王 杰， 李勝光， 宋一帆， 白 珂， 馬天磊

(鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

隨著科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，圖像成為越來(lái)越重要的信息傳播媒介.然而圖像在形成、傳送和儲(chǔ)存的過(guò)程中，由于一些不可抗拒的因素，會(huì)產(chǎn)生圖片污染進(jìn)而造成圖片退化，即模糊圖片[1-2].通常，圖像在退化過(guò)程中可用下面模型進(jìn)行近似，

g=h?f+n,

(1)

式中：f為清晰圖片；g為觀察到的圖片；n是零均值高斯白噪聲；h為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；?是卷積算子.圖像復(fù)原技術(shù)是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題，通常使用正則化技術(shù)去解決這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)最小化下式的變分問(wèn)題來(lái)復(fù)原清晰圖像f，

(2)

式中：第一項(xiàng)通常被稱(chēng)為保真項(xiàng)，用來(lái)保存圖像的最大信息，此部分可以通過(guò)最大后驗(yàn)估計(jì)推導(dǎo)出來(lái)[3]；第二項(xiàng)被稱(chēng)為正則化項(xiàng)，通過(guò)改善正則化項(xiàng)使復(fù)原的圖像更清晰.正則化參數(shù)α>0.

正則化項(xiàng)φ(f)的選取對(duì)復(fù)原出的圖像質(zhì)量有著至關(guān)重要的影響.Rudin等[4]提出一種全變差方法，用φ(f)=‖f‖1表示正則化項(xiàng).這種方法能夠比較好地保存圖像的邊緣信息，然而會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng).為了減弱復(fù)原圖片的階梯效應(yīng)并且保存圖像的邊緣信息，Lysaker等[5]提出了一種用二階次全變差正則化項(xiàng)取代原始全變差正則化項(xiàng)的方法.Chan等[6]提出了一種混合的全變差公式，將一階和二階全變差混合使用.也有其他學(xué)者采用更高階的全變差公式，然而階次越高，改進(jìn)后的模型就越復(fù)雜，計(jì)算難度也會(huì)隨之增加，產(chǎn)生一些不良效應(yīng).Huang等[7]通過(guò)引入輔助變量來(lái)代替真實(shí)圖片,提出了一種快速總變差(Fast-TV)最小化方法.Liu等[8]和Shi等[9]采用重疊組稀疏正則化項(xiàng)恢復(fù)噪聲損壞圖像，在減輕階梯效應(yīng)方面非常有效.Bai等[10]提出了一種基于交替方向乘子法求解全變差正則化的模型，該模型對(duì)去除椒鹽噪聲非常有效，但對(duì)于隨機(jī)噪聲效果一般.賴(lài)明倩等[11]提出了一種全范數(shù)全變差的算法，既保留了邊緣效果又減弱了階梯效應(yīng).

全變差正則化方法能夠較好地保留圖像的邊緣信息，但會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)，所以要對(duì)正則化項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)以便減弱階梯效應(yīng).采用重疊組稀疏全變差函數(shù)(OGSTV)代替正則化項(xiàng)，該方法曾被用來(lái)去除一維噪聲[12]，能夠保留邊緣特性，并且減弱階梯效應(yīng).重疊組稀疏全變差通常是利用交替方向乘子(ADMM)方法來(lái)進(jìn)行求解.但在求解過(guò)程中，其懲罰因子對(duì)復(fù)原效果有較大影響，且一般由經(jīng)驗(yàn)選取，不易調(diào)出最佳效果，所以筆者提出了一種自適應(yīng)交替方向乘子法來(lái)求解該模型，在復(fù)原圖片的過(guò)程中根據(jù)復(fù)原情況能夠?qū)崟r(shí)地調(diào)節(jié)ADMM的懲罰因子.該算法不僅能夠保存圖像的邊緣特性，并且能夠克服全變差的階梯效應(yīng).此外，自適應(yīng)交替乘子法比經(jīng)典的交替乘子法更具有魯棒性，第3節(jié)的試驗(yàn)證明了該算法的高效性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 重疊組稀疏

(3)

所以對(duì)應(yīng)的全變差公式的正則化項(xiàng)變?yōu)?

