苑新喜

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

引 言

衍射光柵光譜儀和法布里-珀羅(F-P)干涉儀是兩類常見(jiàn)的光譜儀器。借助于光的相干疊加效應(yīng),這兩類光譜儀器比棱鏡光譜儀有著更高的分辨率,因而在光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)研究中,衍射光柵光譜儀和F-P干涉儀這兩類光譜儀器通常占據(jù)著非常重要的地位[1]。

光的相干長(zhǎng)度是光波的一項(xiàng)重要特征參數(shù)。光的相干長(zhǎng)度必定會(huì)對(duì)波列的疊加效果在某些方面產(chǎn)生一定的影響。但我們注意到,現(xiàn)有理論[1-7]在分析光柵光譜儀和F-P干涉儀的色分辨率時(shí),完全忽略了光的相干長(zhǎng)度對(duì)相干疊加效果的可能的影響。本文因此探討了光的相干長(zhǎng)度對(duì)這兩類光譜儀器分辨本領(lǐng)的影響。

1 相干長(zhǎng)度

在光譜儀的譜線圖中,如果波長(zhǎng)λ與其相鄰波長(zhǎng)λ+Δλ的同一級(jí)次的條紋(或主極大)恰好(或剛好)被區(qū)分開(kāi)來(lái),則該光譜儀的色分辨率RP=λ/Δλ。在討論光譜儀的分辨率時(shí),本文已假定光譜儀是無(wú)像差的理想光學(xué)系統(tǒng)[2]。

光的相干長(zhǎng)度源自于對(duì)光源發(fā)光過(guò)程和干涉條件的認(rèn)識(shí)。從波動(dòng)的角度看,光源內(nèi)每個(gè)原子的每一次發(fā)光只能發(fā)出一段長(zhǎng)度有限的波列。在普通的光源內(nèi),各個(gè)原子的發(fā)光完全是自發(fā)的,各原子的各次發(fā)光是相互獨(dú)立,互不相關(guān)。為了獲得相干光,將普通的光源內(nèi)同一原子的同一次發(fā)出的光分成兩部分或更多,也就是把同一個(gè)原初波列分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的子波列。從同一個(gè)原初波列分出的這些子波列如果能在空間某點(diǎn)相遇從而相互疊加,就會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。因此,這些子波列到達(dá)該點(diǎn)時(shí)的光程差必須小于波列的長(zhǎng)度,否則彼此錯(cuò)開(kāi)地通過(guò)該點(diǎn)而無(wú)法相遇和疊加。所以,波列的長(zhǎng)度L就是產(chǎn)生干涉時(shí)光程差的極大值,這一極值長(zhǎng)度稱為相干長(zhǎng)度,不少文獻(xiàn)[8-9]對(duì)此都有著直觀生動(dòng)的示意圖。光的相干長(zhǎng)度表現(xiàn)了光的時(shí)間相干性,與光的相干長(zhǎng)度等效的另外兩個(gè)概念分別是相干時(shí)間[1,3-7]和光譜寬度[4-7],在此不再贅述。

普通光源的相干長(zhǎng)度通常在毫米級(jí)到幾十厘米之間[2-3, 6],跟激光光源相比這是很有限的。我們認(rèn)為,只要涉及到光的相干疊加,特別是在使用普通光源的場(chǎng)合,就不能不考慮相干長(zhǎng)度的有限性對(duì)干涉效果的影響。

2 光的相干長(zhǎng)度對(duì)光柵分辨本領(lǐng)的影響

文獻(xiàn)[1]給出了一維透射光柵色分辨本領(lǐng)的通用表達(dá)式:

(1)

式中:N為光柵的總的透光狹縫數(shù);d為光柵常數(shù);θ為衍射角;θ0為入射平行光與光柵平面法向的夾角;k為光的衍射(極大)級(jí)次。如圖1所示,透光狹縫的長(zhǎng)度方向垂直于紙面。Nd|sinθ-sinθ0|表示從光柵兩端(相距Nd)衍射到θ方向的兩條光線之間的光程差。從表面看,似乎N越大,光柵的色分辨本領(lǐng)越高。這個(gè)結(jié)論值得商榷,因?yàn)橥茖?dǎo)出RP=Nk的前提是從這N條透光狹縫衍射出的光線同時(shí)經(jīng)過(guò)觀察點(diǎn)而沒(méi)出現(xiàn)相互錯(cuò)開(kāi)現(xiàn)象,并沒(méi)有考慮到光的相干長(zhǎng)度的有限性。

圖1 一維透射光柵示意圖Fig.1 Illustration of one-dimensional transmission grating

若考慮光的相干長(zhǎng)度L,定義

N(L,θ)=[L/(d|sinθ-sinθ0|)]

(2)

