料參數(shù)；N為荷載循環(huán)系數(shù)，N=ft；η,n為材料參數(shù)，可通過試驗測定。

當σ(t)=σ時，即所受力保持不變，根據(jù)分數(shù)階微積分基本理論，可得分數(shù)階黏壺的本構方程式為

(4)

式中：ε(t)為t時刻該黏壺的應變量；ε(N)為周期荷載作用了N時該黏壺的應變量。

對于式(4)，該本構方程式可控制巖石加速變形階段應變速率。當n≥1時，該元件應變本構ε(N)為n的增函數(shù)，n值越大，黏壺的應變速率越大。

2.1 一維巖石疲勞本構方程

一維巖石分數(shù)階黏彈塑性本構模型如圖3所示。當?shù)刃Ζ?σav時，分數(shù)階黏壺參與變形，模型為描述巖石3個變形階段的分數(shù)階黏彈塑性本構模型；當σ≤σav時，分階黏壺不參與變形，模型為描述巖石等速、減速變形的Burgers模型。

圖3 一維巖石分數(shù)階黏彈塑性本構模型Fig.3 One-dimensional fractional-order visco-elasto- plastic constitutive model(FVEPCM) for rock

2.1.1 本構方程分解

巖石分數(shù)階黏彈塑性模型由Maxwell、Kelvin及分數(shù)階Bingham模型組成，分別如圖3的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ所示。Maxwell模型由黏性和彈性元件串聯(lián)而成；Kelvin由彈性和黏性元件并聯(lián)組成；分數(shù)階Bingham模型由分數(shù)階黏壺和塑性元件并聯(lián)組成。對于組合元件,并聯(lián)各組件的應變相等，總應力等于各個元件應力之和；串聯(lián)組件的各元件上的應力相等，總應變等于各組件應變之和。

由于彈性、黏性元件的狀態(tài)方程為：

σ=Eε(N) ；

(5)

(6)

則各模型的本構方程如下所示。

(7)

(8)

Ⅲ：

(9)

式中：η1，η2，η3分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中黏壺的黏性系數(shù)，量綱為[應力·時間]；EM，EK分別為Ⅰ、Ⅱ中彈性系數(shù)，量綱為[應力]。

2.1.2 巖石疲勞本構方程

(1)當σ≤σav時，此時巖石變形規(guī)律特性由Ⅰ，Ⅱ 2部分組成的Burgers模型描述，由式(7)、式(8)可得基于圖3所示模型的本構方程,即

(2)當σ>σav時，此時巖石變形規(guī)律由Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 3部分組成的分數(shù)階黏彈塑性本構模型描述，由式(7)、式(8)、式(9)可得基于圖3所示模型的巖石疲勞本構方程，即

(11)

2.2 三維巖石疲勞本構方程

在三維受力σij狀態(tài)下，巖石力學參數(shù)不同于一維受力狀態(tài)。三維模型(見圖4)中的參數(shù)的意義與一維不同。模型中G1，G2分別為彈性與黏彈性剪切彈性系數(shù)，反映巖石的剪切變形特性的指標，量綱為[應力]；η1,η2,η3分別為黏性、黏彈性、分數(shù)階黏塑性剪切黏滯系數(shù)。

圖4 三維巖石分數(shù)階黏彈塑性本構模型Fig.4 Three-dimensional FVEPCM for rock

2.2.1 基本元件

2.2.1.1 彈性元件

根據(jù)彈塑性力學基本理論，可得彈性元件(圖4中①)的狀態(tài)方程為

(12)

(13)

式中σkk為應力張量第一不變量。

2.2.1.2 黏性元件

對于黏性元件(圖4中②)，不考慮應力球張量下黏性元件的體積變形，則其狀態(tài)方程為

(15)

對式(15)積分則可得

(16)

2.2.1.3 黏彈性模型

對于黏彈性模型(圖4中③)，不考慮應力球張量下黏彈性模型的體積變形，其狀態(tài)方程式為

(17)

