陳 鋒

（江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)）

問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，以問題為導(dǎo)向，以探究為主線，來啟迪學(xué)生的思維，會(huì)對學(xué)生的思考探究起到方向性和指導(dǎo)性的作用，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)獲取知識(shí)的本領(lǐng)，把握正確的學(xué)習(xí)方法，真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法，進(jìn)而提高核心素養(yǎng).

那么，如何通過問題來引導(dǎo)學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)呢？2017年10月，在一次名師工作室匯報(bào)展示活動(dòng)中，筆者講授了一節(jié)八年級上學(xué)期期中考試復(fù)習(xí)課“全等三角形（1）”，贏得了聽課教師的高度評價(jià).現(xiàn)將該節(jié)課中問題導(dǎo)學(xué)的教學(xué)片斷，以及筆者對問題導(dǎo)學(xué)的點(diǎn)滴思考呈現(xiàn)出來，與各位同行分享.

圖1

一、多元化課堂問題導(dǎo)學(xué)的教學(xué)策略

1.設(shè)置并列式問題，回顧知識(shí)，在追問中構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教學(xué)片斷1：教師展示題目，如圖1，△ABC≌△FDE．

第一步：知識(shí)回顧.

問題1：從圖1中，你能得到哪些結(jié)論？

生1：AB=FD，AC=FE，BC=DE.

師：在圖1中，除了可以得到這些相等的線段以外，你還能得到什么？

生2：角相等，如∠ACB=∠FED.

生3：線段平行，如AC∥FE.

生4：線段相等，如AF=BD.

師：同學(xué)們是根據(jù)什么知識(shí)得到這些結(jié)論的？

生4：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.

教師板書：全等三角形的性質(zhì)——知識(shí)點(diǎn).

第二步：知識(shí)整合.

問題2：怎樣找對應(yīng)邊和對應(yīng)角呢？

生5：從已知條件△ABC≌△FDE，可以知道AC的對應(yīng)邊是FE.

師：很好，生5從題目中給出的數(shù)學(xué)符號(hào)語言找到了對應(yīng)邊，還有與生5不同的方法嗎？

生6：我是從圖中看出來的.因?yàn)閷⑷切纹揭埔院罂梢缘玫紸C與FE重合，所以AC的對應(yīng)邊是FE.

師：這兩位同學(xué)用不同的方法找到了對應(yīng)邊，他們的方法都很好.我們可以根據(jù)題目的條件，尋找合適的方法來找對應(yīng).

教師板書：找對應(yīng)——方法點(diǎn).

問題3：AF=BD，AC∥FE也是用這一知識(shí)直接得到的嗎？

生6：不是的.由全等三角形的性質(zhì)可以得到AB=FD.再由AB=FD，分別減去公共線段FB，能得到AF=BD.

師：非常棒，生6將直接量（對應(yīng)邊AB=FD）轉(zhuǎn)化為間接量（相等線段AF=BD），這里體現(xiàn)了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想.

效能分析：知識(shí)的復(fù)習(xí)是建立在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)之上的，由于前一階段的新課學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中對全等三角形的性質(zhì)已有初步的概念，只是由于間隔時(shí)間較長有所遺忘，因此教師采用了一組并列式的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中重構(gòu)知識(shí).首先，通過一個(gè)開放性的問題1，引導(dǎo)學(xué)生回顧了全等三角形所有的性質(zhì)，然后通過一個(gè)追問幫助學(xué)生整合找對應(yīng)的兩種方法，即從題目條件△ABC≌△FDE（符號(hào)語言）中找對應(yīng)和從圖形中的兩個(gè)三角形全等（圖形語言）中找對應(yīng).最后通過問題3引導(dǎo)學(xué)生將直接量（對應(yīng)邊相等）轉(zhuǎn)化為間接量（線段相等），明確轉(zhuǎn)化思想和技能.這三個(gè)并列的問題分別從知識(shí)技能的梳理、整合、重組的角度直接指向各知識(shí)點(diǎn)，通過教師的及時(shí)追問，激活學(xué)生的原有認(rèn)知，并以此成為學(xué)生將知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化的節(jié)點(diǎn)和生長點(diǎn).

