董小虎 丁曉紅

上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海，200093

0 引言

周期性加筋結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航天航空、船舶和汽車等領(lǐng)域，具有易加工、制造成本低、外形美觀等特點(diǎn)。為了得到力學(xué)性能良好的周期性結(jié)構(gòu)，拓?fù)鋬?yōu)化目前已成為上述領(lǐng)域中最常用的設(shè)計(jì)方法。劉書田等［1］研究了狹長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，提出了通過(guò)基本結(jié)構(gòu)拼裝的狹長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，設(shè)計(jì)了狹長(zhǎng)懸臂梁的拓?fù)湫问?。HUANG等［2］利用雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化（bi-directional evolutionary structural optimization，BESO）方法對(duì)周期性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，由于數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定，優(yōu)化過(guò)程中易出現(xiàn)棋盤格、網(wǎng)格依賴性等問(wèn)題，因此該方法引入了敏度過(guò)濾函數(shù)來(lái)抑制棋盤格和網(wǎng)格依賴性，從而獲得了較好的優(yōu)化結(jié)果。榮見(jiàn)華等［3］提出了一種基于位移約束的類周期性連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，采用改進(jìn)的對(duì)偶方法，得到了優(yōu)化的類周期性結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问?。ZUO等［4］以圓環(huán)結(jié)構(gòu)為對(duì)象，采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化（evolutionary structural optimization，ESO）方法對(duì)汽車輪轂進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。HE等［5］依據(jù)Shepard插值法，建立了單元與非結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)點(diǎn)的關(guān)系，將BESO方法應(yīng)用到不同的幾何尺寸和無(wú)規(guī)則有限元網(wǎng)格的周期性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中。焦洪宇等［6-7］提出了一種基于固體各向同性材料懲罰（solid isotropic microstructure with penalization，SIMP）模型的周期性拓?fù)鋬?yōu)化方法，設(shè)置了額外的約束條件，對(duì)平面矩形懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，獲得了具有周期性的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问?，并將該方法?yīng)用到橋式起重機(jī)主梁周期性拓?fù)鋬?yōu)化中。孫士平等［8］針對(duì)狹長(zhǎng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中存在的計(jì)算困難、數(shù)值不穩(wěn)定等問(wèn)題，利用拓?fù)鋬?yōu)化方法和變量關(guān)聯(lián)技術(shù)開(kāi)展了周期狹長(zhǎng)結(jié)構(gòu)拼裝模塊的構(gòu)型優(yōu)化。上述拓?fù)鋬?yōu)化方法雖然可獲得較好的結(jié)構(gòu)材料分布形式，但其拓?fù)湫螒B(tài)往往過(guò)于復(fù)雜，若應(yīng)用到加強(qiáng)筋分布設(shè)計(jì)中，無(wú)法直接獲得加強(qiáng)筋的實(shí)際分布形式，需通過(guò)后處理對(duì)加強(qiáng)筋分布進(jìn)行識(shí)別，因此不易于直接用于加工制造。

仿生優(yōu)化研究隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及而得到發(fā)展，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域也得到了一定的應(yīng)用，但人們直接針對(duì)周期性結(jié)構(gòu)的研究還較少。丁曉紅等［9-11］通過(guò)研究自然界分枝系統(tǒng)的形成機(jī)理，提出了一種基于植物根系形態(tài)自適應(yīng)成長(zhǎng)規(guī)律的板殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋設(shè)計(jì)的自適應(yīng)成長(zhǎng)法，并將該方法成功應(yīng)用于以最小應(yīng)變能和抗振設(shè)計(jì)為目標(biāo)的板殼加筋優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通過(guò)改變加強(qiáng)筋高度，逐步實(shí)現(xiàn)加強(qiáng)筋的布局設(shè)計(jì)，從而獲得了離散的加強(qiáng)筋分布形式，且不需進(jìn)行后處理。