由式(17)可得黏彈性體本構方程為

2.2.1.4 分數(shù)階黏塑模型

(19)

2.2.2 分數(shù)階黏彈塑性疲勞本構方程

(1)當σ1-σ3≤σav時，巖石不發(fā)生破壞，由式(14)—式(18)可得基于圖4所示模型所建立的本構方程式為

(20)

式中εij(N)為模型總應變張量。

(2)當σ1-σ3>σav時，巖石發(fā)生破壞，由式(14)—式(19)可得基于圖4所示模型所建立的巖石疲勞本構方程式為

(21)

2.2.3 三軸條件下巖石疲勞本構方程

三軸循環(huán)壓縮條件下巖石等效應力狀態(tài)為

(22)

式(22)的等效偏應力為

(23)

式中：σm為平均應力，σm=(σ1+2σ3)/3；δij為Kronecker等號。

只考慮巖石彈性體積應變，不考慮黏性、黏彈性及分數(shù)階黏塑性體積應變。則三軸壓縮狀態(tài)下，巖石總應變?yōu)?/p>

(24)

將式(21)代入式(24)得三軸壓縮條件下巖石發(fā)生變形時，試件的巖石軸向疲勞本構方程為

(25)

3 模型參數(shù)的求取及驗證

3.1 一維狀態(tài)下模型擬合及參數(shù)的確定

肖建清等[13]利用巖石試驗機對頻率為0.2 Hz正弦波循環(huán)荷載下花崗巖變形特性進行了研究，試件F1-7的循環(huán)荷載上、下限應力分別為136.26 MPa和43.03 MPa，通過試驗巖石單軸抗壓強度為143.43 MPa；趙凱等[14]利用動力試驗機對不同頻率荷載下石灰?guī)r疲勞特性進行了研究，其中DD-53試件的單軸抗壓強度為104.32 MPa,所受正弦波的循環(huán)荷載頻率為1 Hz，荷載上、下限應力分別為31.30 MPa和93.89 MPa；楊永杰等[7]采用電液伺服巖石試驗系統(tǒng)對煤巖試件進行試驗研究，得到單軸狀態(tài)下煤巖臨界值不大于單軸抗壓強度的81%，本文臨界值取為單軸抗壓強度的81%。其中BDC2試件的單軸抗壓強度為28.4 MPa，所受正弦波的循環(huán)荷載頻率為0.5 Hz，荷載上、下限應力分別為0.568 MPa和23.04 MPa。提出巖石疲勞本構方程式(11)對以上3個試驗數(shù)據(jù)進行擬合和模型參數(shù)的求取，擬合曲線見圖5，參數(shù)見表1。

如圖5及表1所示，由分數(shù)階黏彈塑性疲勞本構方程在對巖石疲勞變形曲線的擬合結果可知：①模型擬合參數(shù)均為正，無一負值，且對大部分巖石的擬合相似度達96%以上，但對煤巖疲勞曲線的擬合系數(shù)較低，可能因為數(shù)據(jù)的獲取誤差造成的；②各巖石的模型參數(shù)n從大到小依次是煤巖>石灰?guī)r>花崗巖，表明分數(shù)階黏壺參數(shù)n隨巖石的單軸抗壓強度的增大而減小；③圖5中，煤巖的加速階段應變速率較其他巖石大，其原因為煤巖的擬合參數(shù)n較其他巖石大，導致巖石的加速變形階段應變速率較其他巖石更陡。

圖5 一維FVEPCM模型對花崗巖、石灰?guī)r、煤巖疲勞變形的擬合曲線Fig.5 Fitting of fatigue deformation of granite limestone,and coal rock by one-dimensional FVEPCM

表1 一維FVEPCM模型對文獻[13]、文獻[14]、文獻[7]的擬合參數(shù)Table 1 Fitted parameters of one-dimensional FVEPCM from literature[13], [14], and [7]

表2 三維FVEPCM模型對文獻[15]、文獻[16]的擬合參數(shù)Table 2 Fitted parameters of three-dimensional FVEPCM from literature[15] and [16]