2.提供遞進(jìn)式問題，梳理方法，在追問中拓展策略技能

教學(xué)片斷2：見圖1.

第一步：方法梳理.

問題1：如圖1，在△ABC和△FDE中，要說明△ABC≌△FDE，需要添加幾個(gè)條件？

生7：三個(gè)條件.

師：你是根據(jù)什么知識(shí)知道要添加三個(gè)條件的？具體可以添加哪些條件？

生8：根據(jù)全等三角形的判定方法，具體為SSS，SAS，ASA，AAS.

師：在這三個(gè)條件中至少要有一組什么條件？

生9：至少要有一組對應(yīng)邊相等.

問題2：如圖1，在Rt△ABC和Rt△FDE中，要說明△ABC≌△FDE，需要添加幾個(gè)條件？

生10：只要添兩個(gè)條件就可以.

第二步：對比分析.

師：圖形沒變，為什么添加的條件變少了？

生11：雖然圖形沒變，但是題目中將兩個(gè)一般三角形變成了兩個(gè)直角三角形.

師：生11關(guān)注到了題目的細(xì)微變化，看來會(huì)尋求題目中的有用信息也是一種能力.

師：在現(xiàn)有條件的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)條件BC=DE，那么要說明△ABC≌△FDE，則需要添加什么條件？

生12：我添的是AB=FD.

師：你為什么認(rèn)為添加AB=FD就能說明△ABC≌△FDE呢？

生12：根據(jù)題目，已有的條件是BC=DE和∠ABC=∠FDE=90°，也就是有了一組對應(yīng)邊和一組對應(yīng)角相等.再根據(jù)全等三角形的判定方法“SAS”，我選擇AB=FD.

師：生12從已知條件開始進(jìn)行分析，聯(lián)想到用“SAS”的判定方法，還缺少AB=FD.

師：這道題目只能添加AB=FD嗎？只能用“SAS”的方法來判定兩個(gè)三角形全等嗎？還有其他方法嗎？

生13：用“ASA”的判定方法，可以添加∠C=∠E；用“AAS”的判定方法，可以添加∠A=∠EFD；用“HL”的判定方法，可以添加AC=FE.

師：我們根據(jù)四種判定方法，添加了四個(gè)條件，那么是否只能添加這四個(gè)條件呢？

生14：可以添加AF=BD或AC∥FE.

第三步：策略提升.

師：為什么？你的理由是什么？

生14：由AB=FD，知道添加AF=BD也可以；由∠A=∠EFD，知道添加AC∥FE也對.

師：也就是AF=BD可以轉(zhuǎn)為AB=FD，進(jìn)而得到△ABC≌△FDE.由AC∥FE，可以推出∠A=∠EFD，也能得到△ABC≌△FDE.這里體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，只是這里將間接量（AF=BD或AC∥FE）轉(zhuǎn)化為直接量（AB=FD，∠A=∠EFD）.

問題3：如圖2，在Rt△ABC和Rt△FDC中，BC=DC，要說明△ABC≌△FDC，則需要添加幾個(gè)條件？

生15：添加一個(gè)條件.

圖2

生16：不需要添任何條件，就能說明△ABC≌△FDC.

師：為什么不需要添加任何條件？

生16：我用了“ASA”的判定方法.由∠CDF=∠CBA=90°，BC=DC，∠C=∠C，得△ABC≌ △FDC.

生15：你不是添加∠C=∠C這一條件了嗎？

生16：∠C=∠C這個(gè)條件是不用添加的，因?yàn)椤螩是圖中的公共角.

師：生15，你認(rèn)為呢？

生15：是的.

師：∠C就是圖形中的隱含條件，那么圖形中的哪些量可以作為隱含條件？

生17：圖形中的公共邊、公共角、對頂角都可以作為隱含條件.

