洪倩

幾何變換包括旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、軸對(duì)稱(chēng)變換等變換形式，通過(guò)幾何變化巧求圖形面積，往往能達(dá)到化難為易的效果。

一、旋轉(zhuǎn)變換

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化叫做旋轉(zhuǎn)。在利用幾何變換求面積的幾種變換中，旋轉(zhuǎn)變換最常用。求幾何面積的諸多問(wèn)題中，如果用常規(guī)解法往往過(guò)程繁瑣，甚至?xí)霈F(xiàn)學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法解答的情況。這個(gè)時(shí)候我們就需要另辟蹊徑，借助旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行解答。

例1 如圖1，△ABC是直角三角形，四邊形ACDE、FGBA都是正方形，AB=3cm，BC=4cm，求△AEF的面積。

解析：

在這里，很多人在一開(kāi)始看到此類(lèi)題目，首先會(huì)利用勾股定理算出AC的長(zhǎng)度，然后無(wú)從下手，或者構(gòu)造三角形，利用三角形全等來(lái)解決。

如果我們利用旋轉(zhuǎn)變換的思想，就可以化簡(jiǎn)為易。

將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AC和AE重合，得到△AME

（因?yàn)椤螮AC=∠FAB=90°，所以∠EAF+∠BAC=180°，F(xiàn)、A、M在同一條直線(xiàn)上）

S△EFA=S△EAM=3×4÷2=6cm2

例2 如圖3，在直角三角形中有一個(gè)正方形，已知BD=10cm，DC=7cm，求陰影部分面積。

解析：

將三角形CED繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。（如圖4）

使得E與F重合，則C點(diǎn)落到線(xiàn)段AB與G點(diǎn)，陰影部分面積轉(zhuǎn)化為Rt△BGD的面積

所以陰影部分面積為：10×7÷2=35cm2

二、平移變換

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)直線(xiàn)方向做相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)。平移是幾何變換的一種，利用平移對(duì)圖形中有關(guān)部分進(jìn)行變換，將其余部分保持不變，為題目所求變換，化不利條件為有利條件，巧求圖形面積。

例3 如圖5，六邊行ABCDEF中，AB=ED， AF=CD， BC=EF， 且有AB//ED， AF//CD， BC//EF， 對(duì)角線(xiàn)FD垂直于BD，已知FD=24cm，BD=18cm，求六邊行ABCDEF的面積是多少平方厘米？

例題解析：

將△BCD平移，使得CD與AF重合，將△DEF平移，使得ED與AB重合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG上，組成了一個(gè)長(zhǎng)方形BGFD（如圖6），它的面積與原六邊形的面積相等，即為：24×18=432cm2

三、對(duì)稱(chēng)變換

如果一個(gè)圖形沿著一條線(xiàn)對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)變換也是幾何變換的一種，利用圖形對(duì)稱(chēng)進(jìn)行變換，巧求幾何面積。

例4 如圖7，直角梯形ABCD中，AD//BC， AB垂直于BC， 四邊形DEFC是菱形， AD=3cm， AB=4cm，求陰影部分面積。

例題解析：

將△ADE關(guān)于A(yíng)D對(duì)稱(chēng)翻轉(zhuǎn)至△ADC（如圖8）

（四邊形DECF是菱形，即翻轉(zhuǎn)后DE與DC重合，得到△ADC）

S陰影=3×4÷2=6cm2

在利用幾何變換求面積時(shí)，并不需要把整個(gè)圖形進(jìn)行變換，只要找到圖形間的隱蔽關(guān)系，把圖形的有關(guān)部分進(jìn)行變換，其余部分保持不變，使之成為簡(jiǎn)單易算的特殊圖形，這就是利用幾何變換解題的基本途徑。在這個(gè)過(guò)程中考察的不僅僅是計(jì)算能力，更多的是觀(guān)察、操作、想象能力，通過(guò)觀(guān)察匯聚有利條件，化簡(jiǎn)為易，迅速破解。

【參考文獻(xiàn)】

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