3.2 三維模型擬合及參數(shù)的確定

章清敘等[15]利用巖石多功能試驗機對受圍壓應力下紅砂巖的變形特性進行了循環(huán)荷載試驗研究，其中試件RS-4-3#的加載頻率為0.2 Hz，所受的循環(huán)荷載上、下限應力分別為51.8 MPa和99.1 MPa，利用Origin軟件可得15 MPa圍壓下紅砂巖的靜載屈服強度σc=98.22 MPa及屈服臨界值σs=104.653 MPa。提出巖石疲勞本構方程式(25)對試件RS-4-3#疲勞曲線進行擬合和模型參數(shù)的求取，擬合曲線見圖6(a)，參數(shù)見表2。

丁祖德等[16]通過自制三軸圍壓系統(tǒng)及MTS單軸疲勞試驗機對富水砂質(zhì)泥巖在正弦波周期荷載下變形的研究，試驗得到圍壓σ3=200 kPa下軟巖的臨界動應力幅值在180～300 kPa之間，本文取臨界值σs=300 kPa。葛修潤等[17]根據(jù)其試驗得出在三圍狀態(tài)下巖石的臨界應力為巖石靜載屈服值的0.85～0.9，本文取比值為0.85，則軟巖靜載屈服值為σc=353 kPa。提出巖石疲勞本構方程式(25)對圍壓σ3=200 kPa、加載頻率f=3 Hz、靜偏應力σsp=180 kPa及所受循環(huán)荷載動應力σd=300 kPa下巖石曲線進行擬合和模型參數(shù)的求取，擬合曲線見圖6(b)，參數(shù)見表2。此種情況下巖石軸向荷載為

(26)

圖6 三維FVEPCM模型對紅砂巖、富水砂質(zhì)泥巖疲勞變形的擬合曲線Fig.6 Fitting of fatigue deformation of red sandstone and water rich sandy mudstone by three-dimensional FVEPCM

由表2、圖6可知，分數(shù)階黏彈塑性本構模型在三維受力狀態(tài)下對巖石的變形有很好的擬合結果。由擬合結果(表2)可知：① 2種巖石的擬合相關系數(shù)都在0.995以上；②擬合結果n值富水砂質(zhì)泥巖>紅砂巖表明分數(shù)階黏壺參數(shù)n隨巖石三軸靜載強度的增大而減小。

4 結 論

(1)基于流變力學理論，提出可描述周期荷載下不同巖石完整疲勞變形規(guī)律的一維巖石分數(shù)階黏彈塑性本構模型，一維巖石疲勞本構模型推廣到復雜應力狀態(tài)下巖石疲勞本構模型，并推導出三軸條件下分數(shù)階黏彈塑性本構模型。

(2)單軸條件下：當σ>σav時，模型為反映巖石減速、等速、加速3個變形階段變形規(guī)律的分數(shù)階黏彈塑性模型；反之，則為反映巖石減速、加速變形規(guī)律的Burgers模型。

(3)三軸條件下：當σ1-σ3>σav時，模型為反映巖石減速、等速、加速3個變形階段變形規(guī)律的分數(shù)階黏彈塑性模型；反之，則為反映巖石減速、加速變形規(guī)律的Burgers模型。

(4)用相關文獻的巖石疲勞變形試驗結果對分數(shù)階黏彈塑性本構模型的合理性進行了驗證。結果表明：該模型能夠很好地描述巖石疲勞變形全過程的3個階段，且擬合曲線和試驗曲線吻合良好，誤差較小，其擬合相關系數(shù)在0.96以上。

本文模型僅描述了周期荷載循環(huán)次數(shù)與單軸軸向應變、三軸軸向應變之間的關系，并沒有對其他方面因素進行考慮；模型所描述的曲線呈倒“S”形，描述效果較好，因減速階段反應時間短，反應迅速，該模型對一些巖石初始減速階段的擬合不是太好，以及對其他巖石疲勞變形的異形曲線的擬合效果需要進一步研究。