郭靖宇，管松，年玉澤，萬水

(1.阜陽市公路管理局，安徽 阜陽 236000； 2.東南大學(xué)交通學(xué)院，江蘇 南京 210096)

薄壁箱梁截面由于抗彎抗扭剛度大、截面整體性能好和施工適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)[1-2]。目前橋梁設(shè)計主要采用平面桿系矩陣位移法[3]，該方法通過每個單元設(shè)有2個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)6個自由度來分析宏觀彎矩、剪力、扭矩沿梁軸向的分布規(guī)律。彎矩、剪力與正應(yīng)力、剪應(yīng)力已建立了比較完善的函數(shù)式[4]；而偏心荷載作用下扭矩與正應(yīng)力、剪應(yīng)力則難以建立對應(yīng)關(guān)系，這就給目前的箱形梁橋設(shè)計造成了困難，無法從力學(xué)角度解釋扭矩與應(yīng)力之間的關(guān)系。

本文從靜力學(xué)平衡方程、幾何方程、物理方程出發(fā)，利用位移法建立微元體之間的微分方程，考慮邊界條件的初始條件求解微分方程，得到扭矩與應(yīng)力之間的數(shù)值函數(shù)關(guān)系。選取某單箱單室混凝土簡支箱梁橋進(jìn)行算例分析，進(jìn)一步了解扭轉(zhuǎn)作用下的翹曲正應(yīng)力和約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的分布規(guī)律。

1 縱向位移假定

對箱形梁約束扭轉(zhuǎn)的求解思路是位移法求解，先要構(gòu)造位移函數(shù)表達(dá)式，由于箱形梁的復(fù)雜性，無法直接根據(jù)邊界條件得出位移函數(shù)表達(dá)式。我們從自由扭轉(zhuǎn)的翹曲位移模式出發(fā)，通過類比研究，對約束扭轉(zhuǎn)的翹曲位移模式進(jìn)行假定。

如圖1，根據(jù)微元體幾何方程[5]16，可得自由扭轉(zhuǎn)下的翹曲位移模式。

圖1 箱形梁微元形變示意圖

(1)

v=hθ(z)

(2)

式中，h為截面中心軸到箱壁中心的距離。將式(2)代入式(1)，可得

(3)

(4)

對式(4)沿箱梁路徑積分一周，

∮γds=∮hθ′(z)ds

(5)

(6)

式(4)可表示為

(7)

由于剛性扭轉(zhuǎn)時截面縱向變形受到約束，式(7)中θ′(z)為常數(shù)項，與z軸無關(guān)，無法反映結(jié)構(gòu)真實(shí)的翹曲情況。烏曼斯基(A.A.YManCKttfi)提出，約束扭轉(zhuǎn)的翹曲變形函數(shù)與自由扭轉(zhuǎn)翹曲變形函數(shù)相似，反映翹曲程度的函數(shù)為β′(z)，不等于θ′(z)，β′(z)為關(guān)于z的函數(shù)[6]。式(7)可表示為

(8)

2 扭轉(zhuǎn)中心位置

選取圖2所示截面的形心A作為極點(diǎn)，以豎向?qū)ΨQ軸與箱形梁邊的交接點(diǎn)C作為主扇形零點(diǎn)，實(shí)際扭轉(zhuǎn)中心B滿足式(9)的條件。

(9)

圖2 A、B為極點(diǎn)的2個扇形坐標(biāo)關(guān)系

h=[(x-xA)-(y-yA)cotα]sinα

(10)

dwA=hds

(11)

(12)

同理，以截面形心B為極點(diǎn)，可得到類似結(jié)論。

(13)

(14)

對式(14)積分，

(15)

將式(15)代入扭轉(zhuǎn)中心條件公式(9)，可得

3 微分方程建立

由圖1微元體幾何方程可知，沿z軸的線應(yīng)變

(16)

根據(jù)烏曼斯基第二理論——截面周邊不變性的假定，假定εs=0，彈性階段物理方程滿足Hooke’s law[5]20。

(17)

箱形梁在扭轉(zhuǎn)荷載作用下，縱向合力及合力矩為零，根據(jù)Saint-Venant假定，可得箱形梁截面的應(yīng)力邊界條件。

∮σ2dA=FN=0

(18)

將式(16)代入式(17)，最后代入式(18)，可得

u′(z,0)=0

(19)

圖3為微元體應(yīng)力示意圖。由圖3可得到平衡微分方程(其中體力fz、fs為零)：

(20)

圖3 微元體應(yīng)力示意圖

考慮應(yīng)力邊界條件

∮τzshtds=Lk

(21)

由式(20)、(21)得到剪應(yīng)力τzs的表達(dá)式

(22)