本文通過(guò)在自適應(yīng)成長(zhǎng)法中引入周期性約束，提出了周期性結(jié)構(gòu)的加筋布局設(shè)計(jì)方法，建立了以結(jié)構(gòu)最小應(yīng)變能為設(shè)計(jì)目標(biāo)、以體積為約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，并引入了敏度過(guò)濾函數(shù)解決數(shù)值不穩(wěn)定等問(wèn)題。同時(shí)以荷葉葉脈的分布為設(shè)計(jì)對(duì)象，得到與自然界荷葉葉脈相似的加筋分布形態(tài)，并進(jìn)一步通過(guò)典型工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)案例，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 設(shè)計(jì)方法

1.1 周期性約束

為獲得具有周期性分布的結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)湫螒B(tài)，將整個(gè)優(yōu)化區(qū)域劃分成P個(gè)子域，見(jiàn)圖1，其中圖1a為圓環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)等分成P=4個(gè)子域，圖1b為長(zhǎng)條狀結(jié)構(gòu)，沿著軸向等分成P=4個(gè)子域。對(duì)于周期性結(jié)構(gòu)，子域與子域之間存在相同的子拓?fù)錁?gòu)型，但兩子域的拓?fù)涑叽绱笮】梢圆煌?，域設(shè)計(jì)數(shù)目P可由設(shè)計(jì)者根據(jù)需要自定。

圖1 優(yōu)化區(qū)域分成P個(gè)子域（P=4）Fig.1 The optimized region is divided into P sub-domains（P=4）

1.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

以整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能U最小為目標(biāo)，以加強(qiáng)筋截面積A為設(shè)計(jì)變量，在給定的體積約束條件下，尋求結(jié)構(gòu)力學(xué)性能最優(yōu)。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示為

式中，Ai為第i個(gè)活動(dòng)筋板單元的截面積；n為筋板單元的總數(shù)；U（A）為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能；V、V0分別為周期性加筋結(jié)構(gòu)的總體積和初始體積；η為體積約束因子；Amin、Amax分別為設(shè)計(jì)變量Ai的取值下限和上限；t為某個(gè)子域編號(hào)；j為該子域單元編號(hào)；m為每一個(gè)子域內(nèi)筋板單元的總數(shù)。

1.3 基結(jié)構(gòu)

在初始設(shè)計(jì)模型中，要建立圖2所示的基結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)域采用板殼單元離散，用梁?jiǎn)卧B接各個(gè)節(jié)點(diǎn)以模擬結(jié)構(gòu)內(nèi)的加強(qiáng)筋。初始截面高度h和寬度w均為極小值，即Amin為極小值（約為結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度L或直徑D的萬(wàn)分之一）。

圖2 基結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Model of the ground structure

1.4 迭代公式

基于 KKT（Karush-Kuhn-Tucker）最優(yōu)化條件推導(dǎo)出筋板成長(zhǎng)公式，建立拉格朗日方程如下：

式中，λ為拉格朗日乘子。

在最優(yōu)A*處，式（2）應(yīng)滿足KKT必要條件。

當(dāng)Amin＜ Ai＜ Amax時(shí)，根據(jù)式（3）得到

總應(yīng)變能對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度為

整體結(jié)構(gòu)的總體積V可表示為

式中，li為第i個(gè)筋板單元的長(zhǎng)度。

將式（5）和式（7）代入式（4）可得

為了保證收斂性，引入步長(zhǎng)因子α，取α=0.05，得到設(shè)計(jì)變量Ai的迭代公式如下：

式中，k為迭代步數(shù)。

拉格朗日乘子的表達(dá)式如下：

1.5 敏度過(guò)濾函數(shù)

拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中經(jīng)常存在數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，如出現(xiàn)棋盤格、灰度單元等現(xiàn)象。SIGMUND［12］提出的敏度過(guò)濾法具有實(shí)施簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中。該方法對(duì)所有在給定過(guò)濾半徑范圍內(nèi)的各單元靈敏度進(jìn)行加權(quán)平均，用來(lái)修正每個(gè)單元的靈敏度。目標(biāo)函數(shù)對(duì)子域內(nèi)設(shè)計(jì)變量Ai修正后的單元靈敏度為

式中，Hq為權(quán)重因子；Rmin為過(guò)濾半徑，取Rmin=2.5；ds（i，q）為過(guò)濾半徑內(nèi)單元q至中心單元i的距離；N為過(guò)濾半徑內(nèi)單元的總數(shù)目。

2 荷葉葉脈再生過(guò)程仿真

2.1 荷葉葉脈分支系統(tǒng)形態(tài)特征

圖3a中，荷葉葉片近似圓形，其中葉脈是莖分支結(jié)構(gòu)的延伸，分布于整個(gè)葉片的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分支結(jié)構(gòu)中，形成一個(gè)承載葉片的骨架，具有支撐整個(gè)葉片的功能，同時(shí)也最大化地展開(kāi)了葉片，增加了葉片截獲太陽(yáng)光的面積［13］。荷葉葉脈具有較強(qiáng)的韌性和硬度，能夠提高葉片對(duì)外界破壞（如小動(dòng)物踐踏和暴雨冰雹等自然災(zāi)害等）的抵抗能力。由此可見(jiàn)，葉脈分布直接影響荷葉對(duì)外界環(huán)境變化的適應(yīng)能力。

葉脈經(jīng)過(guò)逐級(jí)分支，形成網(wǎng)絡(luò)狀分叉分布結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖3b，葉脈從中央射出呈發(fā)散狀，每一個(gè)發(fā)散的分支葉脈在構(gòu)成形態(tài)上幾乎相同，具有較強(qiáng)的自相似性。其中主脈的結(jié)構(gòu)最完整且直徑最大，連通葉柄起主要支撐作用。葉脈直徑可以用來(lái)表征葉脈系統(tǒng)的機(jī)械支撐功能。不同級(jí)別的葉脈承擔(dān)不同程度的支撐作用。盡管末端葉脈也有一定的支撐力，但較粗的葉脈發(fā)揮主導(dǎo)作用。葉脈分布形態(tài)是植物適應(yīng)生態(tài)系統(tǒng)的關(guān)鍵和決定性因素。

圖3 荷葉葉脈分支系統(tǒng)形態(tài)特征Fig.3 Branch system morphology of lotus leaf vein

2.2 模擬荷葉葉脈分布形態(tài)

將基于自適應(yīng)成長(zhǎng)法的周期性加筋結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)運(yùn)用到荷葉葉脈的再生長(zhǎng)過(guò)程中，以整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小為目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

圖4a中，荷葉由一根葉柄支撐挺出水面，在圖4b所示的設(shè)計(jì)模型的中間點(diǎn)施加全約束，用均布載荷表示荷葉承受暴雨冰雹的情況。

圖4 模擬荷葉葉脈分布形態(tài)設(shè)計(jì)模型Fig.4 Design model of imitated lotus leaf vein

圖5 所示為模擬“葉脈”自適應(yīng)再生過(guò)程，依據(jù)自適應(yīng)成長(zhǎng)法的選種方式，選取中心點(diǎn)約束處為“種子”位置?！叭~脈”首先從中心點(diǎn)“種子”處向外散發(fā)，沿著使整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小的方向成長(zhǎng)與退化，逐步抵抗承載，成長(zhǎng)至分歧截面積Amax后發(fā)生“分歧”；然后與各“分歧點(diǎn)”相連的“葉脈”繼續(xù)成長(zhǎng)、退化或“消失”。該過(guò)程反復(fù)循環(huán)，直至最終整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能滿足如下收斂條件：

