王 爽，呂 靖，賴成壽

(大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧大連116026)

0 引言

原油海運網(wǎng)絡是原油運輸?shù)闹匾d體，原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點的連通狀況會影響原油的安全運輸.而原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點的連通性受惡劣天氣、船舶交通事故、海盜及海上恐怖主義、節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突等突發(fā)事件影響，且各突發(fā)事件之間存在相關關系，共同影響節(jié)點的連通性.如惡劣天氣很有可能增加發(fā)生船舶交通事故的可能性；在政局不穩(wěn)定及存在軍事沖突的地區(qū)船舶遭受海盜襲擊的可能性會增加.研究各突發(fā)事件相互關聯(lián)時的原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點的連通可靠性，對優(yōu)化進口原油海運路徑選擇，保障進口原油運輸安全具有重要意義.

連通可靠性的概念由日本學者Mine等于1982年提出，它反映的是交通網(wǎng)絡兩節(jié)點之間保持連通的概率，一般只研究路段的0和1兩種狀態(tài)，即連通或不連通[1].在Mine的基礎上，Iida等將兩點之間的連通性擴展到k點及整個網(wǎng)絡的可靠性[2].分析連通可靠性的解析方法主要包括最小路/割算法[3]，其計算復雜度隨網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)增加而指數(shù)增長，Wakayabashi[4]利用布爾代數(shù)，通過Esary-Proschan上下邊界法評估連通可靠性，簡化了計算.

Copula函數(shù)的概念由Sklar于1959年提出，它是將各單變量邊緣分布與聯(lián)合分布連接起來的函數(shù)，使得邊緣分布和聯(lián)合分布函數(shù)的選擇更加靈活[5].Copula函數(shù)被廣泛應用于許多領域的相關關系建模中[6-7]，但當維數(shù)增加時，copula的參數(shù)估計變得困難，因此 Joe[8]，Bedford[9]，Aas[10]等提出并發(fā)展了vine copula.Vine copula通過將高維copula分解成一系列成對二元copula的乘積來簡化高維數(shù)據(jù)聯(lián)合分布的構(gòu)建.Vine copula廣泛應用于金融、水文等領域[11-12].

綜上可知，連通可靠性的研究主要集中于城市道路網(wǎng)絡等陸上交通網(wǎng)絡，關于海運網(wǎng)絡連通可靠性的研究較少，而vine copula函數(shù)能較好地描述變量間的相關關系，因此本文基于vine copula函數(shù)構(gòu)建各突發(fā)事件的聯(lián)合分布，從而分析各突發(fā)事件相互關聯(lián)時的原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點的連通可靠性，為優(yōu)化原油海運路徑選擇提供依據(jù).

1 問題描述

根據(jù)國際海事組織全球綜合航運信息系統(tǒng)(GISIS)數(shù)據(jù)庫的統(tǒng)計，影響海運網(wǎng)絡中節(jié)點連通性的突發(fā)事件主要包括惡劣天氣、交通事故、海盜及海上恐怖主義、節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突.而且這些突發(fā)事件間存在相關關系，一種突發(fā)事件的發(fā)生往往會對其他突發(fā)事件的發(fā)生產(chǎn)生影響.例如，惡劣天氣時船舶發(fā)生交通事故的概率很有可能提高；良好的天氣、海況是海盜活動成功的保障因素，因此惡劣天氣時發(fā)生海盜襲擊的可能性會降低；在政局不穩(wěn)定或存在軍事沖突的地區(qū)，遭受海盜襲擊的可能性會提高，如索馬里.這些相互關聯(lián)的突發(fā)事件共同影響節(jié)點的連通可靠性.

本文的研究目的是要確定各突發(fā)事件相互關聯(lián)時的原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點的連通可靠性，為優(yōu)化原油運輸路徑提供支持.不同突發(fā)事件相互關聯(lián)時的原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點連通可靠性屬于多維聯(lián)合概率問題，令X=(X1,X2,…,Xd)表示各突發(fā)事件，即通過求各突發(fā)事件的聯(lián)合分布F=F(x1,…,xd)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xd≤xd} ，進而計算各關鍵節(jié)點的連通可靠性.

2 原油海運網(wǎng)絡中關鍵節(jié)點連通可靠性度量的vine copula模型構(gòu)建

Vine copula函數(shù)能較好地求解上述存在相關關系的多變量聯(lián)合概率問題，通過vine copula函數(shù)，多維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以分解為一系列二元copula概率密度函數(shù)的乘積.其中二元copula函數(shù)有多種類型可選擇，可采用擬合優(yōu)度檢驗方法擇優(yōu).基于最優(yōu)的vine copula函數(shù)構(gòu)建的聯(lián)合分布，可以計算各關鍵節(jié)點的連通可靠性.