即N(L,θ)取小于或等于L/(d|sinθ-sinθ0|)的那個(gè)最大整數(shù),N(L,θ)隨著不同的光線的相干長(zhǎng)度L與衍射方向θ的改變而改變。由于衍射光柵相鄰?fù)腹猹M縫的光程差d|sinθ-sinθ0|很小,N(L,θ)往往很大,常以百或千計(jì)。我們認(rèn)為,當(dāng)N>N(L,θ)時(shí),光柵的分辨本領(lǐng)RP=N(L,θ)k

根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理,光柵的每個(gè)透光狹縫都可以看成是發(fā)射子波的次波源,從每個(gè)透光狹縫出來(lái)的衍射光(子波列)因?yàn)楣獬滩煌?都會(huì)依次到達(dá)并通過(guò)觀測(cè)點(diǎn),不妨稱該點(diǎn)為P點(diǎn)。相鄰狹縫出來(lái)的衍射光(子波列)到達(dá)P點(diǎn)的間隔是d|sinθ-sinθ0|/c(c為光速)。第一個(gè)狹縫出來(lái)的衍射光(子波列)最先到達(dá)P點(diǎn),但是波列長(zhǎng)度有限(即光的相干長(zhǎng)度L有限);當(dāng)從第一個(gè)狹縫出來(lái)的衍射光(子波列)離開(kāi)P點(diǎn)時(shí),第N(L,θ)+1個(gè)狹縫出來(lái)的衍射光(子波列)才到達(dá)P點(diǎn);當(dāng)?shù)诙€(gè)狹縫出來(lái)的衍射光(波列)離開(kāi)P點(diǎn)時(shí),第N(L,θ)+2狹縫出來(lái)的衍射光(波列)才到達(dá),依次類推。當(dāng)?shù)箶?shù)第N-N(L,θ)個(gè)子波列到達(dá)P點(diǎn)時(shí),倒數(shù)第N-2N(L,θ)-1個(gè)子波列已離開(kāi)P點(diǎn),…,當(dāng)最后一個(gè)狹縫出來(lái)的子波列到達(dá)P點(diǎn)時(shí),倒數(shù)第N-N(L,θ)-1子波列已離開(kāi)P點(diǎn)。同一時(shí)刻參與P點(diǎn)相干疊加的衍射光(子波列)的個(gè)數(shù)最多是N(L,θ)個(gè),有N(L,θ)個(gè)衍射光(子波列)同時(shí)參與P點(diǎn)相干疊加的這種狀態(tài)最長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間為(N-N(L,θ)+1)d|sinθ-sinθ0|/c。當(dāng)N>N(L,θ)時(shí),N再怎么增加,同時(shí)參與疊加的子波列數(shù)依然是N(L,θ),對(duì)應(yīng)的分辨本領(lǐng)Rp=N(L,θ)k,也不會(huì)隨著N的增加而提高,只會(huì)延長(zhǎng)單個(gè)入射波列透射過(guò)光柵后在該處的所形成的最大光強(qiáng)的持續(xù)時(shí)間。

這里需要說(shuō)明兩點(diǎn):一是光柵衍射可看成是等振幅、等相位差的相干疊加,這才使得上述公式Rp=N(L,θ)k直接套用了現(xiàn)有文獻(xiàn)[1-7,9]推導(dǎo)出的公式Rp=Nk,推導(dǎo)過(guò)程因此從略;二是考慮了相干長(zhǎng)度后,光柵色分辨本領(lǐng)Rp由Nk改寫(xiě)成N(L,θ)k,實(shí)際上是入射波列的單色性的一種體現(xiàn)。也就是說(shuō)入射波列的自身單色性限制了光柵色分辨本領(lǐng)的充分發(fā)揮。這一點(diǎn)可理解為,如果入射波列的自身單色性很差,怎么能期望光柵將其與相近波長(zhǎng)的其他波列分辨出來(lái)?

因此,定義N(L,θ)為給定相干長(zhǎng)度L時(shí)在衍射角θ方向上的有效透光狹縫數(shù)。由于衍射角θ與衍射級(jí)次k有對(duì)應(yīng)關(guān)系d|sinθ-sinθ0|=kλ,也可從另外一個(gè)角度將N(L,k)=L/(kλ)定義為第k級(jí)衍射的有效透光狹縫數(shù)。

總之,一般文獻(xiàn)[1-7,9]所給出的衍射光柵的色分辨率Rp=Nk是有條件的,在光柵的透光狹縫總數(shù)小于或等于有效透光狹縫數(shù)(即N≤N(L,θ))時(shí)才能成立。

