張春玲 劉文武

(陽(yáng)光學(xué)院信息工程學(xué)院,福州 350015)

1 引 言

作為量子信息的一種載體,量子糾纏態(tài)一直以來(lái)都是量子信息領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).近年來(lái),學(xué)者們提出多種方案和技術(shù)用于制備量子糾纏態(tài).其中,受激拉曼絕熱技術(shù)(stimulated Raman adiabatic passage,STIRAP)[1,2]因其獨(dú)有的特性而被廣泛應(yīng)用于量子糾纏態(tài)的制備[3?6].一般地,基于STIRAP的設(shè)計(jì)方案中,只要絕熱條件能夠滿(mǎn)足,系統(tǒng)將處于一個(gè)本征值為0的暗態(tài)中演化,此類(lèi)方案幾乎不受實(shí)驗(yàn)參數(shù)波動(dòng)性的影響,然而,為了獲得高保真度的糾纏態(tài),通常需要很長(zhǎng)的演化時(shí)間.很顯然,較長(zhǎng)的演化時(shí)間將導(dǎo)致系統(tǒng)受消相干作用的影響,甚至使得理論方案不成立.為了克服傳統(tǒng)絕熱技術(shù)的這個(gè)弊端,絕熱捷徑(shortcuts to adiabatic passage,STAP)[7,8]應(yīng)運(yùn)而生.近幾年提出了很多關(guān)于STAP的研究[9?14].其中,Berry等[14]提出的無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)(transitionless quantum driving,TQD)深受追捧.此方法通過(guò)逆向構(gòu)建一個(gè)反向驅(qū)動(dòng)(counter-diabatic driving,CDD)哈密頓使得系統(tǒng)精確地沿著原始哈密頓的本征值演化.然而,一般情況下,這個(gè)哈密頓在實(shí)驗(yàn)上并不能實(shí)現(xiàn).2015年,Chen等[15]提出了一種新的模型攻克CDD哈密頓的缺點(diǎn),該方案結(jié)合大失諧和量子Zeno動(dòng)力學(xué)將系統(tǒng)哈密頓近似等效于反向驅(qū)動(dòng)哈密頓,并基于此方法快速制備了兩原子Greenberger-Horne-Zeilinger態(tài) (GHZ態(tài)).隨后,Huang等[16]和Shan等[17]將此方法分別應(yīng)用于多原子的W態(tài)和GHZ態(tài)的制備.相比于以上的低維糾纏態(tài),高維糾纏態(tài)更違背了局域真實(shí)性[18],而且為很多量子信息處理提供了更高的安全等級(jí)[19]和更快的傳輸速度[20,21],因此被廣泛應(yīng)用于量子成像[22]、量子通信[23]、量子模擬[24]、量子計(jì)算[25].近幾年,多維量子態(tài)在理論和實(shí)驗(yàn)上被廣泛研究[26?29].受文獻(xiàn)[15]啟示,本文應(yīng)用TQD快速實(shí)現(xiàn)了居于兩個(gè)由光纖連接的耦合腔中的兩個(gè)原子的四維糾纏態(tài)的制備.

2 理論分析

2.1 理論模型

本系統(tǒng)考慮兩個(gè)原子分別被囚禁在兩個(gè)由光纖連接的雙模光學(xué)腔中.如圖1所示,每個(gè)原子都有兩個(gè)激發(fā)態(tài)和,兩個(gè)中間態(tài)和, 和兩個(gè)基態(tài)和2 表示原子序號(hào)).原子的躍遷與腔模Cij耦合,對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)為gij,同時(shí),原子的躍遷受拉比頻率為?ij的激光驅(qū)動(dòng),兩個(gè)光學(xué)腔用一根雙模光纖F連接,耦合系數(shù)為λj(j=L,R).在相互作用繪景下,系統(tǒng)的總哈密頓為(=1)

其中,a是腔模的湮滅算符,b?是光纖模的產(chǎn)生算符.為方便起見(jiàn),設(shè)定giL=giR=g,λL=λR=λ.為了得到目標(biāo)態(tài)

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖以及原子能級(jí)結(jié)構(gòu)圖Fig.1. The experimental set-up diagram and the atomic level configuration.

將左旋哈密頓HL分為包括腔和原子以及光纖相互作用的哈密頓,即以及原子與激光脈沖作用的哈密頓,即根據(jù)量子Zeno動(dòng)力學(xué)理論[30],當(dāng)g,λ??iL,左旋哈密頓HL可以等效為

其中,K是耦合系數(shù),εn是的本征值,Pn是的本征投影.為了獲得HL′,首先計(jì)算的本征態(tài)為

對(duì)應(yīng)本征值為ε1=0,ε2=g,ε3= ?g,ε4=和根據(jù)量子Zeno動(dòng)力學(xué)[15,30],可得哈密頓HL′為

2.2 利用無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)構(gòu)建絕熱捷徑

眾所周知,受激拉曼絕熱過(guò)程需要較長(zhǎng)的演化時(shí)間,這將導(dǎo)致系統(tǒng)受消相干因素的破壞,甚至使得理論結(jié)果不成立.根據(jù)Berry無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)理論[14],可以求解出一個(gè)能夠精確驅(qū)使系統(tǒng)在暗態(tài)中演化的CDD哈密頓.與哈密頓等效的最簡(jiǎn)單的CDD哈密頓可以表示為

與方程(1)到方程(6)的近似方法類(lèi)似,可以得到一個(gè)APF系統(tǒng)的有效哈密頓

圖2 APF系統(tǒng)的原子能級(jí)結(jié)構(gòu)圖Fig.2.The atomic level confguration for the APF Hamiltonian.