式中，ε為收斂容差，取ε=1×10-4；U為整體結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能。

對(duì)比圖6a與圖6b可知，模擬“葉脈”的分布形態(tài)與真實(shí)的荷葉葉脈分布形態(tài)相似，“主葉脈”從中心點(diǎn)的“種子”出發(fā)，徑向生長(zhǎng)，至邊緣處分歧出若干細(xì)枝，以抵抗受到的彎曲載荷，最大化展開(kāi)并支撐“葉面”。最終結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能與初始結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能之比U/U0為1.67×10-4。由荷葉葉脈的再生過(guò)程可知，荷葉葉脈分布能使荷葉在承受自然載荷作用下獲得整體剛度最大。圖6c為設(shè)計(jì)迭代歷程圖，可以看出，隨著迭代步數(shù)的增加，由于初始應(yīng)變能U0和初始體積V0不變，故結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能開(kāi)始急劇減小，同時(shí)總體積迅速增大；隨后因筋板的截面積不斷地“生長(zhǎng)”與“退化”，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能的減小幅度逐漸變緩并趨于穩(wěn)定，而體積比值也逐漸趨于穩(wěn)定，最終不再變化。

圖5 “葉脈”的自適應(yīng)再生過(guò)程Fig.5 Regrowth process of the lotus leaf

圖6 設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比與分析Fig.6 Comparison and analysis of the design result

3 典型算例與分析

3.1 不同子域數(shù)目的圓環(huán)結(jié)構(gòu)周期性筋板分布形態(tài)設(shè)計(jì)

首先考慮子域數(shù)目P=4時(shí)，承受指向圓心的均布面內(nèi)載荷作用的圓環(huán)結(jié)構(gòu)，見(jiàn)圖7a。設(shè)計(jì)模型尺寸為D∶d=4∶1，其中D為外圓直徑，d為內(nèi)圓直徑。圖7b中，在4個(gè)約束點(diǎn)處選取“種子”，加強(qiáng)筋從“種子”點(diǎn)處開(kāi)始發(fā)散成長(zhǎng)，逐步連接至圓環(huán)的邊界，再依據(jù)自身的設(shè)計(jì)敏度過(guò)濾函數(shù)，形成由疏到密的加強(qiáng)筋布局形態(tài)，從而直接改善整個(gè)圓環(huán)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能。最終加強(qiáng)筋的設(shè)計(jì)分布結(jié)果見(jiàn)圖7c，此時(shí)結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)變能與初始結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能之比U/U0為1.27×10-2。圖7d為圓環(huán)結(jié)構(gòu)的體積和應(yīng)變能比值的迭代歷程曲線，可以看出，隨著迭代步數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能減小，總體積增大，2條曲線最終均趨于穩(wěn)定。

圖7 P=4時(shí)周期性圓環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.7 Design results for a periodic ring structure when P=4

圖8 a所示為子域數(shù)目P=5時(shí)承受指向圓心的均布面內(nèi)載荷作用的圓環(huán)結(jié)構(gòu)，其他設(shè)計(jì)參數(shù)均與P=4時(shí)的設(shè)計(jì)模型相同，“種子”位置見(jiàn)圖8b。圖8c所示為筋板最終的分布形態(tài)。圖8d為圓環(huán)結(jié)構(gòu)的體積和應(yīng)變能比值的迭代歷程曲線，可以看出，隨著迭代步數(shù)的增加，圓環(huán)結(jié)構(gòu)的總體積增大，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能減小，在U/U0為1.19×10-2時(shí)收斂。

圖8 P=5時(shí)周期性圓環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.8 Design results for a periodic ring structure when P=5