效能分析：在前一階段全等三角形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對部分知識(shí)容易產(chǎn)生忽視點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).在這一環(huán)節(jié)，首先，教師通過細(xì)微的條件變化（“在△ABC和△FDE中”變?yōu)椤霸赗t△ABC和Rt△FDE中”），讓學(xué)生學(xué)會(huì)在文本中發(fā)現(xiàn)有用信息，再通過增添?xiàng)l件BC=DE，自然地從認(rèn)知性問題遞進(jìn)到方法性問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)所給條件自主合理地選擇全等三角形的判定方法，并強(qiáng)化將間接量轉(zhuǎn)化為直接量的方法.最后，通過改變圖形，將問題遞進(jìn)到策略性問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形中隱含信息的技巧策略.教師利用這一連串遞進(jìn)式的問題，將知識(shí)、方法、策略三個(gè)維度中學(xué)生應(yīng)具備的技能方法都羅列其中，學(xué)生在問題的解答中暴露出技能方法的不足，再通過教師的追問，及時(shí)彌補(bǔ)不足，從而提高了復(fù)習(xí)的效能.

3.設(shè)置探索式問題，提升能力，在追問中激活思維品質(zhì)

教學(xué)片斷3：教師出示如下題目.

如圖3，在△CBE和△ACF中，∠BEC=∠CFA=90°，CA=CB，∠BCA=90°.

圖3

第一步：合理猜想.

問題1：你們知道圖3中EF，BE，AF三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生思考后有如下回答.

生18：我認(rèn)為這三條線段的數(shù)量關(guān)系是EF+AF=BE.

師：為什么存在這樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生18：我是用直尺量了EF，BE，AF三條線段的長度，分別為EF=0.6cm，AF=1.4cm，BE=2cm.

師：很好，猜想是證明的前提，而且生18的猜想是建立在實(shí)際測量的基礎(chǔ)上的.這三條線段的數(shù)量關(guān)系我們已經(jīng)猜想出來了，那么大家會(huì)證明嗎？

生19：只要證明△BCE≌△CAF就可以了.

第二步：推理驗(yàn)證.

師：現(xiàn)在已知條件只有∠BEC=∠CFA和CA=CB，怎么證明這兩個(gè)三角形全等呢？

生20：因?yàn)?∠BCA=90°，所以 ∠BCF+∠FCA=90°.又因?yàn)?∠BEC=90°，所以 ∠BCF+∠CBE=90°. 所以∠FCA=∠CBE.用“AAS”的判定方法，就能證明△BCE≌△CAF.進(jìn)而就能得到EF+AF=BE.

問題2：如圖4，在△CBE和△ACF中，∠BEC=∠CFA=∠α，CA=CB，試添加一個(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使結(jié)論EF+AF=BE仍然成立.

圖4

生21：我猜想∠α+∠BCA=180°.

師：你是怎樣猜的？

生21：我用量角器量出了∠α與∠BCA的度數(shù)，猜想出∠α+∠BCA=180°.

師：很好，大家都是用測量的方法來猜想的嗎？

生22：我的方法不一樣.由問題1中∠BCA=90°和∠BEC=∠CFA=90°，我猜想∠α與∠BCA的關(guān)系可能有兩種，即∠α+∠BCA=180°或∠α=∠BCA. 而圖4中∠α與∠BCA的大小不相等，所以我猜想∠α+∠BCA=180°.

師：真棒！生22結(jié)合前一問題的數(shù)量關(guān)系和圖形進(jìn)行猜想，這種數(shù)形結(jié)合的猜想方法，值得大家學(xué)習(xí).那么大家會(huì)證明嗎？

生：同樣，只要證明△BCE≌△CAF就可以了.

問題3：如圖5，在△CBE和△ACF中，∠BEC=∠CFA= ∠α，CA=CB，∠α=∠BCA，試提出EF，BE，AF三條線段的數(shù)量關(guān)系的合理猜想.

圖5

生：EF=BE+AF.

第三步：領(lǐng)悟本質(zhì).

師：這一題組從圖3改變圖形得到了圖4，再改變圖形的位置得到了圖5，這一組題目圖形在變化，但什么沒有改變？

生：兩個(gè)三角形全等.