式(19)、(22)給出了約束扭轉(zhuǎn)作用下箱形梁的縱向翹曲應(yīng)力σz和約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τzs的函數(shù)表達(dá)式，其中翹曲變形系數(shù)β′(z)是未知的，根據(jù)β′(z)與θ(z)的關(guān)系，得出扭轉(zhuǎn)角θ(z)的分布函數(shù)。

由公式(2)、(8)可知，v與θ(z)有關(guān)，u與β′(z)有關(guān)，根據(jù)式(1)得到β′(z)與θ(z)的關(guān)系。根據(jù)Saint-Venant應(yīng)力邊界條件假設(shè)，可得到如下微分方程表達(dá)式:

(23)

4 微分方程求解

求解微分方程式(23)，可得

(24)

邊界條件為

固定端：

θ(z)=0 (截面無扭轉(zhuǎn))

β′(z)=0 (截面無翹曲)

鉸接端：

θ(z)=0 (截面無扭轉(zhuǎn))

Bl=0 (截面無翹曲應(yīng)力)

自由端：

Bt=0 (截面無翹曲應(yīng)力)

β?(z)=0 (截面無約束剪應(yīng)力)

以下給出任意扭矩和滿鋪均布扭矩時截面的各項參數(shù)：

(25)

(26)

(27)

Lk=l0-Mk-mz

(28)

5 算例

選取跨度L=40 m的等截面單箱單室薄壁箱梁為例，模型截面尺寸見圖4，材料的彈性模量E=3.40×104MPa，泊松比μ=0.2。模型滿跨布置q=100 kN /m的均布力，偏心距e=2.35m(計算扭轉(zhuǎn)時，可以簡化為均布扭矩m=100×3.5 kN)，箱梁邊界條件如圖5所示。

圖4 薄壁箱梁橫截面圖(單位：mm)

圖5 簡支梁受均布偏載力

考慮圖5所示的邊界條件，由式(25)～(28)可得

圖6 約束扭轉(zhuǎn)雙力矩沿梁縱向分布規(guī)律

圖7 約束扭轉(zhuǎn)雙力矩一階導(dǎo)數(shù)沿梁縱向分布規(guī)律

由圖6、7可見，約束扭轉(zhuǎn)雙力矩的分布形式類似于均布荷載作用下的彎矩分布，但在0—L/4斷面處變化較為劇烈，而在L/4—L/2處變化相對平緩；約束扭轉(zhuǎn)雙力矩的一階導(dǎo)數(shù)在跨中區(qū)域為零，在加載端處有最大值，類似于均布荷載作用下的剪力分布規(guī)律。

跨中斷面處約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力分布，如圖8所示?？缰刑幍淖杂膳ぞ嘏c約束扭矩均為零，故剪應(yīng)力分布為零。

L/4斷面處,約束正應(yīng)力與剪應(yīng)力分布如圖9—10所示。由圖8—10可見：L/4至L/2斷面的約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力分布規(guī)律大致相同，這是因為約束扭轉(zhuǎn)雙力矩分布較為平緩，而廣義扇形矩和扭轉(zhuǎn)慣性矩與截面有關(guān)，本文所選算例為等截面分布，因此約束翹曲正應(yīng)力在L/4至L/2區(qū)域變化不大；L/2斷面處自由扭矩與約束扭矩分布均為零，故在該斷面的剪應(yīng)力分布為零，即無剪應(yīng)力；均布荷載作用下約束扭矩與自由扭矩幅值相差較大，約束扭矩對約束剪應(yīng)力的分布可以忽略，圖10中剪應(yīng)力在箱梁截面的分布較為平緩，表明約束扭矩的影響較小，在計算過程中已被忽略。

圖8 跨中斷面約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力分布(單位：kPa)

圖9 L/4斷面約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力分布(單位：kPa)

圖10 L/4斷面約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力分布(單位：kPa)

6 結(jié)論

1) 本文基于微元體平衡方程、幾何方程、物理方程，在彈性體假設(shè)的前提下，推導(dǎo)了單箱單室箱形梁約束扭轉(zhuǎn)的計算方法。

2)均布偏心荷載作用下約束扭轉(zhuǎn)雙力矩沿梁軸向的分布與均布荷載作用下彎矩沿梁軸向的分布類似，約束扭轉(zhuǎn)雙力矩的一階導(dǎo)數(shù)沿梁軸向的分布與均布荷載作用下剪力的分布類似。

3)均布偏心荷載作用下，約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力對箱形梁的影響較小，經(jīng)計算頂板最大翹曲應(yīng)力值與彎矩應(yīng)力值相差2.68%，底板最大翹曲應(yīng)力值與彎矩應(yīng)力值相差1.04%，其影響可以忽略不計；約束扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力與自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力相比，可以忽略不計。