張國(guó)發(fā)

（遵義醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院，貴州 遵義 563006）

1 隨機(jī)模型介紹

1.1 自回歸移動(dòng)平均模型

若時(shí)間序列yt為它的前期值和其當(dāng)期與前期隨機(jī)誤差項(xiàng)的線性函數(shù)，即

則稱序列yt為自回歸移動(dòng)平均序列，該模型為(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)。參數(shù)φ1,φ2,…,φp為自回歸系數(shù)，參數(shù)θ1,θ2,…,θp為移動(dòng)平均參數(shù)，均是模型的待估參數(shù)，隨機(jī)項(xiàng)ut為服從零均值、方差為δu2的正態(tài)分布，且互相獨(dú)立的白噪聲序列，成為隨機(jī)誤差項(xiàng)。而且ut與yt－1,yt－2,…,yt－p不相關(guān)；若沒有θ1,θ2,…,θq部分，則稱序列yt為自回歸序列，該模型為p階自回歸模型，記為AR(p)；若沒有φ1、φ2、…φp部分，則稱序列yt為移動(dòng)平均序列，該模型為q階移動(dòng)平均模型，記為MA(q)。

1.2 單位根移動(dòng)平均模型

若時(shí)間序列yt經(jīng)過d次差分后可以使用ARMA模型來描述，則稱該時(shí)間序列服從ARIMA(p,d,q)，其模型為：

2 ARIMA建模步驟

2.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

由于建立時(shí)間序列模型的數(shù)據(jù)要滿足平穩(wěn)性條件，所以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)前要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，可以通過時(shí)間序列的散點(diǎn)圖或者折線圖對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行初步的平穩(wěn)性判斷，再者可以通過自相關(guān)圖的特性判斷，最后再構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行輔助判斷。對(duì)于非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)，我們可以采用差分的方法使其化為平穩(wěn)的時(shí)間序列，但其差分的次數(shù)不宜過多，因?yàn)檫@樣會(huì)導(dǎo)致模型中信息的大量丟失[1]。

2.2 模型的識(shí)別與參數(shù)估計(jì)

模型識(shí)別包含模型的類型以及相應(yīng)階數(shù)p,d,q的確定。差分階數(shù)d的識(shí)別：如果時(shí)間序列的樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)衰減非常緩慢的情況，很可能是自回歸積分滑動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）過程。通常的識(shí)別是，首先計(jì)算一階差分序列的樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自系數(shù)，對(duì)結(jié)果符合自回歸滑動(dòng)平均（Auto-Regressive and Moving Average，ARMA ）模型的特征，則說明時(shí)間序列對(duì)于某一ARIMA(p,1,q)過程。否則，必須嘗試進(jìn)行高階差分，直到產(chǎn)生穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)特性為止。p,q確定：拖尾，p階截尾，模型定階為AR(p)模型；q階截尾，拖尾，模型定階為MA(q)模型；拖尾，拖尾，模型定階為ARMA(p,q)模型。估計(jì)方面：本文采用ML進(jìn)行估計(jì)，其優(yōu)點(diǎn)是充分應(yīng)用了每一個(gè)觀察值所提供的信息，因而它的估計(jì)精度高，同時(shí)，還具有估計(jì)的一致性、漸進(jìn)正態(tài)性和漸進(jìn)有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)[2]。

2.3 模型的檢驗(yàn)

（1）為了判斷所得到的模型是否適當(dāng)，還必須進(jìn)行診斷檢驗(yàn)，常用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，設(shè)殘差序列為e1,e2…en,H0：e1,e2…en是白噪聲序列，構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量Q：最后利用χ2分布對(duì)時(shí)間序列模型進(jìn)行診斷檢驗(yàn)。（2）參數(shù)的檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)每個(gè)參數(shù)是否顯著非零，通常應(yīng)剔除不顯著參數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量并重新擬合，以構(gòu)造出更精煉的擬合模型[3]。

2.4 模型的優(yōu)化與預(yù)測(cè)

當(dāng)一個(gè)擬合模型通過了檢驗(yàn)，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地?cái)M合觀察值序列的波動(dòng)，但這種模型并不是唯一的，對(duì)于這種情況，我們通常采用最小信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC）和貝葉斯信息規(guī)則（Best In Class，BIC），這兩個(gè)準(zhǔn)則可以彌補(bǔ)根據(jù)自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖定階的主觀性，在有限的范圍內(nèi)，幫助我們尋找相對(duì)最優(yōu)擬合模型。在經(jīng)過模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、模型優(yōu)化后可以獲得一個(gè)較為滿意的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型。

3 模型實(shí)證分析

3.1 確定性分析：指數(shù)平滑法

首先繪制原始GDP散點(diǎn)圖，數(shù)據(jù)選取1952—2005年期間部分GDP數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖顯示1990年之前增長(zhǎng)趨勢(shì)較慢，較為平穩(wěn)，1990年之后數(shù)據(jù)呈現(xiàn)陡增趨勢(shì)，與指數(shù)增長(zhǎng)方式相似，又由于一次和二次指數(shù)平滑得到的預(yù)測(cè)值都要明顯滯后于實(shí)際值，這樣就會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。綜上分析，我們選用三次平滑法比較具有合理性。

指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為Ft+1=ayt+(1－a)Ft，其中：yt—第t期的實(shí)際值；Ft—第t的預(yù)測(cè)值；a—平滑系數(shù)，在Excel中，它稱為阻尼系數(shù)。由于我們采用三次指數(shù)平滑法，則用二次曲線預(yù)測(cè)模型Ft+m=at+btm+ctm2。