φ(s)=φ(xs)+φ(ys).

(4)

1.2 OGSTV

通過(guò)引入定義的重疊組稀疏正則化項(xiàng)，圖像復(fù)原公式(2)可轉(zhuǎn)換為：

(5)

對(duì)于圖片中的每個(gè)像素值都有一定的范圍約束PΩ=[pl,pu]，這種約束被稱(chēng)為黑箱約束[13].通過(guò)引入一些輔助變量vx、vy、z，將式(5)轉(zhuǎn)化為有約束問(wèn)題，

s.tvx=xf,vy=yf,z=f.

(6)

相應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)為:

φ(vy))+PΩ(z)+μT{(xf-vx)+

(7)

式中：μ是拉格朗日乘數(shù)；σ>0是懲罰因子.式(7)可以用ADMM算法進(jìn)行求解.

2 自適應(yīng)ADMM-OGSTV

在式(7)中，σ通常是由經(jīng)驗(yàn)選取.但試驗(yàn)證明其值選取的大小對(duì)圖片恢復(fù)質(zhì)量有著至關(guān)重要的影響.所以提出了一種自適應(yīng)正參數(shù)σ的選取方法.對(duì)式(7)進(jìn)行變形得,

(8)

利用ADMM算法對(duì)式(8)進(jìn)行求解可得復(fù)原圖片f的迭代公式為(文獻(xiàn)[14]中給出了相應(yīng)的求解過(guò)程)，

(9)

由式(9)可以容易地看出圖片復(fù)原迭代公式是以Si,i=1,2,3為步長(zhǎng)的梯度下降.為了證明σ值變化對(duì)f的影響，令σ為自變量，其他參數(shù)為常量，可得,

f=argminΦ(σ),

(10)

(11)

為了在圖片復(fù)原過(guò)程中根據(jù)復(fù)原情況進(jìn)行自適應(yīng)的迭代，以空間歐式距離作為復(fù)原前后相似度度量得，

(12)

當(dāng)Δk+1<ε，ε為任意小常數(shù)，圖像復(fù)原迭代過(guò)程中圖片再無(wú)變化，迭代終止.在迭代過(guò)程中根據(jù)Δk實(shí)時(shí)調(diào)整σk值，做如下定義，

(13)

3 試驗(yàn)與結(jié)果

為了更加充分地驗(yàn)證本算法，筆者選取不同尺度的圖片進(jìn)行測(cè)試，所有測(cè)試圖片如圖1所示，其中圖Goldhill尺寸為512×512，圖Lena尺寸為256×256.

圖1 測(cè)試圖片F(xiàn)ig.1 The picture for test

在試驗(yàn)過(guò)程中，分別對(duì)測(cè)試圖片進(jìn)行了兩種高斯模糊，模糊核為7×7記為模糊核1；模糊核為21×21記為模糊核2，高斯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差均為2.兩種運(yùn)動(dòng)模糊，位移像素為10，偏移角度為30，記為模糊核3；位移像素20，偏移角度為45，記為模糊核4，偏移角度均為逆時(shí)針?lè)较?，論文以下?nèi)容采用此簡(jiǎn)記方式.筆者方法和最新的Fast-TV算法[7]、TVFN算法[11]和OGSATV-ADM4算法[8]進(jìn)行了對(duì)比.為了保證對(duì)比的公平，所有算法的迭代終止條件為ε=1×10-5，其他條件為其論文中證明的最優(yōu)條件.筆者方法經(jīng)試驗(yàn)證明參數(shù)γ取1.01，參數(shù)η取1.09；重疊組稀疏窗，選取W=3，文獻(xiàn)[15]已驗(yàn)證其最優(yōu)性.實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows 7, 64位Intel Core i5-3230 CPU 2.5 GHz，MATLAB版本為2014 a.