3 光的相干長(zhǎng)度對(duì)F-P干涉儀分辨本領(lǐng)的影響

F-P干涉儀經(jīng)常用來(lái)研究光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。F-P干涉儀采用平行平面板產(chǎn)生多光束干涉條紋。構(gòu)成干涉儀的兩塊平面玻璃板或石英板的內(nèi)表面各鍍有高反射率的部分透射膜,且相互平行,因而當(dāng)中形成一個(gè)平行平面空氣層。不妨設(shè)兩內(nèi)表面間距為h,光在兩內(nèi)表面之間來(lái)回反射時(shí)的反射角為θ,如圖2所示。

圖2 F-P干涉儀示意圖Fig.2 Illustration of F-P interferometer

光的照射在正入射附近,因此θ趨于0。如果板面足夠長(zhǎng),光在兩個(gè)內(nèi)表面之間反射的次數(shù)就會(huì)很大,透射出的光束數(shù)目N也就很大。不同于衍射光柵,這N條透射光束相干疊加不是等振幅、等位相差的相干疊加,而是振幅等比率衰減、等位相差的相干疊加[1-7],疊加后的合(復(fù))振幅為[1,6]

(3)

式中:r′為光每次在內(nèi)表面的振幅反射系數(shù);t與t′分別是光在內(nèi)表面的第一次入射時(shí)與最后出射時(shí)振幅透射系數(shù);A(i)為入射光束的復(fù)振幅;δ為相繼光束的位相差。易知,δ=4πn′hcosθ/λ,n′為平行平面之間空氣(介質(zhì))層的折射率,λ為相應(yīng)的波長(zhǎng)。

常常為簡(jiǎn)化計(jì)算,取N→∞,r′2N=0。在這種情況下,這N條透射光束相干疊加后合振幅簡(jiǎn)化為[1,5-6]

(4)

完全與N無(wú)關(guān)。此時(shí),相應(yīng)的總透射光強(qiáng)[1-7]

(5)

該式就是平行平面板多光束干涉中的關(guān)于透射光的愛(ài)里公式,其中I(i)為入射光強(qiáng),R=r′2為光每次在內(nèi)表面的反射率,相關(guān)的透射率T=tt′=1-R[1]。

ε=2.07π/(S/0.97)=2π/S

(6)

I(t,N→∞)/I(i)隨位相差δ變化的曲線如圖3所示,在許多文獻(xiàn)[1-7]中均有類似的圖示。圖3也給出了判據(jù)ε的示意圖。

圖3 I(t,N→∞)/I(i)隨位相差δ變化的示意圖Fig.3 I(t,N→∞)/I(i) as a function of phase difference δ

若R≈0.9,由mS所算出的F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)高于一般的光柵光譜儀和棱鏡光譜儀,但實(shí)際上F-P干涉儀不會(huì)達(dá)到這樣高的分辨本領(lǐng),文獻(xiàn)[5]明確而簡(jiǎn)單地將之歸因于譜線自身的寬度。從本文的觀點(diǎn)看,實(shí)際上就是光的相干長(zhǎng)度影響了F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)的充分發(fā)揮。有限的光的相干長(zhǎng)度意味著不是所有的透射光束能同時(shí)經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)而參與相干疊加,上面的推導(dǎo)中N→∞的取設(shè)應(yīng)是有條件的。下面對(duì)此具體分析。

若考慮相干長(zhǎng)度,同一時(shí)刻參與疊加的透射光光束數(shù)N(L,θ)依然是相干長(zhǎng)度除以相繼光束的光程差2n′hcosθ,即N(L,θ)=[L/(2n′hcosθ)],理由同前面衍射光柵的分析一樣。同衍射光柵不同,F-P干涉儀中參數(shù)h較大(h甚至可高達(dá)10 mm[3],與一些普通光源的相干長(zhǎng)度相當(dāng)),導(dǎo)致相繼光束的光程差較大。在這種情況下,可知N(L,θ)一般不是很大,有時(shí)甚至N(L,θ)<5,N(L,θ)的數(shù)值往往在十幾到二十幾之間。這時(shí)就不能輕易地取設(shè)N(L,θ)→∞,因此上述平行平面板多光束干涉中的關(guān)于透射光的愛(ài)里公式要相應(yīng)地修改為

(7)

