賀昌輝，冷 毅，潘英鋒

(空軍雷達(dá)學(xué)院信息對(duì)抗系，湖北武漢 430019)

“電磁場(chǎng)與電磁波”是工科電子類(lèi)專業(yè)一門(mén)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，也是“微波技術(shù)”、“天線”、“電波傳播”及“電磁兼容”等后續(xù)課程的理論基礎(chǔ)。矢量分析是研究電磁場(chǎng)與電磁波的重要的數(shù)學(xué)工具，這其中有關(guān)距離矢量［1］R聯(lián)系著場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)。因此研究由場(chǎng)源產(chǎn)生的場(chǎng)的性質(zhì)，必然涉及到關(guān)于的運(yùn)算，所以關(guān)于R的運(yùn)算在電磁場(chǎng)與電磁波中具有很重要的地位。本文通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，導(dǎo)出了距離矢量R的幾個(gè)重要結(jié)論:R，f(R)，1/R的梯度及1/R的梯度的散度，并介紹了這些結(jié)論在電磁場(chǎng)與電磁波中有關(guān)場(chǎng)量的計(jì)算中的重要地位，藉此有助于這門(mén)課教學(xué)效果的提高。

1 位置矢量R的幾個(gè)重要結(jié)論

如圖1所示，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y，z)，用位置矢量r=exx+eyy+ezz表示;源點(diǎn)可用位置矢量r'=exx'+eyy'+ezz'表示。

圖1 源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離

1.1 距離矢量的結(jié)論一

1.2 距離矢量的結(jié)論二

1.3 距離矢量的結(jié)論三

當(dāng)源點(diǎn)不變，兩場(chǎng)點(diǎn)變化時(shí)，1/R的梯度表示為(1/R)。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)不變，源點(diǎn)變化時(shí)，1/R的梯度表示為'(1/R)。

［證明］在結(jié)論二中，如果令f(R)=1/R，則由f(R)=［df(R)/dR］eR，可得

1.4 距離矢量的結(jié)論四

這表明在場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)不重合的情況下，1/R對(duì)場(chǎng)點(diǎn)或者是源點(diǎn)梯度的散度相等，且均為0。

(2)在R=0(即場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)重合)這個(gè)點(diǎn)上是個(gè)奇點(diǎn)，可以求得

根據(jù)δ函數(shù)的定義式

這里已應(yīng)用了高斯散度定理，s是限定體積τ的閉合面。

其中，(R/R2)·ds是面元ds在原點(diǎn)所張的立體角dΩ，面積分s(R/R2)·ds則是包圍原點(diǎn)的閉合面s在原點(diǎn)所張的立體角，它的數(shù)值等于4π，所以式(7)左邊也等于1，這就證明了式(6)是恒成立的。

綜合(1)與(2)，兩種情況位置矢量的結(jié)論四可以用一個(gè)公式表示，即

2 基于上述結(jié)論的應(yīng)用

2.1 用于簡(jiǎn)化矢量計(jì)算

很顯然，運(yùn)用距離矢量的性質(zhì)，避免了繁瑣復(fù)雜的旋度運(yùn)算，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

2.2 推導(dǎo)點(diǎn)電荷電位

現(xiàn)已知點(diǎn)電荷計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的公式為

式中，體積分是對(duì)源點(diǎn)進(jìn)行的源點(diǎn)變化;求梯度式對(duì)場(chǎng)點(diǎn)進(jìn)行的場(chǎng)點(diǎn)變化。故兩種運(yùn)算相互獨(dú)立，可以交換次序。故有

式中，常數(shù)C的梯度為0。

由上式可知，電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度，我們把這個(gè)標(biāo)量函數(shù)定義為電位，并用φ來(lái)表示，則

于是，很容易地推導(dǎo)出了點(diǎn)電荷電位的表達(dá)式。

2.3 恒定磁場(chǎng)中安培環(huán)路定理的證明

安培環(huán)路定理［3］是恒定磁場(chǎng)中一個(gè)重要的定理。下面我們利用矢量磁位來(lái)推導(dǎo)該定理。

對(duì)于式(14)中的體積分，在R=0(即原點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)重合這一點(diǎn))之外的全部區(qū)域全為0。因此，積分區(qū)域可縮小到場(chǎng)點(diǎn)附近的小區(qū)域，如圖2所示。

圖2場(chǎng)點(diǎn)附近的源點(diǎn)

假定小區(qū)域是以場(chǎng)點(diǎn)為球心，以R為半徑的球體。因R可以任意小，可以認(rèn)為小體積中的Jx為常數(shù)。并將其移到積分號(hào)之前，根據(jù)散度定理有

式中，eR是源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的單位矢量，指向球心;dS'沿球面外法線方向，即半徑方向，與eR方向相反;所以有eR·dS'=-dS'，代入上式得

這就是真空中安培環(huán)路定理的微分形式。

除此之外，靜電場(chǎng)的高斯定理，在有不少電磁場(chǎng)與電磁波的教科書(shū)采用立體角的概念推導(dǎo)［4］。但這種推導(dǎo)很麻煩，但如果應(yīng)用距離矢量的結(jié)論四和δ函數(shù)來(lái)推導(dǎo)，就要簡(jiǎn)單得多。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，給出并證明了距離矢量的幾種重要結(jié)論，并介紹了這些結(jié)論在電磁場(chǎng)與電磁波中有關(guān)場(chǎng)量的計(jì)算與推導(dǎo)中的重要應(yīng)用。正是因?yàn)閼?yīng)用了這些結(jié)論，使復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化，使各種定理的推導(dǎo)容易化，便于學(xué)生很輕松地理解，藉此提高本課程的教學(xué)效果。

［1］王澤忠.工程電磁場(chǎng)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008，3

［2］傅文斌.微波技術(shù)與天線［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007，3

［3］謝處方.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京:高等教育出版社，2006，1

［4］黃玉蘭.電磁場(chǎng)與微波技術(shù)［M］.北京:人民郵電出版社，2007，8