2.1 基于高斯混合模型的突發(fā)事件邊緣分布估計

建立vine copula函數(shù)的前提是估計各突發(fā)事件的邊緣分布.高斯混合模型是用有限個高斯密度函數(shù)的線性組合來估計隨機變量的概率密度分布，如果高斯分布的個數(shù)足夠多，通過調(diào)整線性組合的權(quán)重系數(shù)及每個高斯分布的數(shù)字特征，可以精確描述任何連續(xù)隨機變量的概率密度分布.因此本文使用高斯混合模型來估計各突發(fā)事件的邊緣分布.

各突發(fā)事件的邊緣分布可以表示為

式中：x是各突發(fā)事件的一維觀測值；M為高斯混合模型的階數(shù)；αl(l=1,2,…,M)是高斯混合模型中子高斯分布的權(quán)重，滿足

Nl(x;μl;σl)(l=1,2,…,M)是高斯分布，可以表示為

式中：μl,σl分別為第l個高斯分布的均值和方差.αl,μl,σl為待估參數(shù)，本文采用EM算法估計高斯混合模型中的參數(shù).

2.2 關鍵節(jié)點連通可靠性度量的vine copula模型構(gòu)建

Copula是指“連接”多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊緣分布的函數(shù)，它可以將一個聯(lián)合分布分解為它的k個邊際分布和一個copula函數(shù)，其中的copula函數(shù)形式描述了變量間的相關結(jié)構(gòu)[5].

根據(jù)Sklar定理：令惡劣天氣、交通事故、海盜及海上恐怖主義、節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突等突發(fā)事件的聯(lián)合分布為F=F(x1,…,xd)，邊緣分布分別為F1=F1(x1),…,Fd(xd)，則存在1個Copula函數(shù)C，使得

對于擁有連續(xù)且嚴格遞增邊緣分布的聯(lián)合分布函數(shù)F，聯(lián)合概率密度函數(shù)f可表示為

Vine copula可以將式(5)分解為d(d-1)/2個二元copula密度函數(shù)[10]，vine copula有兩種比較常用的形式，分別為C-vines和D-vines.C-vines適用于多變量間存在明顯的引導變量的情況，不存在明顯的引導變量時D-vines更適用.本文不存在一個突發(fā)事件引導另一個或兩個突發(fā)事件的情況，因此選擇D-vines copula分解式(5)[9].

式中：fk(xk)是突發(fā)事件的邊緣概率密度函數(shù)；ci,i+j|i+1,…,i+j-1是二元copula的概率密度函數(shù)；βi,i+j|i+1,…,i+j-1為參數(shù)；θ為所有參數(shù)的集合.

在上述vine copula的構(gòu)建過程中包含了邊緣條件分布F(x|v)，Joe[8]指出

式中：vj是向量v的任意一個分量；v-j是向量v除去vj后的分量；Cx,vj|v-j表示二元copula條件分布函數(shù).特別的當v是單變量時有

當x和v是均勻分布，即f(x)=f(v)=1，F(xiàn)(x)=x，F(xiàn)(v)=v時，h(x,v,Θ)可以用來表示這一條件分布函數(shù)，即有

式中：Θ為參數(shù)集合.

在進行D-vine copula結(jié)構(gòu)選擇時，本文通過計算兩兩變量間的秩相關系數(shù)Kendall’sτ，選擇令每一層的τ值絕對值總和最大的結(jié)構(gòu)[10].式(6)中的二元copula不需要是同一類型，需要選擇能最優(yōu)刻畫每對突發(fā)事件相關關系的copula.本文分別選擇Gaussian,Student,Frank,Clayton及Gumbel copula這5種類型的二元copula來刻畫突發(fā)事件間的相關關系.并采用逐步半?yún)?shù)法(Stepwise Semiparametric Estimators)估計D-vine copula的參數(shù)[10].本文采用基于經(jīng)驗copula的Cramér-von Mises統(tǒng)計量進行擬合優(yōu)度檢驗[13].

