寒水石教研室

【一】雞兔同籠：

大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？意思是：有若干只雞和兔同在一個籠子里，數(shù)頭有35個；數(shù)腳有94只。求籠中有雞和兔各多少只？

※①假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，（1）雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成94÷2=47只；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即47-35=12（只）。顯然，雞的只數(shù)是35-12=23（只）。

【“砍足法”令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已，這種思維方法叫化歸法?；瘹w法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉(zhuǎn)化，最終把它歸成某個已經(jīng)解決的問題?！?/p>

②用“假設(shè)法”：假設(shè)全部是雞，頭有35個，則腳有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的腳，每只兔多2只腳，兔有24÷2=12只，雞有35-12=23（只）。

③用“方程”來解：解設(shè)兔頭X只，則雞有35-X只，列式為4X+（35-X）×2=94，X=12，雞有35-12=23（只）。

【二】牛頓問題：

英國科學(xué)家牛頓，曾經(jīng)寫過一本數(shù)學(xué)書。書中有一道有名的、關(guān)于牛在牧場上吃草的題目，人們把它稱為“牛頓問題”：“有一牧場，已知養(yǎng)牛27頭，6天把草吃盡；養(yǎng)牛23頭，9天把草吃盡。如果養(yǎng)牛21頭，幾天能把牧場上的草吃盡？（并且牧場上的草是不斷生長的）”

※一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作1。

（1）27頭牛6天所吃的牧草為：27×6=162 （這162包括牧場原有的草和6天新長的草。）

（2）23頭牛9天所吃的牧草為：23×9=207 （這207包括牧場原有的草和9天新長的草。）

（3）1天新長的草為：（207-162）÷（9-6）=15

（4）牧場上原有的草為：27×6-15×6=72

（5）每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草：72÷（21-15）=72÷6=12（天） 所以養(yǎng)21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡。

【練一練】有一牧場，如果養(yǎng)25只羊，8天可以把草吃盡；養(yǎng)21只羊，12天把草吃盡。如果養(yǎng)15只羊，幾天能把牧場上不斷生長的草吃盡？

【三】鬼谷算：

我國漢代有位大將叫韓信，他每次集合部隊，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7報數(shù)，然后再報告一下各隊每次報數(shù)的余數(shù)，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點兵，外國人還稱它為“中國剩余定理”。到了明代，數(shù)學(xué)家程大位用詩歌概括了這一算法，他寫道：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知?！?這首詩的意思是：用3除所得的余數(shù)乘上70，加上用5除所得余數(shù)乘以21，再加上用7除所得的余數(shù)乘上15，結(jié)果大于105就減去105的倍數(shù)，這樣就知道所求的數(shù)了。比如，一籃雞蛋，三個三個地數(shù)余1，五個五個地數(shù)余2，七個七個地數(shù)余3，籃子里有雞蛋一定是52個。算式是：1×70+2×21+3×15=157，157-105=52（個）

【練一練】四皓小學(xué)訂《中國少年報》若干張，如果三張三張地數(shù)，余數(shù)為1張；五張五張地數(shù)，余數(shù)為2張；七張七張地數(shù)，余數(shù)為2張。四皓小學(xué)訂《中國少年報》多少張？

【四】電燈泡問題：

“過道里依次掛著標號是1，2，3， ……100的電燈泡，開始它們都是滅的。當?shù)谝粋€人走過時，他將標號為1的倍數(shù)的燈泡的開關(guān)拉一下；當?shù)诙€人走過時，他將標號為2的倍數(shù)的燈泡的開關(guān)拉一下；當?shù)谌齻€人走過時，他將標號為3的倍數(shù)的電燈泡的開關(guān)拉一下；……如此進行下去，當?shù)谝话賯€人走過時，他將標號為100 的倍數(shù)的燈泡的開關(guān)拉一下。問：當?shù)谝话賯€人走過后，過道里亮著的電燈泡標號是多少？”

※ 此題實質(zhì)是找每個燈泡的因數(shù)個數(shù)。第一個燈泡只有因數(shù)1，燈亮；第二個燈泡有兩個因數(shù)1、2，等滅；由此可以看出因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，燈亮；因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，燈滅。故當?shù)谝话賯€人走過后，過道里亮著的電燈泡標號是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.

【五】巧求六位數(shù)：

“六位數(shù)□4321□能被4321整除，這個六位數(shù)是多少？”

※采用“假設(shè)──計算──排錯──驗證”的方法。

假設(shè)六位數(shù)為943219，那么943219÷4321=218…1241，由于余數(shù)大于9，所以不合題意。

假設(shè)六位數(shù)為843219，則有843219÷4321=195…64，余數(shù)大于9，也不合題意。

假設(shè)六位數(shù)為743219，則743219÷4321=172…7，余數(shù)小于9，可見符合條件的六位數(shù)為743219-7=743212。

當六位數(shù)的首位數(shù)分別為6、5、4、3、2、l時，經(jīng)計算均不合題意。綜上分析，要求的六位數(shù)為743212。

【練一練】：四位數(shù)□89□能被89整除，這個四位是多少？答案：（4895）

【六】時鐘問題：

①“鐘面上有時針與分針，每針轉(zhuǎn)動的速度是確定的?！?分針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷60=6°，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷（12×60）=0.5°，在鐘面上要么是分針追趕時針，要么是分針超越時針。這里的轉(zhuǎn)動角度用度數(shù)來表示，相當于行走的路程。因此鐘面上兩針的運動相當于典型的追及問題。

例1：鐘面上3時多少分時，分針與時針恰好重合？

※整3時，分針在12的位置上，時針在3的位置上，兩針相隔90°。當兩針第一次重合，就是3時過多少分。在整3時到兩針重合的這段時間內(nèi)，分針要比時針多行走360÷12×3=90°，每分鐘分針比時針多走6-0.5=5.5（度），所用時間為90÷5.5≈16.36（分）。

例2：在鐘面上5時多少分時，分針與時針在一條直線上，而指向相反？

※在整5時，時針與分針相隔360÷12×5=150°，然后分針先是追上時針，分針需比時針多行走150°，然后超越時針180°，共150+ 180=330°，分針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷60=6°，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷（12×60）=0.5°，（150+ 180）÷（6— 0.5）= 60（分） 5時60分即6時正。