筆者對(duì)恢復(fù)出來(lái)的圖片進(jìn)行質(zhì)量評(píng)價(jià)時(shí)，使用的是3種常用的評(píng)價(jià)方法，相對(duì)誤差(RE)、峰值信噪比(PSNR)和信噪比(SNR)，使用這3種方法[7]比較容易和其他算法進(jìn)行對(duì)比.模糊信噪比[7](BSNR)為試驗(yàn)附加噪聲.

3.1 ADMM計(jì)算步長(zhǎng)的影響

采用交替方向乘子法去優(yōu)化重疊組稀疏正則化模型時(shí)，為了驗(yàn)證正項(xiàng)懲罰參數(shù)σ對(duì)復(fù)原圖片性能的影響，筆者選取圖片Goldhill在模糊核1附加BSNR=40的零均值高斯噪聲情況下，繪制了信噪比在不同σ值的曲線(xiàn)，具體如圖2所示.

圖2 不同σ值復(fù)原圖片的SNR值Fig.2 SNR values of the picture at different σ values

由圖2可知，不同σ對(duì)復(fù)原圖片的SNR影響是至關(guān)重要的，即使σ發(fā)生非常微小的變化也能對(duì)復(fù)原結(jié)果產(chǎn)生巨大的影響.通過(guò)手動(dòng)調(diào)節(jié)σ不僅費(fèi)時(shí)，而且不易找出最佳σ值.所以筆者提出一種自適應(yīng)調(diào)節(jié)方法，在迭代過(guò)程中根據(jù)復(fù)原圖片fk和fk+1進(jìn)行實(shí)時(shí)的調(diào)節(jié)，這樣不僅易于操作，而且復(fù)原效果更好.

3.2 自適應(yīng)步長(zhǎng)復(fù)原效果

為了驗(yàn)證自適應(yīng)步長(zhǎng)的復(fù)原效果，筆者對(duì)不同尺寸圖片進(jìn)行了仿真，模糊和復(fù)原效果如圖3所示.圖3(a)、3(c)中依次為模糊核1至4，Gold-hill、Lena的退化圖像，對(duì)于每種模糊類(lèi)型都加入了BSNR=40的零均值高斯噪聲.圖3(b)、3(d)為相應(yīng)的復(fù)原效果圖.從人眼感官上，復(fù)原出的圖片既保留了邊緣特性又消除了階梯效應(yīng)，對(duì)于不同尺寸的圖片在不同模糊類(lèi)型和不同模糊核上均取得了較好結(jié)果.

3.3 算法對(duì)比

為了驗(yàn)證筆者所提算法的優(yōu)越性，依次用算法Fast-TV、TVFN、OGSATV-ADM4和本文算法對(duì)不同尺度圖片在不同模糊類(lèi)型和不同模糊核下，對(duì)復(fù)原圖片進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表1所示.由表1可知，筆者所提算法的PSNR、SNR和RE均優(yōu)于其他算法，不過(guò)在復(fù)原時(shí)間上略長(zhǎng)于Fast-TV和OGSATV-ADM4，但保證了復(fù)原效果.

圖3 Goldhill和Lena不同模糊和復(fù)原圖片F(xiàn)ig.3 Different blur and restore pictures of Goldhill and Lena

為進(jìn)一步驗(yàn)證筆者所提方法的優(yōu)越性，選取Goldhill在模糊核1情況下，各算法的迭代結(jié)果對(duì)比如圖4所示.筆者算法在獲取最佳結(jié)果時(shí)迭代次數(shù)最少，證明了所提算法加速過(guò)程的有效性.由于Fast-TV、TVFN、OGSATV-ADM4和筆者算法輔助變量?jī)?chǔ)存空間[16]依次為O(5mn)、O(6mn)、O(6mn)和O(8mn)，所以筆者算法在自適應(yīng)迭代過(guò)程中消耗一些時(shí)間.

