武漢理工大學(xué)信息工程學(xué)院 申俊杰

1.PCA 算法原理與實現(xiàn)

人臉識別中主要分量分析（PCA）是一個普遍使用的技術(shù)，首先它將一張圖像的每一列的向量首尾相連，構(gòu)成一個維列向量，然后轉(zhuǎn)置。將L個圖像的維列向量組成人臉樣本矩陣，表示為：

訓(xùn)練樣本的協(xié)方差矩陣為：

式中mf是所有訓(xùn)練樣本的平均值向量（所有樣本的平均臉）

式可進(jìn)一步化簡為：

對（3）式中的矩陣進(jìn)行特征值和特征向量的求解，并SVD奇異值分解，構(gòu)造出最終的人臉投影空間：

將Vi化為矩陣，則可以得到特征臉。

2.LDA算法原理及實現(xiàn)

LDA的核心思想之一是在平面內(nèi)找一個合適的向量，將所有的數(shù)據(jù)投影到這個向量而且不同類間合理的分開。因為圖片的特征值有很多，相當(dāng)于是多維的，所以我們需要增加投影向量w的個數(shù)，設(shè)w為：

w1、w2等是n維的列向量，所以w是個n行k列的矩陣，這里的k其實可以按照需要隨意選取，只要能合理表征原數(shù)據(jù)即可。x在w上的投影可以表示為：

所以這里的y是k維的列向量。這樣我們就可以把多維空間中的特征值降維到一維空間

從投影后的類間散列度和類內(nèi)散列度來考慮最優(yōu)的w，可用μi代表類別i的中心，將類間距離定義為Sb較大，類內(nèi)距離定義為Sw。為了讓每個類（相當(dāng)于每張圖片）直接的特征值盡量少的有重疊，需要讓類與類之間的距離大，而一個類內(nèi)部之間的距離緊湊。因此我們可以定義：

可以化簡為：

因為Sw要盡量小，而Sb要盡量大，因此可以找到合適的W讓J(w)盡可能大。

3.2DLDA算法原理及實現(xiàn)

2DLDA從人臉圖像矩陣直接得到類內(nèi)和類間離散度矩陣，而不必將人臉圖像矩陣轉(zhuǎn)化為人臉圖像向量。2DLDA估計得到的離散度矩陣比LDA方法精確。另外，由于2DLDA估計得到的離散度維數(shù)等于原始人臉圖像的列數(shù)，因此，相比LDA方法得到的離散度矩陣維數(shù)小的多，從而使得求解最佳投影空間時計算量大大降低。由于2DLDA的公式推導(dǎo)較多，本文不在此詳述，直接通過實驗的結(jié)果來比較2DLDA相對于LDA的優(yōu)點。

圖1 成功識別

圖2 識別失敗

圖3

4.MATLAB仿真結(jié)果分析

4.1 LDA 方法的人臉識別仿真

我們利用GUI設(shè)計可視化的界面，讓實驗結(jié)果更好的展示。

可以看到，當(dāng)面部有偏側(cè)的時，LDA不能很好的識別出正確的人臉，如圖1、圖2所示。

4.2 DLDA人臉識別實例

優(yōu)化后的LDA有著更高的準(zhǔn)確性，我們在yale的數(shù)據(jù)庫中做了一下測試。在面部有偏側(cè)和帶眼鏡甚至閉眼是都能準(zhǔn)確的識別。我們還編寫函數(shù)，計算了準(zhǔn)確性，經(jīng)過多次實驗，準(zhǔn)確性在97%左右，如圖3所示。

4.3 基于DLDA算法的正確識別率

為了探究訓(xùn)練次數(shù)對DLDA準(zhǔn)確率的影響，我們編寫了相關(guān)函數(shù)，結(jié)果如表1所示：

表1

根據(jù)表1可以得到結(jié)論，當(dāng)系統(tǒng)的訓(xùn)練樣本個數(shù)從 5 逐步增長到9 的時候，DLDA算法的人臉識別系統(tǒng)的識別率也在逐漸的增大，可以得出：在設(shè)計人臉識別系統(tǒng)時，訓(xùn)練樣越大，系統(tǒng)的正確識別率就越高，即訓(xùn)練樣本的數(shù)量要大于每個樣本的空間維數(shù)，但是這一點在實際的應(yīng)用時是比較難做到的。在系統(tǒng)樣本維數(shù)相同的前提下，基于LDA算法的人臉識別系統(tǒng)的正確識別率要比基于PCA 算法的正確識別率要高， 雖然PCA方法和LDA算法都可以降低原始特征空間的維數(shù)，但是PCA方法得到的特征是最佳描述特征， 而不是最佳分類特征，因此，在正確識別率方面，LDA算法要比 PCA算法優(yōu)越。