師：在解決這種系列問題時(shí)，要學(xué)會(huì)抓本質(zhì)，從所用的方法（三角形全等）和結(jié)論兩個(gè)方面去考慮.

效能分析：學(xué)生的探究力和思維度必須通過探究活動(dòng)來加以提升，在這一環(huán)節(jié)中，教師通過問題1讓學(xué)生探究全等三角形應(yīng)用的基本方法和流程，學(xué)會(huì)勇于猜想；再以問題1為基礎(chǔ)，通過圖形變化（圖4），讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)該根據(jù)應(yīng)有的條件進(jìn)行合理猜想和科學(xué)驗(yàn)證；接著通過圖形的再次變化（圖5），讓學(xué)生的探索提升至思維的層面，讓學(xué)生在探索的過程中自覺地進(jìn)行前后比較、相互聯(lián)想，激起學(xué)生解決問題的意識(shí)，從而讓學(xué)生的思維走進(jìn)科學(xué)探究的殿堂.這一探索式問題中，教師一系列的追問從不同角度、不同層次培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性，讓學(xué)生在對問題的思辨中，不斷完善思維品質(zhì).

二、對本節(jié)課多元化課堂問題導(dǎo)學(xué)的交流點(diǎn)評

課后有學(xué)生反映，以前學(xué)的有關(guān)三角形全等的知識(shí)（性質(zhì)、判斷以及運(yùn)用）是零散的，在腦子里很亂.這節(jié)課通過多元化的課堂問題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生弄清楚了全等三角形的性質(zhì)、判定和運(yùn)用之間的聯(lián)系和區(qū)別，也知道了應(yīng)該從什么角度去思考問題.整節(jié)課通過層遞性、挑戰(zhàn)性、探究性的問題，以追問為抓手，將目標(biāo)任務(wù)化，任務(wù)問題化，問題活動(dòng)化，活動(dòng)程序化，程序具體化，層層推進(jìn)，讓知識(shí)和方法的回顧與學(xué)生思維交互起來，這些恰恰就是本節(jié)課的亮點(diǎn)所在，具體體現(xiàn)在如下方面.

1.通過“問”，達(dá)到教學(xué)的“學(xué)”與“構(gòu)”的兩個(gè)目標(biāo)

本節(jié)課以全等三角形的定義、性質(zhì)、判定，以及全等三角形的運(yùn)用等知識(shí)，建立本章的知識(shí)、技能方法、思想的結(jié)構(gòu)圖.片斷1中，學(xué)生通過教師設(shè)置的問題回顧已學(xué)知識(shí)，在頭腦中建構(gòu)起一幅全等三角形性質(zhì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖；通過教師的追問遷移如何有效找出全等三角形性質(zhì)的方法，進(jìn)而建構(gòu)了一幅找全等三角形性質(zhì)的技能結(jié)構(gòu)圖；片斷2中，學(xué)生通過問題的解決，建構(gòu)了一幅判斷三角形全等的方法結(jié)構(gòu)圖.片斷3中，通過三個(gè)變化的圖形，讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)思想的結(jié)構(gòu)圖.這些都是幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)、方法、技能的有效扶梯，著力培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)力，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生的思考方式和思考角度，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)和思維方式的主動(dòng)建構(gòu)，達(dá)到“學(xué)”與“構(gòu)”的目標(biāo).

2.通過“問”，體現(xiàn)教學(xué)的“明”與“暗”兩條主線

本節(jié)課通過一系列問題引出了明、暗兩條主線：一條是附于問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)層面的，鏈接知識(shí)點(diǎn)的橫向網(wǎng)絡(luò)的明線，直奔教學(xué)內(nèi)容；另一條是貫穿在各追問中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的縱向網(wǎng)絡(luò)的暗線.從全等三角形的性質(zhì)，過渡到全等三角形的判定，再到全等三角形的運(yùn)用，絲絲入扣，層層深入，明線和暗線始終貫穿于課堂，明線服務(wù)于暗線，暗線依附于明線，兩條線相得益彰，相互作用.這兩條主線都是從學(xué)生的元認(rèn)知水平出發(fā)，通過所設(shè)置的問題在串聯(lián)明線的進(jìn)程，同時(shí)設(shè)置的問題具有一定的層次性和較強(qiáng)的探究性，將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，讓其自主學(xué)習(xí)，給足學(xué)生個(gè)體自學(xué)和群體交流的時(shí)間，以此促進(jìn)學(xué)生思維這條暗線的發(fā)展.