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取及處理

本文選擇馬六甲海峽進行案例分析.馬六甲海峽是原油海運網(wǎng)絡中最重要的戰(zhàn)略節(jié)點，其連通可靠性的評估對原油海上運輸安全至關重要.由于惡劣天氣時海面風速較大，因此本文中的惡劣天氣用海面風速表示，海面風速數(shù)據(jù)來源于Remote Sensing Systems(http://www.remss.com).節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突情況用國家風險指數(shù)(International Country Risk Guide)表示，該風險指數(shù)由PRS集團發(fā)布(https://www.prsgroup.com/).對于馬六甲海峽，其隸屬國家包括新加坡、馬來西亞和印度尼西亞，因此馬六甲海峽的隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突情況用上述3個國家風險指數(shù)的平均值表示.海盜及海上恐怖主義用海盜及持械搶劫數(shù)量表示，它和船舶事故數(shù)據(jù)均來源于國際海事組織的全球綜合航運信息系統(tǒng)(GISIS)數(shù)據(jù)庫.

由于海盜和船舶事故并不總是同時發(fā)生，因此本文將突發(fā)事件分成兩種情形.情形1包括3種突發(fā)事件，分別是：海盜及持械搶劫數(shù)量，海盜及持械搶劫發(fā)生時的海面風速，以及國家風險指數(shù)；情形2也包括3種突發(fā)事件，分別是：船舶事故數(shù)量、船舶事故發(fā)生時的海面風速及國家風險指數(shù).本文收集了1993—2013年馬六甲海峽發(fā)生的海盜及持械搶劫數(shù)、船舶事故數(shù)，新加坡、馬來西亞和印度尼西亞國家風險指數(shù)及海面風速.其中海面風速指的是海盜及持械搶劫發(fā)生時或船舶事故發(fā)生時海面風速的年度平均值.本文分別評價了情形1和情形2中突發(fā)事件相互關聯(lián)時的馬六甲海峽的連通可靠性.

3.2 結(jié)果及結(jié)果分析

3.2.1 突發(fā)事件邊緣分布

影響馬六甲海峽的各突發(fā)事件邊緣分布的高斯混合模型參數(shù)估計值如表1所示.

表1 突發(fā)事件邊緣分布的參數(shù)估計Table 1 Parameter estimates of marginal distribution functions for extreme events

3.2.2 Vine copula結(jié)構(gòu)選擇及參數(shù)估計

估計各突發(fā)事件邊緣分布函數(shù)之后，計算秩相關系數(shù)Kendall’sτ的值如表2和表3所示，Kendall’sτ表示各突發(fā)事件間的相關結(jié)構(gòu).從表2和表3可以看出，國家風險指數(shù)和海盜及持械搶劫數(shù)之間有較強的負相關關系，這是因為較高的國家風險指數(shù)表示國家的潛在風險較低，因此海盜及持械搶劫數(shù)量較少.平均海面風速與海盜及持械搶劫數(shù)及船舶事故數(shù)之間也存在相關關系.

表2 各突發(fā)事件秩相關系數(shù)矩陣(情形1)Table 2 Kendall’s Tau dependence matrix of extreme events in Scenario 1

表3 各突發(fā)事件秩相關系數(shù)矩陣(情形2)Table 3 Kendall’s Tau dependence matrix of extreme events in Scenario 2

根據(jù)表2和表3及D-vine copula的結(jié)構(gòu)選擇準則，情形1中三維D-vine copula變量的順序為：國家風險指數(shù)(x1)，海盜及持械搶劫數(shù)(x2)及海盜及持械搶劫發(fā)生時的海面風速(x3).情形2中變量的順序為：國家風險指數(shù)(y1)，船舶事故發(fā)生時的海面風速(y2)及船舶事故數(shù)(y3).采用逐步半?yún)?shù)法估計D-vine copula的參數(shù)，并根據(jù)AIC值選擇最優(yōu)的二元copula.情形1和2中三維D-vine copula包含的二元copula的類型及其參數(shù)如表4和表5所示.計算基于經(jīng)驗copula的Cramér-von Mises統(tǒng)計量Sn，進行擬合優(yōu)度檢驗，如表6所示.

表4 三維D-vine copula的參數(shù)估計(情形1)Table 4 Parameter estimates of the 3-dimensional D-vine copula in Scenario 1

表5 三維D-vine copula的參數(shù)估計(情形2)Table 5 Parameter estimates of the 3-dimensional D-vine copula in Scenario 2

表6 擬合優(yōu)度檢驗Table 6 Goodness-of-fit tests

Sn越小，擬合效果越好，因此由表6可以發(fā)現(xiàn)Sn的檢驗結(jié)果與根據(jù)AIC值選擇的最優(yōu)copula結(jié)果一致.