原數(shù)列波動(dòng)較大a宜取大值，即0.6～0.8，這樣可以加重近期觀察值的權(quán)重，使各期觀察值的權(quán)重由近到遠(yuǎn)較快地變小，分別取a=0.8，a=0.7，a=0.6做指數(shù)平滑，取a=0.6，標(biāo)準(zhǔn)誤差比較小，所以我們選擇a=0.6作為模型預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)，2005年的=154 783.6，=131 248.3=112 389.4，經(jīng)計(jì)算：

預(yù)測(cè)方程為：

當(dāng)T=1時(shí)，2006年的預(yù)測(cè)值為：F2006=191 509.6

當(dāng)T=2時(shí)，2007年的預(yù)測(cè)值為：F2007=200 316.2

當(dāng)T=3時(shí)，2008年的預(yù)測(cè)值為：F2008=209 415

GDP預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)比較如表1所示。

表1 GDP預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)比較

3.2 隨機(jī)性分析：平穩(wěn)性檢驗(yàn)與純隨機(jī)性檢驗(yàn)

經(jīng)圖形法檢驗(yàn)，1952—2005年歷年GDP數(shù)據(jù)具有明顯的上升趨勢(shì)，因此此時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列，同時(shí)，經(jīng)自相關(guān)系數(shù)圖檢驗(yàn)，自相關(guān)系數(shù)緩慢衰減，同樣說明序列存在一定的非平穩(wěn)性；如果序列是平穩(wěn)的，也不一定都值得建模，只有那些序列值之間具有密切的相依性，歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來的發(fā)展有一定的影響，才值得我們花時(shí)間去挖掘歷史數(shù)據(jù)中的有效信息，以便用來預(yù)測(cè)序列未來發(fā)展，經(jīng)自相關(guān)函數(shù)懸針圖檢驗(yàn)，顯示沒有一個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)嚴(yán)格等于零，但這些自相關(guān)系數(shù)比較大，都以一定的幅度做著波動(dòng)，由此可知不是白噪聲序列，同樣，由白噪聲檢驗(yàn)可知，可知LB（6）=154.93，LB（12）=179.30，LB（18）=179.97，LB（24）=186.40，其p值都小于0.05；顯著表明該序列不是白噪聲序列，這完全符合事實(shí)。

3.3 建模處理

（1）觀察圖形后，發(fā)現(xiàn)圖形成指數(shù)上升形式，變化浮動(dòng)比較大，表明其數(shù)據(jù)存在異方差，故作對(duì)數(shù)變換；經(jīng)對(duì)數(shù)變換后可以看出它有明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，對(duì)序列做初步識(shí)別。

（2）觀察取對(duì)數(shù)后的樣本自相關(guān)系數(shù)，呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢(shì)，判斷該序列是非平穩(wěn)的。

（3）結(jié)合觀察，我們知道要對(duì)序列作差分運(yùn)算，作一階差分，再觀察差分后樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖；經(jīng)檢驗(yàn)在顯著性水平為0.01的條件下，由于各階延遲下χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值顯著小于0.01，我們有很大把握（置信水平>99%）斷定序列屬于非白噪聲序列。

（4）對(duì)對(duì)數(shù)差分后的平穩(wěn)非白噪聲序列進(jìn)行擬合ARMA模型?？梢缘玫綄?duì)數(shù)差分后序列的自相關(guān)系數(shù)很快衰減到0，具有1階不截尾的性質(zhì)，而偏自相關(guān)也顯示出1階不截尾的性質(zhì)，分別到6階才出現(xiàn)截尾，初步確定為ARMA（6,6），為了檢驗(yàn)所選擇的模型是否合適，對(duì)模型進(jìn)行最優(yōu)識(shí)別，經(jīng)計(jì)算可知p=2，q=0時(shí)BIC（2,0）=-6.006 74最小，因此模型ARMA（2,0）最優(yōu)，故我們選擇ARIMA（2,1,0）模型。

（5）模型估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)：經(jīng)模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，所有系數(shù)估計(jì)全部通過檢驗(yàn)，模型可以表示為：化簡(jiǎn)為y－y=0.112 25+0.594 3tt－1（yt－1－yt－2）+εt，則最終擬合模型為：yt=0.112 25+1.594 3yt－1－0.594 3yt－2+εt，對(duì)該模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，殘差是白噪聲序列，該模型適應(yīng)。

（6）進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)大陸地區(qū)未來3年的每年國(guó)民生產(chǎn)總值。GDP預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)比較如表2所示。

4 結(jié)語(yǔ)

由比較結(jié)果可以看出第二種方法的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值最為接近，即該種方法最好，故最后選取第二種方法對(duì)未來3年的GDP做出預(yù)測(cè)。從文中分別采取確定性分析和隨機(jī)性分析的方法對(duì)時(shí)間序列做出分析和預(yù)測(cè)的結(jié)果可以看出，隨機(jī)性ARIMA模型的分析結(jié)果要好于確定性分析的指數(shù)模型，由于對(duì)于非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以采用差分處理，但差分的次數(shù)不宜過多[4-5]。本文采用一次差分較為合理，同時(shí)又采用對(duì)數(shù)相結(jié)合的方法，取得了較為滿意的預(yù)測(cè)結(jié)果，為進(jìn)行類似數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)提供了一個(gè)參考依據(jù)。