相比于原先的愛(ài)里公式,I(t,N=N(L,θ))比I(t,N→∞)多了一個(gè)因子式ξ=1+R2N(L,θ)-2RN(L,θ)cos(N(L,θ)δ),即I(t,N=N(Lθ))=ξI(t,N→∞)=ξζI(i)。易知,在反射率及相干長(zhǎng)度給定的情況下,ξ也是位相差δ的單值函數(shù),具有一定的周期性,但ξ的周期是ζ周期的1/N(L,θ)(注意,通常情況下F-P干涉級(jí)次m很高,級(jí)次變化不大時(shí),如從m-1級(jí)變化到m級(jí),對(duì)應(yīng)光程差的變化相對(duì)很小,N(L,θ)可視為常數(shù))。更為重要的是當(dāng)ζ出現(xiàn)極大值時(shí),ξ卻出現(xiàn)極小值。不僅如此,若取R=0.87,N(L,θ)=16,則ξmin=0.796,ξmax≈1.23,(ξmax-ξmin)/ξmin>50%,(ξmax-ξmin)/(ξmax+ξmin)≈21%。這時(shí),ξ因子對(duì)疊加后總透射光強(qiáng)分布的影響不可小覷,從而可明顯影響干涉儀的分辨本領(lǐng)。I(t,N→∞)/I(i)(即ζ)與ξ均無(wú)量綱,且取值范圍相近,為便于對(duì)比,本文將I(t,N→∞)/I(i)與ξ的隨位相差δ變化的曲線畫(huà)在一張示意圖上,如圖4所示,其中圖中的ξ曲線取N(L,θ)=16。

圖4 I(t,N→∞)/I(i)和ξ隨位相差δ變化的示意圖Fig.4 I(t,N→∞)/I(i) and ξ as a function of phase difference δ

如果仿照現(xiàn)有文獻(xiàn)的方法[1,3-7],由上述I(t,N=N(L,θ))表達(dá)式去求解F-P干涉儀色分辨本領(lǐng),由于I(t,N=N(L,θ))形式上遠(yuǎn)比I(t,N→∞)復(fù)雜,在數(shù)學(xué)上不太可能象I(t,N→∞)那樣有單一而確定的代數(shù)表達(dá)式解。經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單的數(shù)值估算后,對(duì)比ξ和ζ的二者關(guān)系,可得到如下幾條定性結(jié)論:

(1) 反射率R越高,同時(shí)N(L,θ)越大,光的相干長(zhǎng)度對(duì)F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)影響越小。比如當(dāng)R≥85%,N(L,θ)≥32時(shí),其影響可以忽略不計(jì),等同于現(xiàn)有文獻(xiàn)中N→∞的結(jié)果,即Rp=mS。

(2) 反射率R不足夠高,或N(L,θ)不足夠大,相干長(zhǎng)度對(duì)F-P干涉儀分辨本領(lǐng)將會(huì)有顯著的影響。以位相差δ為自變量的I(t,N=N(L,θ))/I(i)函數(shù)曲線在峰值附近不再象I(t,N→∞)/I(i)那么尖銳,而會(huì)被ξ大大拉寬或拉平。同時(shí),I(t,N=N(L,θ))/I(i)在其峰值附近劇烈變化,此時(shí)極有可能導(dǎo)致出現(xiàn)偽線。

(3) 反射率R不夠高,同時(shí)N(L,θ)也不足夠大,相干長(zhǎng)度對(duì)F-P干涉儀分辨本領(lǐng)將會(huì)有很大的影響。

(4) 當(dāng)N(L,θ)(ε/2)=π,即N(L,θ)=S時(shí),以位相差δ為自變量的ξ函數(shù)曲線的極大值出現(xiàn)在ζ(即I(t,N→∞)/I(i))的半值附近,F-P干涉儀分辨效果大大降低,極有可能無(wú)法分辨。

(5) 當(dāng)N(L,θ)(ε/2)=2π,即N(L,θ)=2S時(shí),ξ函數(shù)曲線的極小值出現(xiàn)在ζ的半值附近,F-P干涉儀分辨效果大大提高,分辨效果最佳。

在實(shí)際工作中就要全面考慮具體的光源特性、F-P干涉儀的具體參數(shù)和實(shí)際看到的光譜線等情況進(jìn)行綜合分析和判斷,以得到優(yōu)良和可靠的測(cè)量數(shù)據(jù)。

由以上論述可以看出,N(L,θ)在分析F-P干涉儀的分辨本領(lǐng)時(shí)顯得比較重要。將N(L,θ)定義為有效透射光光束數(shù),此N(L,θ)與前面所述及的有效光束數(shù)S[1-2,5]有著本質(zhì)的區(qū)別,前者由相干長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)的光程差決定,后者只由反射率R決定。

4 結(jié) 論

相干長(zhǎng)度是光的一種本質(zhì)屬性。通過(guò)以上的分析可以看出,光的相干長(zhǎng)度限制了同時(shí)參與相干疊加的光束數(shù)目,因此在一定條件下,光的相干長(zhǎng)度對(duì)衍射光柵光譜儀和F-P干涉儀這兩類光譜儀器的分辨率是有明顯影響的,是不能完全忽視的。本文通過(guò)對(duì)衍射光柵光譜儀和F-P干涉儀這兩類光譜儀器工作原理的進(jìn)一步研究,彌補(bǔ)了現(xiàn)有理論中的一點(diǎn)不足,為這兩類光譜儀器更好地在實(shí)際工作中應(yīng)用提供了參考。