表4～表6表明，Gaussian和 Clayton copula在刻畫兩兩突發(fā)事件相關關系上具有優(yōu)勢.這些二元copula的參數(shù)表明國家風險指數(shù)和海盜及持械搶劫數(shù)，以及海盜及持械搶劫數(shù)和海盜及持械搶劫發(fā)生時的海面風速間有較強的相關性.而船舶事故數(shù)與船舶事故發(fā)生時的海面風速，以及在海盜及持械搶劫數(shù)條件下，國家風險指數(shù)與海盜及持械搶劫發(fā)生時的海面風速間的局部相關性相對較弱.

此外，由于Gaussian copula用來刻畫變量間對稱的尾部相關性，由此可知國家風險指數(shù)與海盜及持械搶劫數(shù)之間具有對稱的尾部相關性，即無論國家風險指數(shù)增加還是減少，只要變化的絕對值相等，他們之間的相關程度就相同.而Clayton copula對變量在分布下尾部的變化很敏感，因此可以發(fā)現(xiàn)海盜及持械搶劫數(shù)與海盜及持械搶劫發(fā)生時的海面風速，船舶事故數(shù)與船舶事故發(fā)生時的海面風速間具有下尾相關性.即當海面風速降低時，海盜及持械搶劫數(shù)和船舶事故數(shù)減少的可能性會明顯增加，此時他們間的相依關系很可能會增強.通過對各突發(fā)事件相關關系的分析，進而可以計算各突發(fā)事件相互關聯(lián)時的節(jié)點連通可靠性.

3.2.3 連通可靠性分析

根據(jù)式(6)可知，由估計出的各二維copula的參數(shù)、邊緣條件分布及邊緣分布求解各突發(fā)事件的聯(lián)合概率密度，進而求解聯(lián)合分布、計算聯(lián)合概率是十分困難的.由于海盜及持械搶劫和船舶事故是影響節(jié)點連通可靠性最直接的突發(fā)事件，而且由上面的分析可知海面風速及國家風險狀況會對海盜及持械搶劫和船舶事故的發(fā)生產(chǎn)生影響，因此本文將給定海面風速及國家風險指數(shù)時，海盜及持械搶劫數(shù)和船舶事故數(shù)的條件概率作為馬六甲海峽的連通可靠性.

基于上面建立的vine copula，可以獲得條件分布函數(shù)，進而可以分析馬六甲海峽的連通可靠性.給定國家風險指數(shù)和海面風速的值，海盜及持械搶劫數(shù)的條件分布可以表示為F(x2|x1,x3)，根據(jù)式(7)～式(9)，條件分布F(x2|x1,x3)可以表示為

也可以表示為

類似的，給定國家風險指數(shù)和海面風速值，船舶事故數(shù)的條件分布F(y3|y1,y2)可以表示為

基于vine copula的參數(shù)估計值，可以求出F(x2|x1,x3)和F(y3|y1,y2).本文選擇各突發(fā)事件2013年的取值，計算條件概率，即馬六甲海峽的連通可靠性.給定x1=6.875 0，x3=3.234 4，計算得P(x2≤20|x1=6.875 0,x3=3.234 4)=0.239 5.同樣的，給定y1=6.875 0，y2=10.820 6，計算得P(y3≤ 9|y1=6.875 0,y2=10.820 6)=0.906 1.可以看出在節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突、惡劣天氣和海盜及海上恐怖主義的作用下，馬六甲海峽的連通可靠性較低，僅為0.239 5；而在節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突、惡劣天氣和船舶交通事故的作用下，馬六甲海峽的連通可靠性相對較高，為0.906 1.

4 結(jié)論

本文引入vine copula刻畫各突發(fā)事件間的相關關系，建立突發(fā)事件的聯(lián)合分布，并基于各突發(fā)事件的聯(lián)合分布和條件分布進行節(jié)點連通可靠性分析，本文以馬六甲海峽為例進行案例分析.結(jié)果表明，節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突與海盜及海上恐怖主義間具有對稱的尾部相關性，而海盜及海上恐怖主義和船舶交通事故分別在惡劣天氣轉(zhuǎn)好時與其具有更強的相關性，即具有下尾相關性.此外，在節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突、惡劣天氣、海盜及海上恐怖主義的作用下馬六甲海峽的連通可靠性較低，僅為0.239 5；而在節(jié)點隸屬國家政局不穩(wěn)定及軍事沖突、惡劣天氣、船舶交通事故的作用下馬六甲海峽的連通可靠性相對較高，研究結(jié)果可以為制定原油海上運輸策略提供依據(jù).