對(duì)比上述2個(gè)不同子域數(shù)目的加強(qiáng)筋板布局的設(shè)計(jì)結(jié)果可以看出，兩者每個(gè)子域的設(shè)計(jì)形態(tài)大致形同，起初加強(qiáng)筋板均從“種子”處開(kāi)始發(fā)散成長(zhǎng)，連接至結(jié)構(gòu)邊緣處時(shí)，筋板數(shù)目逐漸增多，而圖7c的分支數(shù)量多于圖8c的分支數(shù)量，這是由于后者圓環(huán)的子域數(shù)目（P=5）比前者（P=4）多了一根主支。本例結(jié)果表明，自適應(yīng)成長(zhǎng)法可根據(jù)工程實(shí)際需要設(shè)置周期子域數(shù)目，以得到合理的加強(qiáng)筋分布形式。

3.2 不同幾何形狀的懸臂條狀結(jié)構(gòu)周期性筋板分布形態(tài)設(shè)計(jì)

圖9a所示為平面矩形懸臂條狀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型，其中左端固定，右端作用有垂直載荷F。結(jié)構(gòu)子域數(shù)目P=4，設(shè)計(jì)模型尺寸為L(zhǎng)∶W=4∶1，其中L為矩形長(zhǎng)，W為矩形寬?！胺N子”選取位置見(jiàn)圖9b。最終結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能與初始應(yīng)變能比值U/U0為8×10-3。圖9c為圓環(huán)結(jié)構(gòu)的體積和應(yīng)變能比值的迭代歷程圖，可以看出，隨著迭代步數(shù)的增加，圓環(huán)結(jié)構(gòu)的總體積增大，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能減小，2條曲線最終均趨于平緩。

圖9 平面矩形懸臂條狀結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.9 Design results for a planar rectangular cantilever bar structure

圖10 a所示為平面梯形懸臂條狀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型，結(jié)構(gòu)子域數(shù)目P=4，設(shè)計(jì)模型尺寸為L(zhǎng)∶W1∶W2=8∶2∶1，其中L為梯形的長(zhǎng)，W1為梯形左端最大寬度，W2為梯形右端最小寬度。圖10b為“種子”選取位置與加強(qiáng)筋最終分布形態(tài)圖，其應(yīng)變能比值U/U0收斂于1.49×10-2。圖10c為圓環(huán)結(jié)構(gòu)的體積和應(yīng)變能比值的迭代歷程圖，同理可以看出，隨著迭代步數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能減小，總體積增大，2條曲線最終均收斂。

圖10 平面梯形懸臂條狀結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.10 Design results for a planar trapezoid cantilever bar structure

上述2個(gè)例子考慮的是不同幾何形狀的懸臂結(jié)構(gòu)加筋設(shè)計(jì)，周期子域數(shù)目P相同。雖設(shè)計(jì)模型的幾何形狀不同，但每個(gè)子域的筋板數(shù)目相等，均呈交叉型周期性分布。但隨著條狀結(jié)構(gòu)沿軸向方向的寬度變化，加強(qiáng)筋交叉的角度會(huì)發(fā)生適應(yīng)性變化。

4 結(jié)論

（1）通過(guò)引入周期性約束，將自適應(yīng)成長(zhǎng)法應(yīng)用到周期性加筋結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中。構(gòu)建了優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，推導(dǎo)了基于KKT最優(yōu)化條件的尋優(yōu)迭代公式，并引入敏度過(guò)濾函數(shù)。

（2）通過(guò)對(duì)荷葉葉脈再生過(guò)程模擬表明，自然界中真實(shí)的荷葉葉脈確實(shí)能使荷葉獲得最大的整體剛度。

（3）針對(duì)周向受壓的圓環(huán)結(jié)構(gòu)，分析了不同周期子域數(shù)目對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，并設(shè)計(jì)了不同形狀的懸臂條狀結(jié)構(gòu)的周期性加強(qiáng)筋分布。

（4）設(shè)計(jì)結(jié)果表明，所提方法的迭代公式簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)參數(shù)少，求解方便，筋板布局形態(tài)清晰，不需進(jìn)行后處理即可得到筋板的實(shí)際布局，且可用于不同載荷作用下的各種結(jié)構(gòu)，適用范圍廣。