各算法的計(jì)算時(shí)間迭代結(jié)果如圖5所示.由圖5可知，筆者算法獲得最佳結(jié)果的計(jì)算時(shí)間略長(zhǎng)，然而所提算法本身具有加速過(guò)程且復(fù)原結(jié)果具有很大提升，即使相比原算法多用0.14 s也是具有研究?jī)r(jià)值的.

各算法在不同模糊情況下的復(fù)原效果如圖6所示.圖6選取Goldhill在模糊核1和Lena在模糊核4情況下的模糊圖片.在圖6第一行中，我們可以觀察到Fast-TV和TVFN在箭頭所指處都產(chǎn)生了塊狀效應(yīng)即階梯效應(yīng)，OGSATV-ADM4在一定程度上避免了階梯效應(yīng).筆者所提算法不僅避免了階梯效應(yīng)，而且相比OGSATV-ADM4更符合人眼觀測(cè)效應(yīng).

圖4 Goldhill SNR在迭代次數(shù)上的迭代結(jié)果Fig.4 The SNR iteration results of Goldhill over iterations

圖5 Goldhill SNR在計(jì)算時(shí)間上的迭代結(jié)果Fig.5 The SNR iteration results of Goldhill over time

圖片模糊核GoldhillLena模糊核1模糊核2模糊核3模糊核4模糊核1模糊核2模糊核3模糊核4Fast-TVTVFNOGSATV-ADM4筆者算法PSNR/dB30.7730.0534.1631.0830.2229.4135.0932.19SNR/dB24.4123.9427.7924.4423.0622.2327.4024.93RE0.0630.0670.0450.0600.0700.0770.0430.057時(shí)間/s2.963.551.742.661.231.791.131.25PSNR/dB30.9530.3234.3731.2430.4729.5035.3432.31SNR/dB24.6823.9927.9324.5923.2522.3027.6925.02RE0.0600.0650.0430.0590.0690.0750.0400.056時(shí)間/s3.915.352.614.082.113.371.741.86PSNR/dB31.1430.6034.5831.3330.6330.1235.7832.38SNR/dB24.7724.2328.2224.9623.7923.2228.8725.47RE0.0580.0610.0390.0560.0670.0690.0360.053時(shí)間/s3.073.751.813.011.492.081.351.61PSNR/dB32.0030.7735.4632.2431.4630.5236.3533.47SNR/dB25.6324.4029.1025.8724.5523.6229.4426.56RE0.0520.0600.0350.0510.0590.0660.0340.047時(shí)間/s3.213.961.933.141.582.151.461.68

在圖6第二行中，我們可以觀察到，在箭頭所指處筆者所提算法更加清晰，并且在對(duì)圖片放大時(shí)對(duì)比算法都不同程度地產(chǎn)生了階梯效應(yīng).通過(guò)試驗(yàn)證明，所提算法對(duì)不同尺度的圖片在不同模糊類(lèi)型和不同的模糊核下復(fù)原效果均優(yōu)于對(duì)比算法，不僅恢復(fù)出了很好的邊界，而且能夠很好地避免階梯效應(yīng).

4 結(jié)論

筆者研究了基于重疊組稀疏全變差正則化的圖像去模糊算法.為了解決相應(yīng)的最小化問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)交替方向乘子算法來(lái)求解該模型，該方法在復(fù)原圖片的過(guò)程中根據(jù)復(fù)原情況能夠?qū)崟r(shí)地調(diào)節(jié)ADMM的懲罰因子.通過(guò)試驗(yàn)證明該方法的有效性.與其他算法相比具有較高的峰值信噪比和信噪比，并且具有較小的相對(duì)誤差.筆者提出的算法不僅能夠保存邊緣特性，而且能夠避免階梯效應(yīng).由于筆者所研究算法是非盲去模糊方法，在未來(lái)工作中可能把此算法擴(kuò)展到盲去模糊問(wèn)題中.