3.通過“問”，展示教學(xué)的“評”和“引”兩種方式

課堂中的即時(shí)評價(jià)含有啟發(fā)與引導(dǎo)的作用.教師有效地捕捉學(xué)生解決問題過程中發(fā)出的信息并及時(shí)給出評價(jià)，既是對學(xué)生思維的肯定，又是巧妙引導(dǎo)其他學(xué)生繼續(xù)思考的有效途徑.本節(jié)課中正是因?yàn)榻處煹募皶r(shí)肯定和鼓勵(lì)，引發(fā)學(xué)生不斷地在探索問題的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.例如，“這位同學(xué)從圖形上所給的信息進(jìn)行了合理的猜想，非常好，那我們從題目所給的信息是否也能得到相應(yīng)的猜想呢？”這既是對學(xué)生回答的評價(jià)，同時(shí)又從思考問題的角度對其他學(xué)生進(jìn)行啟發(fā).又如，一些鼓勵(lì)性語句“讓我們換個(gè)角度再想想，我們能否更優(yōu)化一些，……”不僅處處體現(xiàn)了教師的人文關(guān)懷，而且引導(dǎo)了學(xué)生的思維走向.本節(jié)課的“評”在營造師生和諧交流氛圍的同時(shí)，對學(xué)生的思考提供了方法、明確了方向.

4.通過“問”，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升

復(fù)習(xí)課的教學(xué)最終還是要落實(shí)在學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升上.通過追問不僅可以幫助學(xué)生明確自己的不足和努力的方向，可以關(guān)注學(xué)生已掌握了哪些知識(shí)，獲得了哪些方法，具備了哪些能力，在哪些方面還需要提升，而且可以將不可測量的思維外顯化、深度化，從而將知識(shí)教學(xué)發(fā)展為能力教學(xué)和素養(yǎng)教學(xué)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課中，教師通過元認(rèn)知性的追問“在圖中，我們除了可以得到這些相等線段以外，你還能得到什么”來培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)；用認(rèn)知性的追問“你是根據(jù)什么知識(shí)知道要添加三個(gè)條件的？具體可以添加哪些條件？”“是否只能添加這四個(gè)條件？”來建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)和引導(dǎo)課堂探究的脈絡(luò)，從而有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升；通過“為什么它們之間存在這樣的數(shù)量關(guān)系呢？”“為什么不需要添加任何條件？”“這一組題目圖形在變化，但什么沒有改變？”這樣策略性的追問，提升了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

三、結(jié)束語

在整個(gè)課堂建構(gòu)中，處處體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，所有問題基本都是學(xué)生自主解答完成，教師只是穿針引線，適時(shí)地發(fā)揮引導(dǎo)作用.不過，就問題的設(shè)計(jì)而言，筆者認(rèn)為似乎少了些什么.首先，作為期中復(fù)習(xí)課，本節(jié)課只是涉及了“全等三角形”這一章的知識(shí)，沒有和其他章節(jié)（如剛學(xué)的勾股定理等）相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的聯(lián)系，有點(diǎn)遺憾.其次，就全等三角形相關(guān)知識(shí)而言，圖形的運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）也是全等三角形判定的重要內(nèi)容和方法之一，而本節(jié)課沒有一道題涉及到圖形的運(yùn)動(dòng)問題，在學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)過程中并未體現(xiàn)出來，因此，學(xué)生頭腦中的全等三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)圖就顯得不是那么完整.如果能通過一些問題的設(shè)計(jì)，將圖形運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)也融入進(jìn)來，這節(jié)課將更加完美.但是，這樣一來，整節(jié)課的容量將十分龐大，這將與有限的課堂時(shí)間產(chǎn)生矛盾，這也是值得探討的地方.

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