2.3 利用無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)快速制備四維糾纏態(tài)

這里,利用高斯脈沖驅(qū)動(dòng)原子,其表達(dá)式為

其中?0,di,w分別表示脈沖的峰值、時(shí)間延遲和脈寬.為了滿(mǎn)足方程(13)的邊界條件,本文選定參數(shù)?0=0.2g,d1=60/g,d2=30/g,w=18/g.為了凸顯STAP方案的優(yōu)點(diǎn),圖3描繪了在原始哈密頓和APF哈密頓作用下,演化進(jìn)程中和的布居數(shù). 圖3(a)表明,為了實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移利用STAP技術(shù),演化時(shí)間只需要80/g,相比之下,如圖3(b)所示,在相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)下,利用傳統(tǒng)的STIRAP,無(wú)法實(shí)現(xiàn)的完美轉(zhuǎn)移,為了使得系統(tǒng)最終布居需要改變激光脈沖參數(shù),如圖3(c)所示,此時(shí)演化時(shí)間需要達(dá)到220/g以上,將近STAP的三倍.因此,STAP大大縮短了演化時(shí)間.

圖3 |α1(P1)和|α7(P7)的布居數(shù) (a)基于AFP系統(tǒng)哈密頓,其中激光脈沖參數(shù)?0=0.2g,d1=60/g,d2=30/g,w=18/g;(b)基于原始哈密頓,其中激光脈沖參數(shù) ?0=0.2g,d1=60/g,d2=30/g,w=18/g;(c)基于原始哈密頓,其中激光脈沖參數(shù) ?0=0.2g,d1=200/g,d2=100/g,w=80/gFig.3.The population of states|α1(P1)and|α7(P7):(a)Governed by the APF Hamiltonian?HL via TQD,with ?0=0.2g,d1=60/g,d2=30/g,w=18/g;(b)governed by the original Hamiltonian HLvia the adiabatic passage,with ?0=0.2g,d1=60/g,d2=30/g,w=18/g;(c)governed by the original Hamiltonian HLvia the adiabatic passage,with ?0=0.2g,d1=200/g,d2=100/g,w=80/g.

在大失諧條件下,對(duì)應(yīng)的暗態(tài)可表示為

也即,制備了四維糾纏態(tài)

3 數(shù)值模擬與討論

接下來(lái),利用數(shù)值模擬說(shuō)明上述結(jié)果的有效性.首先定義四維糾纏態(tài)的保真度為其中,是本文所要制備的目標(biāo)態(tài),ρ是系統(tǒng)演化密度算符.圖4繪制了保真度和演化時(shí)間的關(guān)系,可以看出,當(dāng)gt>80,保真度接近于1,同時(shí)本方案無(wú)需精確控制操作時(shí)間.

圖4 四維糾纏態(tài)的保真度與無(wú)維度時(shí)間gt的關(guān)系Fig.4.The fidelity of four-dimensional entangled state versus the dimensionless parameter gt.

本文也分析了環(huán)境對(duì)糾纏態(tài)保真度的影響.本系統(tǒng)消相干因素主要有原子的自發(fā)輻射、腔場(chǎng)的衰減以及光纖的衰減.若考慮消相干因素,系統(tǒng)的主方程表示為

圖5 四維糾纏態(tài)的保真度與原子的自發(fā)輻射、腔場(chǎng)的衰減以及光纖的衰減等消相干因素的關(guān)系Fig.5.The fldelity of the maximum four-dimensional entangled state versus the dissipation factor Γ , κ and Υ .

接下來(lái)簡(jiǎn)單討論實(shí)驗(yàn)的可行性.本方案中六能級(jí)原子利用Rb原子[33?35]來(lái)實(shí)現(xiàn),其中原子的和分別用激發(fā)態(tài)52P3/2的超精細(xì)結(jié)構(gòu)能級(jí)和和分別用基態(tài)52S1/2的超精細(xì)結(jié)構(gòu)能級(jí)和和分別用基態(tài)52S1/2的超精細(xì)結(jié)構(gòu)能級(jí)和文獻(xiàn)[36]指出,單個(gè)離子可以長(zhǎng)時(shí)間地被囚禁在腔中的一個(gè)固定位置,而且可以停留很長(zhǎng)時(shí)間.另外,文獻(xiàn)[37]已經(jīng)報(bào)道了腔和光纖的超低損耗耦合,且腔與光纖耦合效率可以達(dá)到99.9%.因此,隨著腔量子電動(dòng)力學(xué)技術(shù)的不斷更新,本文提出的四維糾纏態(tài)的制備方案或許在不久的將來(lái)能夠在實(shí)驗(yàn)上得以實(shí)現(xiàn).

4 結(jié) 論

本文提出一種基于絕熱捷徑技術(shù)加快兩個(gè)原子的四維糾纏態(tài)的制備,其中兩原子分別被囚禁在光纖耦合的兩個(gè)光學(xué)腔中.本文特點(diǎn)是,借助大失諧的近似來(lái)構(gòu)建一個(gè)和反向驅(qū)動(dòng)哈密頓等效并且在實(shí)驗(yàn)中可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng).數(shù)值結(jié)果表明,本方案所需的演化時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基于STIRAP的方案.此外,本文還分析了包括原子自發(fā)輻射、光纖耗散、腔中光子泄漏等消相干因素對(duì)四維糾纏態(tài)保真度的影響,結(jié)果表明,采取合適的實(shí)驗(yàn)參數(shù),本方案對(duì)這些因素具有很好的免疫能力.